−1

数学において、−1 (負の 1またはマイナス 1 ) は1の加法逆数、つまり1 に加えると加法単位元 0 を与える数です。これは、負の 2 (−2) より大きく0より小さい 負の整数です。

ある数に −1 を掛けることは、その数の符号を変えることと同じです。つまり、任意の x に対して( −1 ) ⋅  x = − xとなります。これは分配法則と、1 が乗法単位元であるという公理を使って証明できます。

x + (−1) ⋅  x = 1 ⋅  x + (−1) ⋅  x = (1 + (−1)) ⋅  x = 0 ⋅  x = 0 .

ここでは、任意の数xに0をかけると0になるという事実を利用しており、これは次の式から 消去される。

0 ⋅  x = (0 + 0) ⋅  x = 0 ⋅  x + 0 ⋅  xです。

言い換えると、

x + (−1) ⋅  x = 0、

したがって、(−1) ⋅  xはxの加法逆数、すなわち、(−1) ⋅  x = − xとなり、示されることになります。

−1の2乗（つまり−1に−1を掛けたもの）は1です。したがって、2つの負の数の積は正の数です。この結果の代数的証明は、次の式から始めます。

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)]。

最初の等式は上記の結果から導かれ、2番目の等式は1の加法逆数としての-1の定義から導かれます。つまり、1に加算すると0になる数です。分配法則を使うと、

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1)。

3番目の等式は、1が乗法単位元であるという事実から導かれます。しかし、この最後の等式の両辺に1を加えると、

(−1) ⋅ (−1) = 1 です。

上記の議論は、整数と実数を一般化する抽象代数の概念である任意の環において成り立つ。^{[1] ：p.48}

−1 の実数の平方根は存在しないが、複素数 i はi ² = −1を満たすため、−1 の平方根と見なすことができる。 ^[2]平方が −1 となる複素数は他に − iのみである。これは、任意の非ゼロ複素数の平方根はちょうど 2 つ存在し、これは代数の基本定理に従うからである。複素数を含む四元数代数（基本定理は適用されない）では、方程式x ² = −1には無限の解が存在する。^{[3] [4]}

非ゼロの実数の累乗は負の整数に拡張することができ、数を -1 乗することはその逆数を取ることと同じ効果があります。

x ⁻¹ = ⁠1/x⁠ .

この定義は負の整数に適用され、実数aとbに対して指数法則x ^a x ^b = x ^{( a + b )}が維持されます。

f ⁻¹ ( x )の添え字 −1 はf ( x )の逆関数をとり、ここで(  f ( x )) ^{−1 は}特に点ごとの逆関数を表す。^[a] fが全単射で、あらゆる入力領域x ∈ Xからあらゆるy ∈ Yの出力共役領域を指定する場合、  

f ⁻¹ (  f ( x )) = x、 かつf ⁻¹ (  f ( y )) = y。 

関数f内で共役領域のサブセットが指定されている場合、その逆関数は、関数の下でのそのサブセットの 逆像、または逆像を生成します。

負の整数へのべき乗は、x ^{−1 を}xの逆数として定義することで、環の可逆元にさらに拡張することができます。この文脈では、これらの元は単位元とみなされます。^{[1] : p.49}

任意の体F上の多項式領域 F [  x ]において、多項式xには逆関数は存在しない。もし逆関数q ( x )が存在するとしたら、 ^[5]となる。

x q ( x ) = 1 ⇒ 度( x  ) +度 ( q ( x )) = 度(  1)

                 ⇒ 1 +度 ( q ( x )) = 0

                 ⇒度 ( q ( x )) = −1

これは不可能であり、したがって、F  [ x ] は体ではありません。より具体的には、多項式は定数ではないため、 Fの単位ではありません。

整数列では、与えられたインデックスから得られる値として「 ∞ 」の代わりに、不可算集合を表すために-1が一般的に使用される。^{[6]一例として、} n次元空間における正則凸多面体の数は、

n = {0, 1, 2, ... }の場合、{1, 1, −1, 5, 6, 3, 3, ...}となります( OEISのシーケンスA060296 )。

−1は、空集合∅または整数でない値を生成するインデックスからヌル値として使用することもできます。この場合、シーケンスを記述する一般的な式は満たされません。^[6]たとえば、区間1... kでnの約数がちょうど2倍の整数が素数と同じ数存在するような最小のk > 1は、

n = {1, 2, ..., 9}の場合、{2, 27, −1, 665, −1, 57675, −1, 57230, −1}となる（ OEISの配列A356136）。

非整数または空の要素は、多くの場合0で表されます。

ソフトウェア開発では、-1 は整数の一般的な初期値であり、変数に有用な情報が含まれていないことを示すためにも使用されます。^{[引用が必要]}

• バランスのとれた三元