ゼータ関数（演算子）

数学演算子のゼータ関数${\displaystyle {\mathcal {O}}}$は次のように定義される関数です。

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\operatorname {tr} \;{\mathcal {O}}^{-s}}$

この式が存在するsの値については、また、他のsの値については、この関数の解析接続として。ここで「tr」は関数トレースを表します。

ゼータ関数は、固有値を用いてスペクトルゼータ関数^{[ 1 ]として表現することもできる。}$\displaystyle \lambda _{i}}$オペレーターの${\displaystyle {\mathcal {O}}}$による

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\sum _{i}\lambda _{i}^{-s}}$。

これは、演算子の関数行列式を厳密に定義するために使用され、それは次のように表されます。

${\displaystyle \det {\mathcal {O}}:=e^{-\zeta '_{\mathcal {O}}(0)}\;.}$

ミナクシサンダラム・プレイエルゼータ関数は、演算子がコンパクトなリーマン多様体のラプラシアンである場合の例である。

アラケロフ理論の最も重要な動機の一つは、熱核法を代数幾何学的に一般化した演算子のゼータ関数である。^{[ 2 ]}

• クイレンメトリック

• ラピダス、ミシェル・L.、ファン・フランケンハイゼン、マキエル（2006）、『フラクタル幾何学、複素次元、ゼータ関数。フラクタル弦の幾何学とスペクトル』、シュプリンガー・モノグラフ・イン・マセマティクス、ニューヨーク、NY：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-33285-5、Zbl 1119.28005 
• フルサエフ、ドミトリ；ヴァシレヴィッチ、ドミトリ（2011）『演算子、幾何学、量子：量子場理論におけるスペクトル幾何学の方法』、理論物理学および数理物理学、シュプリンガー・フェルラーク 、 98ページ、 ISBN 978-94-007-0204-2