高度なZ変換

数学および信号処理において、高度Z変換は、サンプリング時間の倍数ではない理想的な遅延を組み込むために、Z変換を拡張したものです。高度Z変換は、例えばデジタル制御における処理遅延を正確にモデル化するために広く応用されています。これは修正Z変換とも呼ばれます。

それは次の形をとる

F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}

どこ

不動産

遅延パラメータmが固定されているとみなされる場合、z変換のすべての特性は、高度なz変換にも適用されます。

{\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m).

\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).}

{\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).

\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}

\lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m)。

次の例を考えてみましょう。 $f(t)=\cos(\omega t)$ :

{\begin{aligned}F(z,m)&={\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&={\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\&=\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega \end{aligned}}

もし $m=0$ それから $F(z,m)$ 変換に還元される

F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}},

これは明らかに、 $f(t)$ 。

Jury, Eliahu Ibraham (1973). Z変換法の理論と応用. Krieger. ISBN 0-88275-122-0OCLC 836240