実際の無限

数学の哲学では、実際の無限（完成された無限とも呼ばれる） ^[1]の抽象化には、与えられた、実際の、完成されたオブジェクトとしての無限の実体が含まれます。

古代ギリシャ以来、実際の無限の概念は哲学者の間で議論されてきました。また、宇宙が無限であるかどうかという問題は、物理学者の間でもまだ議論されています。

実無限の概念は、19世紀末にゲオルク・カントールによって数学に導入され、彼の無限集合論は後にツェルメロ・フランケル集合論として形式化されました。現在では数学の基礎として広く受け入れられているこの理論には、自然数が集合（必然的に無限）を形成することを意味する無限公理が含まれています。カントールの偉大な発見は、無限集合を受け入れる場合、無限集合には異なるサイズ（基数）があり、特に、実数の連続体の基数は自然数の基数よりも確実に大きいということです。

実際の無限は、潜在的な無限と対比される。潜在的な無限では、終わりのないプロセス（「前の数字に1を加える」など）によって最後の要素のないシーケンスが生成され、個々の結果は有限であり、有限数のステップで達成される。このタイプのプロセスは、たとえば、無限級数、無限積、または極限の概念の標準的な形式化で数学で発生する。^[2]

潜在的または不完全な無限を表す古代ギリシャ語はアペイロン（無制限または不定）であり、実際のまたは完全な無限を表すアフォリスメノンとは対照的であった。^[3] アペイロンはペラス（限界）を持つものと対立する。これらの概念は今日、それぞれ潜在的に無限、実際に無限で表される。

アナクシマンドロス(紀元前 610-546 年)は、アペイロンが万物を構成する原理または主要な要素であると主張しました。明らかに、「アペイロン」は何らかの基本物質でした。プラトンのアペイロンの概念はより抽象的で、無限の可変性と関係しています。プラトンが「アペイロン」について論じている主な対話は、後期のパルメニデス対話とフィレボス対話です。

アリストテレスは、無限に関する先人たちの見解を次のように要約しています。

「ピタゴラス派だけが無限を感覚の対象の中に置き（彼らは数を感覚の対象から分離できるものとは考えていない）、天の外にあるものは無限であると主張する。一方、プラトンは、外に物体は存在しない（形相はどこにも存在しないので外には存在しない）が、無限は感覚の対象だけでなく形相にも存在すると主張する。」（アリストテレス）^[4]

このテーマは、数学と物理学（自然の研究）の文脈におけるアリストテレスのアペイロンの考察によって提唱されました。

「無限は、人々が言うことの反対であることが判明しました。無限であるのは『それ自身を超えて何も持たないもの』ではなく、『常にそれ自身を超えて何かを持っているもの』です。」（アリストテレス）^[5]

無限の存在を信じる根拠は主に5つの点にある。^[6]

1. 時間の性質上、それは無限です。
2. 大きさの分割から - 数学者は無限の概念も使用します。
3. 生成と消滅が消滅しないのは、物事の起源が無限だからである。
4. なぜなら、限られたものは常に何かの中にその限界を見出すからであり、もしすべてが常にそれ自身とは異なる何かによって制限されるならば、限界は存在しないはずだからである。
5. 何よりも、特に適切で、誰もが感じる困難を提示する理由です。数だけでなく、数学的な大きさや天国の外にあるものも、私たちの思考の中では決して消えることがないため、無限であると考えられています。（アリストテレス）

アリストテレスは、実際の無限は不可能であると仮定した。なぜなら、もしそれが可能ならば、何かが無限の大きさに達し、「天よりも大きい」ことになるからである。しかし、彼は、数学者は定理のために無限を必要とせず、有限で任意の大きさの大きさだけを必要としたので、この不可能性によって無限に関する数学の適用性が奪われるわけではないと述べた。^[7]

アリストテレスは『物理学』と『形而上学』で無限というテーマを扱いました。彼は実際の無限と潜在的な無限を区別しました。実際の無限は完全かつ明確であり、無限の要素で構成されています。潜在的な無限は決して完全ではありません。要素は常に追加できますが、無限に増えることはありません。

「一般に、無限の存在様式は次のようになります。すなわち、一つのものが常に次から次へと取られ、取られるそれぞれのものは常に有限でありながら、常に異なるのです。」

— アリストテレス『物理学』第3巻第6章。

アリストテレスは加算と除算に関して無限を区別しました。

しかし、プラトンには大いなる無限と小なる無限という二つの無限があります。

— 物理学、第3巻、第4章。

「増加に関する潜在的に無限の級数の例として、1、2、3、…で始まる級数では、常に1つの数字を次々に追加できますが、数字をどんどん追加するプロセスは尽きることも完了することもできません。」^{[引用が必要]}

除算に関しては、潜在的に無限の除算のシーケンスが、たとえば 1、1/2、1/4、1/8、1/16 のように始まる可能性がありますが、除算のプロセスは尽きることも完了することもできません。

「分割のプロセスが決して終わらないことは、この活動が潜在的に存在することを保証するが、無限が別々に存在することを保証しない。」

— 形而上学、第 9 巻、第 6 章。

アリストテレスはまた、ギリシャの数学者は実際の無限と潜在的な無限の違いを知っていたが、「[実際の]無限を必要とせず、使用しなかった」と主張した（物理学II​​I 2079 29）。^[8]

スコラ哲学者の圧倒的多数は、 「無限は存在せず」というモットーを信奉していた。これは、（発展的で、不適切で、「同期的」な）潜在的無限は存在するが、（固定的で、適切で、「定言的」な）実際的無限は存在しないことを意味する。ただし、たとえばイギリスには例外もあった。

中世のスコラ哲学者全員がアリストテレスの「無限行為非存在」を反駁できない原理として支持していたことはよく知られている。（G.カントール）^[9]

実際の無限は数、時間、量の中に存在します。（J.ベーコンソープ[9、p.96]）

ルネッサンス期から近世初期にかけて、実際の無限性を支持する声はむしろ稀でした。

連続体は実際には無限の分割不可能な要素から構成されている（G.ガリレイ[9, p. 97]）

私は実際の無限性に非常に賛成です。（GWライプニッツ[9、p.97]）

しかし、前近代の思想家の大多数^[要出典]は、ガウスの有名な引用に同意していました。

私は無限の大きさを何か完結したものとして使うことに反対します。それは数学では決して許されません。無限というのは単なる言い方であり、本当の意味は、ある比率が限りなく近づく限界であり、他の比率は制限なく増加することが許されるということです。^[10] ( CFガウス[シューマッハ宛の手紙、1831年7月12日])

実際の無限は現在では数学で広く受け入れられているが、この用語はもはや使われておらず、無限集合の概念に置き換えられている。この劇的な変化は19世紀にボルツァーノとカントルによって開始され、数学の根本的な危機の起源の1つとなった。

集合(ドイツ語: Menge )の概念を導入したベルナルド・ボルツァーノと集合論を導入したゲオルク・カントールは、一般的な態度に反対した。カントールは、無限の領域を3つに区別した。(1) 神の無限 (彼はこれを「絶対者」と呼んだ)、(2) 現実の無限 (彼はこれを「自然」と呼んだ)、(3) 数学の超限数と集合である。

いかなる有限の多数よりも大きい多数、すなわち、あらゆる有限集合（問題の種類のメンバーの）がその一部にすぎないという性質を持つ多数を、私は無限の多数と呼ぶことにする。（B. ボルツァーノ [2, p. 6]）

したがって私は、神とその属性に起因する永遠の創造されない無限または絶対と、創造された自然の中で実際の無限が認識される必要がある場合はどこでも使用する必要がある創造された無限または超限を区別します。たとえば、私の確固たる信念によれば、宇宙だけでなく地球上、そしておそらくは任意の小さな拡張空間のあらゆる部分においても、実際に無限の数の創造された個体に関してです。（ゲオルク・カントール）^[11]（G.カントール[8、p.252]）

数字は人間の心の自由な創造物である。（R.デデキント[3a, p. III]）

一つの証明は神の概念に基づいています。まず、神の最高の完全性から、私たちは超越的なものの創造の可能性を推論し、次に、神の全き恩寵と輝きから、私たちは超越的なものの創造が実際に起こったことの必然性を推論します。(G. カンター [3, p. 400])

カントルは、超限と絶対という2種類の実際の無限を区別し、次のように主張しました。

これらの概念は厳密に区別される必要があります。前者は確かに無限ですが、増加することができますが、後者は増加することができないため、数学的概念として決定できません。この間違いは、たとえば汎神論に見られます。 (G. Cantor, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche , in Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , pp. 375, 378) ^[12]

実際の無限は現在、数学では「無限集合」という名前で一般的に受け入れられています。実際、集合論はツェルメロ・フランケル集合論(ZF)として形式化されています。ZF の公理の 1 つは無限公理であり、本質的には自然数が集合を形成することを示しています。

すべての数学は ZF の観点から書き直されました。特に、直線、曲線、あらゆる種類の空間は、それらの点の集合として定義されます。無限集合は非常に一般的なので、有限集合を考慮する場合、これは通常明示的に述べられます。たとえば、有限幾何学、有限体などです。

フェルマーの最終定理は初等算術で述べられた定理で、350年以上も経ってからようやく証明されました。フェルマーの最終定理のワイルズによる最初の証明では、選択公理とともに ZF の威力をフルに活用しただけでなく、非常に大きな集合の存在を意味するさらなる公理を暗黙のうちに使用していました。このさらなる公理の必要性は後に否定されましたが、無限集合は基本的な方法で使用され続けています。これは、数学者コミュニティによる証明の正しさの認識の障害にはなりませんでした。

実無限における「実」という用語の数学的意味は、明確な、完了した、拡張された、または実在するという意味と同義であるが、^[13]物理的に存在することと間違えてはならない。したがって、自然数または実数が明確な集合を形成するかどうかという問題は、無限のものが自然界に物理的に存在するかどうかという問題とは無関係である。

クロネッカー以降の直観主義の支持者は、実際には無限の数学的対象または集合が存在するという主張を否定しています。その結果、彼らは実際の無限の存在を前提としない方法で数学の基礎を再構築します。一方、構成的分析は整数の完全な無限の存在を受け入れます。

直観主義者にとって、無限は潜在的であると説明される。この概念と同義の用語は、形成的または建設的である。^[13]たとえば、スティーブン・クリーネは、チューリングマシンテープの概念を「（潜在的に）両方向に無限である線形の「テープ」」と説明している。^[14]テープ上のメモリにアクセスするために、チューリングマシンは読み取りヘッドをテープに沿って有限のステップで移動させる。したがって、テープは「潜在的に」無限であるだけである。なぜなら、常に次のステップに進む可能性はあるが、無限自体に実際に到達することは決してないからである。^[15]

数学者は一般的に実無限を受け入れている。^[16] ゲオルク・カントールは実無限を擁護した最も重要な数学者である。彼は、自然数と実数が定集合になる可能性があり、ユークリッド有限性公理（実在するものは、単独でも集合でも必然的に有限であると述べている）を否定すれば矛盾は生じないと判断した。

序数と基数に関する現在の慣習的な有限主義的解釈は、それらが特別な記号の集合と、その中で文を記述できる関連する形式言語から構成されるというものである。このような文はすべて必然的に長さが有限である。操作の妥当性は、項代数、項書き換えなどの形式言語の基本原理のみに基づいている。より抽象的に言えば、(有限)モデル理論と証明理論の両方が、無限大を扱うために必要なツールを提供している。無限大を表す記号を使用して代数的に有効な式を書くために、無限大を「信じる」必要はない。

実際の無限に関する哲学的問題は、その概念が首尾一貫しており、認識論的に健全であるかどうかに関係しています。

ツェルメロ・フランケル集合論は現在、数学の標準的な基礎となっている。その公理の 1 つに無限公理があり、これは無限集合が存在し、特に自然数は無限集合を形成することを述べている。しかし、有限主義の数学哲学者や構成主義者の中には、いまだにこの概念に反対する者もいる。^{[誰? ]}

• 限界（数学）
• 連続体の濃度

• アリストテレス、物理学[1]
• ベルナルド・ボルツァーノ、1851年、Paradoxien des Unendlichen、レクラム、ライプツィヒ。
• ベルナルド・ボルツァーノ 1837 年、ズルツバッハのヴィッセンシャフトレーア。
• Georg Cantor in E. Zermelo (ed.) 1966、Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts、オルムス、ヒルデスハイム。
• リチャード・デデキント、 1960 年、罪はありましたか？、ビューエグ、ブラウンシュヴァイク。
• アドルフ・アブラハム・フランケル、 1923年、メンゲンレーレのアインライトゥング、シュプリンガー、ベルリン。
• Adolf Abraham Fraenkel、Y. Bar-Hillel、A. Levy 1984、「Foundations of Set Theory」、第 2 版、North Holland、アムステルダム、ニューヨーク。
• Stephen C. Kleene 1952 (1971 年版、第 10 刷)、『Introduction to Metamathematics』 、North-Holland Publishing Company、アムステルダム、ニューヨーク。ISBN 0-444-10088-1。 
• H. Meschkowski 1981、Georg Cantor: Leben、Werk und Wirkung (2. Aufl.)、BI、マンハイム。
• H. Meschkowski、W. Nilson (Hrsg.) 1991、Georg Cantor – Briefe、Springer、ベルリン。
• アブラハム・ロビンソン1979、「選集」、第 2 巻、WAJ ルクセンブルク、S. ケルナー (Hrsg.)、北ホラント、アムステルダム。