WVDホッジ

サー・ウィリアム・ヴァランス・ダグラス・ホッジ（ Sir William Vallance Douglas Hodge FRS FRSE ^[2]（/ h ɒ dʒ / ; 1903年6月17日 - 1975年7月7日）は、イギリスの数学者、特に幾何学者であった。^{[3] [4]}

代数幾何学と微分幾何学の間の広範囲にわたる位相関係の発見（現在ではホッジ理論と呼ばれ、より一般的にはケーラー多様体に関連する分野）は、その後の幾何学の研究に大きな影響を与えました。

ホッジは1903年にエディンバラで、不動産市場の記録調査員でダグラス・アンド・カンパニーのパートナーであったアーチボルド・ジェームズ・ホッジ（1869年 - 1938年）と、菓子店経営者ウィリアム・ヴァランスの娘である妻ジェーン（1875年生まれ）の3人兄弟の次男として生まれた。^{[5] [6] [7]彼らは}モーニングサイド地区のチャーチ・ヒル・プレイス1番地に住んでいた。^[8]

彼はジョージ・ワトソンズ・カレッジに通い、エディンバラ大学で学び、1923年に修士号を取得した。息子のJM・ウィテカーが大学時代の友人だったE.T.ウィテカーの助けを借りて、ケンブリッジ大学セント・ジョンズ・カレッジに所属学生として入学し、数学の三位一体論を学んだ。ケンブリッジでは幾何学者HF・ベイカーの影響を受けた。1925年にケンブリッジ大学でBA、1930年にMA、1950年に理学博士号を取得した。^[9]

1926年に彼はブリストル大学で教鞭をとり、イタリア代数幾何学学派、特にフランチェスコ・セヴェリが提起した問題とソロモン・レフシェッツの位相幾何学的方法との接点に関する研究を始めた。これにより彼の名声は高まったが、当初レフシェッツは懐疑的だった。アティヤの回想録によると、レフシェッツとホッジは1931年にケンブリッジのマックス・ニューマンの部屋で問題解決を図ろうと会合を持った。最終的にレフシェッツは納得した。^{[2] 1928年に彼は}エディンバラ王立協会 の会員に選ばれた。彼を推薦したのはサー・エドマンド・テイラー・ウィテカー、ラルフ・アラン・サンプソン、チャールズ・グローバー・バークラ、サー・チャールズ・ゴルトン・ダーウィンであった。彼は1964年から1968年にかけて同協会のガニング・ビクトリア・ジュビリー賞を受賞した^。[10]

1930年、ホッジはケンブリッジのセント・ジョンズ・カレッジの研究員に任命された。彼は1931年から1932年にかけて、レフシェッツのいるプリンストン大学で過ごし、ジョンズ・ホプキンス大学のオスカー・ザリスキも訪問した。この頃、彼はド・ラームの定理を吸収し、ホッジのスター操作を定義していた。これにより、調和形式を定義し、ド・ラームの理論を改良すること ができた。

ケンブリッジに戻ると、1933年に大学講師の職をオファーされ、ケンブリッジ大学のローディーン天文学・幾何学教授となり、1936年から1970年までその職を務めた。彼はDPMMSの初代所長であった。

彼は1958年から1970年までケンブリッジ大学ペンブルック・カレッジの学長を務め、1959年から1965年まで王立協会の副会長を務めた。1959年にナイト爵に叙せられた。その他の栄誉の中でも、1937年にアダムズ賞、1974年に 王立協会のコプリー賞を受賞した。

彼は1975年7月7日にケンブリッジで亡くなった。

ホッジ指数定理は、代数曲面上の曲線の交差数理論の結果であり、対応する二次形式の符号を決定します。この結果はイタリアの代数幾何学学派によって追求されましたが、レフシェッツの位相的方法によって証明されました。

調和積分の理論と応用^[11]は、1930 年代のホッジの一般理論の発展を要約している。これは、任意のケーラー計量に対してラプラス理論が存在することから始まる。これは、代数多様体 V (複素、射影的、非特異と仮定)に適用される。なぜなら、射影空間自体がそのような計量を持つからである。ド・ラーム・コホモロジーの用語では、次数kのコホモロジー類は、V ( C )上のk形式 αで表される。一意の代表はないが、ラプラス方程式の解である調和形式(ホッジはまだこれを「積分」と呼んでいた)の概念を導入することで、一意のαを得ることができる。これは、次の重要な直接的な帰結をもたらす。

H ^k ( V ( C ) 、C )

部分空間に

Hp ^、q​

α を構成するためにくさび形にされた正則微分dz ⁱの数pに応じて異なります(余接空間はdz ⁱとその複素共役によって張られます)。部分空間の次元はホッジ数です。

このホッジ分解は基本的なツールになりました。次元 h ^{p、q は}、ベッティ数を識別可能な幾何学的意味を持つ部分に分割することによってベッティ数を洗練するだけでなく、複素ベクトル空間内の変化する「フラグ」としての分解自体が、モジュライ問題との関連で意味を持ちます。広い意味では、ホッジ理論は代数多様体の離散的分類と連続的分類の両方に貢献します。

他の人によるさらなる発展は、特に特異多様体上の混合ホッジ構造のアイデアと、エタールコホモロジーとの深い類似性につながりました。

一般に、「中間」空間 H ^{p , p}に関するホッジ予想は未だに未解決である。これは、クレイ数学研究所が設定した7 つのミレニアム懸賞問題の 1 つである。

ホッジはまた、ダニエル・ペドーと共著で、古典的な代数幾何学に関する3巻からなる著書『代数幾何学の方法』を執筆した。この本は、エリー・カルタンが「指数の堕落」と呼んだものをその成分表記で示しながら、非常に具体的な内容を含んでいる。アティヤによれば、この本はHF・ベイカーの『幾何学の原理』を更新して置き換えることを意図したものだった。

1929年に彼はキャスリーン・アン・キャメロンと結婚した。^[12]

• ホッジ、WVD（1941）、調和積分の理論と応用、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-35881-1、MR  0003947
• ホッジ、WVD;ペドー、D. (1994) [1947]、代数幾何学の方法、第1巻（第2巻）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-46900-5^[13]
• ホッジ、WVD;ペドー、ダニエル(1994) [1952]、代数幾何学の方法: 第2巻 第3巻: 射影空間における代数多様体の一般理論。 第4巻: 二次曲面とグラスマン多様体。、ケンブリッジ数学図書館、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-46901-2、MR  0048065^[14]
• ホッジ、WVD;ペドー、ダニエル(1994) [1954]、代数幾何学の方法: 第3巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-46775-9^[15]

• WVD ホッジにちなんで名付けられたもののリスト