量子ホール効果

量子ホール効果（または整数量子ホール効果）は、低温と強い磁場にさらされた2次元電子系で観測されるホール効果の量子化されたバージョンであり、ホール抵抗R _{xy は}量子化された値をとるステップを示します。

${\displaystyle R_{xy}={\frac {V_{\text{ホール}}}{I_{\text{チャネル}}}}={\frac {h}{e^{2}\nu }},}$

ここで、V _Hallはホール電圧、I _channelはチャネル電流、 eは素電荷、h はプランク定数です。除数νは整数 ( ν = 1, 2, 3,... ) または分数 ( ν = ⁠1/3⁠、⁠2/5⁠、⁠3/7⁠、⁠2/3⁠、⁠3/5⁠、⁠1/5⁠、⁠2/9⁠、⁠3/13⁠、⁠5/2⁠、⁠12/5⁠、...）の値です。ここで、 ν はランダウ準位の充填係数とほぼ等しくなりますが、完全に等しいわけではありません。量子ホール効果は、 νが整数か分数 かによって、それぞれ整数量子ホール効果または分数量子ホール効果と呼ばれます

整数量子ホール効果の顕著な特徴は、電子密度が変化しても量子化（すなわちホールプラトー）が持続することです。フェルミ準位がきれいなスペクトルギャップにあるときは電子密度は一定のままなので、この状況は、フェルミ準位が有限の状態密度を持つエネルギーであるものの、これらの状態が局在している状況に対応します（アンダーソン局在を参照）。^[1]

分数量子ホール効果はより複雑で、未だに未解決の研究課題であると考えられている。^[2]その存在は基本的に電子間相互作用に依存している。1988年に、ランダウ準位のない量子ホール効果が存在することが提案された。^{[3]この量子ホール効果は、量子異常ホール効果（QAH）と呼ばれている。また、量子ホール効果に類似した}量子スピンホール効果という新しい概念もあり、そこでは電荷電流の代わりにスピン電流が流れる。^[4]

ホール伝導度（）の量子化は、極めて正確であるという重要な特性を持っています。^[5]ホール伝導度の実際の測定値は、の整数倍または分数倍であることがわかっています。${\displaystyle G_{xy}=1/R_{xy}}$²電子/h⁠ 10億分の1よりも精度が高い。 ^[6]これにより、フォン・クリッツィング定数R _Kによって与えられる抵抗量子に基づいて、電気抵抗の新しい実用的な標準を定義することが可能になった。これは、正確な量子化の発見者であるクラウス・フォン・クリッツィングにちなんで名付けられた。量子ホール効果は、量子電気力学において基本的な重要性を持つ量である微細構造定数を極めて正確に独立に決定することも可能にする。

1990年には、固定された慣習的な値 R _K-90 =25 812 .807 Ωは、世界中の抵抗校正に使用するために定義されました。 ^[7] 2018年11月16日、第26回国際度量衡総会は、 h（プランク定数）とe（素電荷）の正確な値を固定することを決定し、 ^[8] 1990年の従来の値を正確な永久値（固有標準） R _K = ⁠h/²電子⁠ =25 812 .807 45 ...Ω . ^[9]

分数量子ホール効果は、正確な量子化の一部であると考えられている。^{[10]完全な一般性での正確な量子化は完全には理解されていないが、}ゲージ不変性の原理と別の対称性の組み合わせの非常に微妙な現れとして説明されている（異常性を参照）。代わりに、整数量子ホール効果は解決された研究課題であると考えられており^{[11] [12] 、TKNN公式と}チャーン・サイモンズ・ラグランジアンの範囲内で理解されている。

分数量子ホール効果は、依然として未解決の研究課題であると考えられている。^[2]分数量子ホール効果は、電子ではなく、複合フェルミオンと呼ばれる電荷と磁束の複合体の整数量子ホール効果としても理解される。^[13]分数量子ホール効果を説明する他のモデルも存在する。^{[14]現在、分数量子数の単一の確認され合意されたリストは存在せず、それらすべてを説明する単一の合意されたモデルも存在しないため、これは未解決の研究課題であると考えられているが、}複合フェルミオンと非アーベルチャーン・サイモンズラグランジアン の範囲ではそのような主張がある。

1957年、カール・フロッシュとリンカーン・デリックはベル研究所で最初の二酸化シリコン電界効果トランジスタを製造することに成功しました。これはドレインとソースが表面で隣接した最初のトランジスタでした。^[15]その後、 1960年にベル研究所でチームが動作するMOSFETを実証しました。 ^{[16] [17]これにより、物理学者は}ほぼ理想的な2次元ガス中の電子の挙動を研究できるようになりました。^[18]

MOSFETでは、伝導電子は薄い表面層を移動し、「ゲート」電圧がこの層内の電荷キャリアの数を制御します。これにより、研究者は高純度MOSFETを液体ヘリウム温度で動作させることで量子効果を調査することができます。^[18]

ホール伝導度の整数量子化は、1975年に東京大学の研究者である安藤恒也、松本幸夫、上村泰忠によって、彼ら自身は真実だとは信じていなかった近似計算に基づいて最初に予測されました。^[19] 1978年に学習院大学の研究者である若林純一と川路真司は、その後、MOSFETの反転層で行われた実験でこの効果を観察しました。^[20]

1980年、グルノーブルの高磁場研究所でマイケル・ペッパーとゲルハルト・ドルダが開発したシリコンベースのMOSFETサンプルを使用していたクラウス・フォン・クリッツィングは、ホール抵抗が正確に量子化されているという予期せぬ発見をしました。^{[21] [18]この発見により、フォン・クリッツィングは1985年の}ノーベル物理学賞を受賞しました。その後、正確な量子化とゲージ不変性の関係はロバート・ラフリンによって提案され、彼は量子化された伝導率をサウレス電荷ポンプの量子化された電荷輸送に結び付けました。^{[12] [22]現在、ほとんどの整数量子ホール実験は}ガリウムヒ素ヘテロ構造で行われていますが、他の多くの半導体材料を使用することもできます。2007年には、室温ほどの高温のグラフェンで整数量子ホール効果が報告され、 ^[23]マグネシウム亜鉛酸化物ZnO–Mg _x Zn _{1− x} Oでも報告されました。 ^[24]

2 次元では、古典的な電子が磁場にさらされると、円形のサイクロトロン軌道を描きます。システムを量子力学的に扱うと、これらの軌道は量子化されます。エネルギー レベルの値を決定するには、シュレーディンガー方程式を解く必要があります。

系は磁場の影響を受けるため、シュレーディンガー方程式に電磁ベクトルポテンシャルとして導入する必要があります。 検討する系は、x 方向と y 方向に自由に移動できるが、z 方向にはしっかりと閉じ込められている電子ガスです。 次に、z 方向に磁場が適用され、ランダウ ゲージによれば、電磁ベクトルポテンシャルは、スカラーポテンシャルは です。 したがって、この系の電荷と有効質量の粒子に対するシュレーディンガー方程式は次のように なります。 ${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m^{*}}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2m^{*}}}\left[\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right]^{2}+V(z)\right\}\psi (x,y,z)=\varepsilon \psi (x,y,z)}$

ここで、 は正準運動量であり、演算子によって置き換えられ、は全エネルギーです。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle -i\hbar \nabla }$${\displaystyle \varepsilon }$

この方程式を解くには、磁場が x 軸と y 軸に沿った動きにのみ影響するため、方程式を 2 つの方程式に分割することができます。すると、総エネルギーは 2 つの寄与の合計になります。z 軸の対応する方程式は次のとおりです。 ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{z}+\varepsilon _{xy}}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}+V(z)\right]u(z)=\varepsilon _{z}u(z)}$

物事を単純化するために、解は無限井戸として考えられます。したがって、z 方向の解はエネルギー であり、 波動関数は正弦波です。および方向については、シュレーディンガー方程式の解は、の未知の関数と -方向の平面波の積、つまりとして選択できます。これは、ベクトルポテンシャルが に依存せず、したがって運動量演算子がハミルトニアンと交換されるためです。この仮説をシュレーディンガー方程式に代入すると、 を中心とする1 次元の調和振動子方程式が得られます。 ${\displaystyle V(z)}$${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$${\displaystyle n_{z}=1,2,3...}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi _{xy}=u(x)e^{ik_{y}y}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\frac {1}{2}}m^{*}\omega _{\rm {c}}^{2}(x-l_{B}^{2}k_{y})^{2}\right]u(x)=\varepsilon _{xy}u(x)}$

ここで、はサイクロトロン周波数と磁気長として定義されます。エネルギーは次のとおりです。 ${\textstyle \omega _{\rm {c}}={\frac {eB}{m^{*}}}}$${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)}$、 ${\displaystyle n_{x}=1,2,3...}$

また、平面内の運動の波動関数は、 の平面波とのガウス関数によって減衰されたエルミート多項式との積で与えられ、これらは調和振動子の波動関数です。 ${\displaystyle xy}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

ランダウ準位の式から、エネルギーはではなくにのみ依存することがわかります。 が同じだが異なる状態は縮退しています。 ${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle k_{y}}$${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle k_{y}}$

ゼロ磁場では、スピンによる縮退を考慮した2次元電子ガスの単位面積あたりの状態密度はエネルギーに依存しない。

${\displaystyle n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$。

磁場がオンになると、状態密度は定数からディラックの櫛形 （一連のディラック関数）に縮小し、分離されたランダウ準位に対応します。ただし、有限温度では、ランダウ準位は散乱イベント間の時間 の幅を獲得します。一般に、ランダウ準位の正確な形状はガウス分布またはローレンツ分布 であると想定されています。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}}$${\textstyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau _{i}}}}$${\displaystyle \tau _{i}}$

もう 1 つの特徴は、波動関数が、 の線に沿って、 - 軸に沿って等間隔で - 方向に平行なストリップを形成することです。 - 平面内のどの方向にも特別なことはないので、ベクトル ポテンシャルが異なって選択された場合、円対称性が見つかるはずです。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle xy}$

次元のサンプルが与えられ、 - 方向の周期境界条件を整数に適用すると、各放物線ポテンシャルが値 に配置されることが分かります。 ${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$${\displaystyle y}$${\textstyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle x_{k}=l_{B}^{2}k}$

各ランダウ準位の状態数は、サンプルを通過する全磁束と状態に対応する磁束の比から計算できます。 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle N_{B}={\frac {\phi }{\phi _{0}}}={\frac {BA}{BL_{y}\Delta x_{k}}}={\frac {A}{2\pi l_{B}^{2}}}{\begin{array}{lcr}&l_{B}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {AeB}{2\pi \hbar }}{\begin{array}{lcr}&\omega _{\rm {c}}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}A}{2\pi \hbar }}}$

したがって、単位面積あたりの状態密度は

${\displaystyle n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}}$。

状態密度が磁場に依存していることに注意してください。磁場が大きいほど、各ランダウ レベルに存在する状態が多くなります。その結果、占有されるエネルギー レベルが少なくなるため、システム内の閉じ込めが強化されます。

最後の式を書き直すと、各 Landau レベルには2DEG内の状態と同じ数の状態が含まれていることがわかります。 ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$${\displaystyle \Delta \varepsilon =\hbar \omega _{\rm {c}}}$

電子はフェルミオンであるため、ランダウ準位で使用可能な各状態は、スピン の各値を持つ 1 つの電子、つまり 2 つの電子に対応します。ただし、大きな磁場を適用すると、スピンと磁場の整列に関連する磁気モーメントにより、エネルギーは 2 つの準位に分割されます。エネルギーの差は、物質 (自由電子の場合) とボーア磁子 に依存する要因です。符号は、 スピンが磁場と平行の場合と 反平行の場合に取られます。スピン分裂と呼ばれるこの事実は、各準位の状態密度が半分に減少することを意味します。は 磁場に比例するため、磁場が大きいほど、分裂の関連性が高くなることに注意してください。 ${\textstyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g=2}$${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$${\displaystyle \Delta E}$

占有されたランダウ準位の数を取得するには、 2DEG の状態密度とランダウ準位の状態密度の比として、 いわゆる充填係数を定義します。${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu ={\frac {n_{\rm {2D}}}{n_{B}}}={\frac {hn_{\rm {2D}}}{eB}}}$

一般に、充填率は整数ではありません。充填されたランダウ準位の数がちょうど等しい場合、たまたま整数になります。その代わりに、最上位準位が完全に占有されていない場合、非整数になります。実際の実験では、磁場を変えて電子密度（フェルミエネルギーではなく）を固定するか、電子密度を変えて磁場を固定します。どちらの場合も充填率は連続的に変化するため、整数になることは期待できません。 であるため、磁場を増加させると、ランダウ準位のエネルギーが上昇し、各準位の状態数が増えるため、最上位準位を占有する電子は少なくなり、ついには空になります。磁場が増加し続けると、最終的にすべての電子が最低のランダウ準位（）になり、これを磁気量子限界と呼びます。 ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle n_{B}\propto B}$${\displaystyle \nu <1}$

充填係数を電気抵抗率、ひいてはシステムの導電率と関連付けることが可能です。 が 整数のとき、フェルミエネルギーはキャリアが利用できる状態がないランダウ準位の間にあるため、導電率はゼロになります（磁場が十分に大きいためランダウ準位間に重なりがないと考えられます。そうでなければ電子はほとんどなく、導電率はおよそ になります）。その結果、電気抵抗率もゼロになります（非常に高い磁場では、縦方向の導電率と電気抵抗率は比例することが証明されています）。^[25]${\displaystyle \nu }$${\displaystyle 0}$

導電率から、 ${\displaystyle \sigma =\rho ^{-1}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\det \rho }}{\begin{pmatrix}\rho _{yy}&-\rho _{xy}\\-\rho _{yx}&\rho _{xx}\end{pmatrix}}\;.}$

縦方向の抵抗率がゼロで横方向の抵抗率が有限であれば、 となります。したがって、縦方向の導電率と抵抗率は両方ともゼロになります。 ${\displaystyle \det \rho \neq 0}$

代わりに、 が半整数のとき、フェルミエネルギーは、あるランダウ準位の密度分布のピークに位置します。これは、導電率が最大になることを意味します。 ${\displaystyle \nu }$

この最小値と最大値の分布は、磁場が増加するにつれてより重要になるシュブニコフ・ド・ハース振動と呼ばれる「量子振動」に対応しています。明らかに、磁場が増加するとピークの高さは大きくなります。これは、状態密度が磁場とともに増加するため、抵抗に寄与するキャリアが増えるからです。磁場が非常に小さい場合、縦方向の抵抗は一定であり、古典的な結果に達することを意味します。

横方向の抵抗率と置換の古典的な関係から、 横方向の抵抗率と導電率の量子化がわかります。 ${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {h}{\nu e^{2}}}\Rightarrow \sigma =\nu {\frac {e^{2}}{h}}}$

したがって、充填率が整数の場合、横方向の抵抗率はいわゆる伝導量子の逆数の倍数であると結論付けられます。ただし、実験では、充填値のプラトー全体にわたってプラトーが観察されており、これは実際にランダウ準位間に電子状態があることを示しています。これらの状態は、たとえば、材料の不純物に局在しており、軌道に閉じ込められているため、導電性には寄与できません。そのため、ランダウ準位間で抵抗率は一定のままです。また、磁場が減少すると、抵抗率は磁場に比例するという古典的な結果が得られます。 ${\displaystyle e^{2}/h}$${\displaystyle \nu }$

量子ホール効果は、2次元電子系で観測されるだけでなく、光子でも観測できます。光子は固有の電荷を持っていませんが、個別の光共振器と結合位相またはオンサイト位相の操作により、人工的な磁場を作り出すことができます。^{[26] [27] [28] [29] [30]このプロセスは、光子が複数の鏡の間を跳ね返るという比喩で表現できます。光を複数の鏡に照射すると、光子は経路をたどり、}角運動量に比例した位相が追加されます。これにより、磁場内にあるかのような効果が生じます。

ホール効果に現れる整数は、位相的量子数の例である。これらは数学では第一チャーン数として知られ、ベリーの位相と密接に関連している。この文脈で非常に興味深い印象的なモデルは、図に示すホフスタッターの蝶が量子状態図となるアズベル・ハーパー・ホフスタッター モデルである。縦軸は磁場の強さ、横軸は電子密度を固定する化学ポテンシャルである。色は整数ホール伝導度を表す。暖色は正の整数、寒色は負の整数を表す。ただし、量子化ホール伝導度のこれらの領域の状態密度はゼロであるので、実験で観察されるプラトーは生成できないことに注意されたい。状態図はフラクタルであり、すべてのスケールで構造を持っている。図には明らかな自己相似性がある。実験で見られるプラトーの原因である無秩序性がある場合、この図は非常に異なり、フラクタル構造はほとんど消え去っている。また、実験ではフェルミエネルギーではなく充填率を制御します。この図を充填率の関数としてプロットすると、すべての特徴が完全に消えてしまうため、実際のホール物理とはほとんど関係がありません。

物理的メカニズムに関しては、不純物や特定の状態（エッジ電流など）が「整数」効果と「分数」効果の両方にとって重要です。さらに、クーロン相互作用も分数量子ホール効果に不可欠です。整数量子ホール効果と分数量子ホール効果の間に観察される強い類似性は、電子が偶数の磁束量子を持つ束縛状態（複合フェルミオンと呼ばれる）を形成する傾向によって説明されます。

フォン・クリッツィング定数の値は、ボーア模型内で単一原子レベルで既に得られており、単一電子ホール効果として見ることができる。円軌道上のサイクロトロン運動中、遠心力は横方向の誘導電圧とホール効果の原因となるローレンツ力とバランスが取れているが、ボーア原子のクーロン電位差を誘導単一原子ホール電圧と見なし、円上の周期的な電子運動をホール電流と見ることができる。単一原子ホール電流を、単一電子電荷が角周波数でケプラー回転する速度として定義すると、${\displaystyle e}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle I={\frac {\omega e}{2\pi }},}$

誘導ホール電圧は、電子軌道点と無限遠点における水素原子核のクーロンポテンシャルの差として表されます。

${\displaystyle U=V_{\text{C}}(\infty )-V_{\text{C}}(r)=0-V_{\text{C}}(r)={\frac {e}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

定義されたボーア軌道ホール抵抗の量子化は、フォン・クリッツィング定数のステップで次のように得られる。

${\displaystyle R_{\text{Bohr}}(n)={\frac {U}{I}}=n{\frac {h}{e^{2}}}}$

ボーア原子の場合、これは整数nに関して線形だが逆ではない。

整数量子ホール効果と量子スピンホール効果の相対論的な例は、格子ゲージ理論の文脈で生じる。^{[31] [32]}

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