規則性理論

正則性は、ラプラス方程式などの偏微分方程式（PDE）の数学的研究における、弱解の積分可能性と微分可能性に関するトピックである。ヒルベルトの第19問題はこの概念に関係していた。^{[ 1 ]}

この研究の動機は次のとおりです。^{[ 2 ]}通常の意味で偏微分方程式を満たす古典的な解を構築することはしばしば困難であるため、まず弱い解を探し、次にその弱い解が古典的な解として適格であるほど滑らかかどうかを調べます。

様々な種類の偏微分方程式に対して、いくつかの定理が提案されている。

させて${\displaystyle U}$の開いた有界部分集合である$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$境界を次のように表す${\displaystyle \partial U}$そして変数は${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$偏微分方程式を偏微分演算子として表現する${\displaystyle L}$未知の関数に作用する${\displaystyle u=u(x)}$の${\displaystyle x\in U}$結果として、次の形式の境界値問題が得られます。$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}Lu&=f&&{\text{in }}U\\u&=0&&{\text{on }}\partial U,\end{aligned}}\right.}$$どこ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} }$与えられた関数です${\displaystyle f=f(x)}$そして${\displaystyle u:U\cup \partial U\rightarrow \mathbb {R} }$楕円型演算子${\displaystyle L}$発散形式は：$${\displaystyle Lu(x)=-\sum _{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)u_{x_{i}})_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x),}$$それから

• 内部規則性：mが自然数である場合、${\displaystyle a^{ij},b^{j},c\in C^{m+1}(U),f\in H^{m}(U)}$（２）$u ∈ H₀⁻¹(U)$が弱解である場合、コンパクト閉包を持つU内の任意の開集合Vに対して、${\displaystyle \|u\|_{H^{m+2}(V)}\leq C(\|f\|_{H^{m}(U)}+\|u\|_{L^{2}(U)})}$（３）ここで、CはU、V、L、m自体に依存する。${\displaystyle u\in H_{loc}^{m+2}(U)}$これは、ソボレフ埋め込み定理により、mが無限大の場合にも成り立つ。
• 境界の規則性：（２）以下の仮定とともに${\displaystyle \partial U}$は${\displaystyle C^{m+2}}$これは、 VをUに置き換えた後も（3）が依然として成り立つことを示している。${\displaystyle u\in H^{m+2}(U)}$これは、 mが無限大の場合にも成り立つ。

放物型および双曲型偏微分方程式は、楕円型演算子Lと外部力fによって支配される量uの時間発展を空間上で記述する。${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$Uの境界は滑らかであり、楕円型演算子は時間に依存しない滑らかな係数を持つと仮定します。$${\displaystyle Lu(t,x)=-\sum _{i,j=1}^{n}{\big (}a_{ij}(x)u_{x_{i}}(t,x){\big )}_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(t,x)+c(x)u(t,x).}$$さらに、uの境界値を0とします。

すると、解の正則性は次の表で示される。

ここでmは自然数であり、${\displaystyle x\in U}$は空間変数、t は時間変数、H ^sは二乗可積分弱微分を持つ関数のソボレフ空間、L _t ^p Xは可積分X値関数のボフナー空間を表します。

すべての弱解が滑らかであるとは限らない。例えば、保存則の弱解には衝撃波と呼ばれる不連続性が存在する可能性がある。^{[ 3 ]}