微分変分不等式

数学において、微分変分不等式 (DVI)は、常微分方程式と変分不等式または相補性問題を組み込んだ動的システムです。

DVI は、ダイナミクスと不等式制約の両方を含むモデルを表現するのに役立ちます。このような問題の例としては、たとえば、機械的衝撃問題、理想ダイオードを使用した電気回路、接触する物体のクーロン摩擦問題、動的経済問題や動的交通ネットワーク、待ち行列ネットワークなどの関連問題 (制約は、待ち行列の長さの上限か、待ち行列の長さが負にならないかのいずれか) などがあります。DVI は、微分包含、投影された動的システム、進化的不等式、放物型変分不等式など、他の多くの概念に関連しています。

微分変分不等式は、パンとスチュワートによって初めて正式に導入されましたが、その定義は、オービンとセリーナ (1984) で使用された微分変分不等式と混同しないでください。

微分変分不等式は、次のような 形をとる。${\displaystyle u(t)\in K}$

${\displaystyle \langle vu(t),F(t,x(t),u(t))\rangle \geq 0}$

ほぼすべてのtに対して、Kは閉凸集合であり、 ${\displaystyle v\in K}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(t,x(t),u(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}.}$

DVIと密接に関連しているのは、動的/微分相補性問題です。Kが閉じた凸錐である場合、変分不等式は相補性問題と同等です。

${\displaystyle K\ni u(t)\quad \perp \quad F(t,x(t),u(t))\in K^{*}.}$

半径の剛体ボールが高さからテーブルに向かって落下することを考えてみましょう。ボールに作用する力は重力と、ボールがテーブルに侵入するのを防ぐ接触力であると仮定します。すると、運動を記述する微分方程式は次のようになります。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-mg+N(t)}$

ここで、 はボールの質量、はテーブルの接触力、 は重力加速度です。 と は両方とも事前に未知であることに注意してください。ボールとテーブルが離れている間は、接触力はありません。 貫通はあり得ません (剛体ボールと剛体テーブルの場合)。したがって、すべての に対してです。 の場合、 です。一方、 の場合、 は任意の非負の値を取ることができます。 (これはある種の接着剤に対応するため、 は許可しません。) これは、相補関係によって要約できます 。${\displaystyle m}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle y(t)-r\geq 0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y(t)-r>0}$${\displaystyle N(t)=0}$${\displaystyle y(t)-r=0}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle N(t)<0}$

${\displaystyle 0\leq y(t)-r\quad \perp \quad N(t)\geq 0.}$

上記の定式化では、 を設定することができ、その双対錐も非負の実数の集合になります。これは微分相補性の問題です。 ${\displaystyle K=\{\,z\mid z\geq 0\,\}}$${\displaystyle K^{*}=K}$

理想ダイオードとは、順方向電圧が印加されると抵抗なく順方向に電気を伝導しますが、逆方向には電流が流れないダイオードです。逆方向電圧が、順方向電流が の場合、2つの間には相補関係があります。 ${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle i(t)}$

${\displaystyle 0\leq v(t)\quad \perp \quad i(t)\geq 0}$

すべての に対して。ダイオードがコンデンサやインダクタなどのメモリ要素を含む回路内にある場合、回路は微分変分不等式として表すことができます。 ${\displaystyle t}$

DVI のインデックスの概念は重要であり、DVI の解の存在と一意性に関する多くの問題を決定します。この概念は、微分代数方程式(DAE) のインデックスの概念と密接に関連しています。これは、すべての変数の完全な微分方程式系を得るために、DAE の代数方程式を微分する必要がある回数です。また、これは制御理論の相対的な次数に近い概念でもあり、大まかに言えば、「出力」変数を微分する必要がある回数で、「入力」変数が制御理論に明示的に表示されます (これは、制御の基本概念であるいわゆる「ゼロダイナミクス」を含む標準状態空間形式を導出するために使用されます)。DVI の場合、インデックスは、u をtと x の関数としてローカルに一意に識別するために必要なF ( t、  x、  u ) = 0 の微分回数です。

この指標は、上記の例について計算できます。機械的衝撃の例では、一度微分すると が得られますが、これにはまだ が明示的には含まれません。しかし、もう一度微分すると、微分方程式を使用して が得られますが、これには が明示的に含まれます。さらに、 の場合、について を明示的に決定できます。 ${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle dy/dt(t)}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle d^{2}y/dt^{2}=(1/m)[-mg+N(t)]}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle d^{2}y/dt^{2}=b(t)}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle b(t)}$

理想的なダイオード システムの場合、計算はかなり難しくなりますが、いくつかの一般的に有効な条件が満たされていれば、微分変分不等式の指数が 1 であることが示されます。

指数が 2 より大きい微分変分不等式は一般に意味がありませんが、特定の条件と解釈によって意味を持つ場合があります (以下の Acary、Brogliato、Goeleven、および Heemels、Schumacher、および Weiland の参考文献を参照)。重要なステップの 1 つは、最初に適切な解の空間 (Schwartz 分布) を定義することです。

• Pang と Stewart (2008)「微分変分不等式」、数学プログラミング、第 113 巻、第 2 号、シリーズ A、345–424 ページ。
• Aubin と Cellina (1984) Differential Inclusions Springer-Verlag.
• Acary、Brogliato、Goeleven (2006)「高次モローのスイープ過程。数学的定式化と数値的定式化」、Mathematical Programming A、113、133–217、2008 年。
• Avi Mandelbaum (1989)「動的相補性の問題」、未発表原稿。
• Heemels、Schumacher、Weiland (2000)「線形相補性システム」、SIAM Journal on Applied Mathematics、vol. 60、no. 4、1234–1269。