投影された力学系

射影力学系は、解が制約集合に限定される力学系の挙動を研究する数学理論である。この分野は、最適化問題や平衡問題といった静的な世界と、常微分方程式といった動的な世界の両方と関連性や応用を共有している。射影力学系は、射影微分方程式への流れによって与えられる。

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t)))}$

ここで、Kは制約条件の集合である。この形式の微分方程式は、不連続なベクトル場を持つことで知られている。

射影力学系は、平衡問題における非静的解の挙動を、通常は時間である何らかのパラメータに関して動的にモデル化したいという欲求から発展してきた。このダイナミクスは、解が依然として基礎となる平衡問題が対象としていた制約セット（例えば、金融モデリングにおける投資の非負性、オペレーションズリサーチにおける凸多面体集合など）に制限されるという点で、常微分方程式のダイナミクスとは異なる。射影力学系の台頭を助けた特に重要な平衡問題のクラスの一つは、変分不等式である。

射影力学系の定式化は、1990年代にデュピュイと石井の論文の第5.3節で始まった。しかし、これ以前の数学文献にも、特に変分不等式や微分包含式に関連して、同様の概念が見られる。

射影された微分方程式の解は、常に制約集合K内に留まらなければなりません。この望ましい結果は、射影演算子と、特に重要な 2 つの凸錐を用いることで実現されます。ここでは、K はあるヒルベルト空間Xの閉じた凸部分集合とします。

集合Kの点xにおける集合Kの法線錐は次のように与えられる。

${\displaystyle N_{K}(x)=\{p\in V|\langle p,xx^{*}\rangle \geq 0,\forall x^{*}\in K\}.}$

点xにおける集合Kの接錐(または付随錐)は次のように与えられる。

${\displaystyle T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\frac {1}{h}}(Kx)}}.}$

X内の点xからKへの射影演算子(または最近接要素マッピング) は、次の点によって与えられる。${\displaystyle P_{K}(x)}$Kにおいて、

${\displaystyle \|x-P_{K}(x)\|\leq \|xy\|}$

Kのすべてのyについて。

ベクトルvのK内の点xへのベクトル射影演算子は次のように与えられる。

${\displaystyle \Pi _{K}(x,v)=\lim _{\delta \to 0^{+}}{\frac {P_{K}(x+\delta v)-x}{\delta }}.}$

これは、ベクトル場の方向に計算されたガトー微分に他なりません。

ヒルベルト空間Xの閉じた凸部分集合Kと、 KからXへ要素を取り込むベクトル場-Fが与えられたとき、 Kと-Fに関連付けられた射影微分方程式は次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t))).}$

Kの内部では、解はシステムが制約のない常微分方程式である場合と同様の振る舞いをします。しかし、ベクトル場は集合の境界に沿って不連続であるため、射影微分方程式は不連続常微分方程式のクラスに属します。これにより常微分方程式理論の多くは適用できなくなりますが、-Fがリプシッツ連続ベクトル場である場合、区間上のKの各初期点x(0)=x ₀を通る一意の絶対連続解が存在することが知られています。${\displaystyle [0,\infty )}$。

この微分方程式は、別の方法で次のように特徴づけることができる。

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=P_{T_{K}(x(t))}(-F(x(t)))}$

または

$\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=-F(x(t))-P_{N_{K}(x(t))}(-F(x(t))).}$

ベクトル場-F を負の符号で表す慣習は、射影された力学系と変分不等式との間に存在する特別な関連性から生じる。文献では、変分不等式ではベクトル場を正、対応する射影された力学系では負とするのが慣例となっている。

• 微分変分不等式
• 力学系理論
• 常微分方程式
• 変分不等式
• 差別的包摂
• 相補性理論

• Henry, C.、「計画手順のための不連続な右辺を持つ微分方程式」、J. Econom. Theory、4:545-551、1972年。
• Henry C.、「多値右辺を持つ微分方程式のクラスに対する存在定理」、J. Math. Anal. Appl.、41:179-186、1973年。
• Aubin, JP および Cellina, A.、『微分包含』、Springer-Verlag、ベルリン (1984)。
• Dupuis, P. および Ishii, H.、「Skorokhod 問題への解写像の Lipschitz 連続性について、その応用」、Stochastics and Stochastics Reports、35、31-62 (1991)。
• Nagurney, A. および Zhang, D.、「投影力学系と変分不等式とその応用」、Kluwer Academic Publishers (1996)。
• Cojocaru, M.、および Jonker L.、「ヒルベルト空間上の射影微分方程式の解の存在」、Proc. Amer. Math. Soc.、132(1)、183-193 (2004)。
• Brogliato, B.、Daniilidis, A.、Lemaréchal, C.、Acary, V.、「相補性システム、射影システム、微分包含の等価性について」、Systems and Control Letters、第55巻、45-51ページ（2006年）