レフシェッツ多様体

数学において、レフシェッツ多様体とは、ケーラー多様体とあるコホモロジー的性質、すなわち、硬いレフシェッツ定理の結論を満たす性質を共有する、特別な種類のシンプレクティック多様 体である。より正確には、強いレフシェッツ性質とは、 に対して、カップ積 ${\displaystyle (M^{2n},\omega )}$${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$

${\displaystyle \cup [\omega ^{k}]\colon H^{nk}(M,\mathbb {R} )\to H^{n+k}(M,\mathbb {R} )}$

同型である。

これらのシンプレクティック多様体の位相は、例えば奇ベッティ数が偶数であるなど、厳しく制約されている。この指摘はケーラーではないシンプレクティック多様体の多数の例につながり、最初の歴史的な例はウィリアム・サーストンによるものである。^[1]

を（）次元の滑らかな多様体とする。各要素 ${\displaystyle M}$${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle [\omega ]\in H_{DR}^{2}(M)}$

の第二ド・ラームコホモロジー空間の写像 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle L_{[\omega ]}:H_{DR}(M)\to H_{DR}(M),[\alpha ]\mapsto [\omega \wedge \alpha ]}$

のレフシェッツ写像と呼ばれる。をの 番目の反復とすると、各 に対して写像 ${\displaystyle [\omega ]}$${\displaystyle L_{[\omega ]}^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle L_{[\omega ]}}$${\displaystyle 0\leq i\leq n}$

${\displaystyle L_{[\omega ]}^{i}:H_{DR}^{ni}(M)\to H_{DR}^{n+i}(M).}$

がコンパクトでの向きが定められている場合、ポアンカレ双対性から、 と は同じ次元のベクトル空間であることがわかります。したがって、このような場合には、レフシェッツ写像のさまざまな反復が同型であるかどうかを尋ねるのは自然なことです。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle H_{DR}^{ni}(M)}$${\displaystyle H_{DR}^{n+i}(M)}$

ハード・レフシェッツ定理は、これがコンパクトなケーラー多様体のシンプレクティック形式の場合に当てはまることを述べています。

もし

${\displaystyle L_{[\omega ]}^{n-1}:H_{DR}^{1}(M)\to H_{DR}^{2n-1}}$

そして

${\displaystyle L_{[\omega ]}^{n}:H_{DR}^{0}(M)\to H_{DR}^{2n}}$

が同型である場合、 はレフシェッツ元、またはレフシェッツ類である。 ${\displaystyle [\omega ]}$

${\displaystyle L_{[\omega ]}^{i}:H_{DR}^{ni}(M)\to H_{DR}^{n+i}(M)}$

がすべての に対して同型である場合、 は強いレフシェッツ元、または強いレフシェッツ類です。 ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$${\displaystyle [\omega ]}$

を-次元シンプレクティック多様体とします。このとき、それは向き付け可能ですが、コンパクトではない可能性があります。がレフシェッツ要素である場合、 はレフシェッツ多様体であり、 が強いレフシェッツ要素である 場合、 は強いレフシェッツ多様体であると言えます。${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle [\omega ]}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle [\omega ]}$

任意のケーラー多様体の基となる実多様体はシンプレクティック多様体です。強レフシェッツ定理によれば、それは強レフシェッツ多様体でもあり、したがってレフシェッツ多様体でもあります。したがって、次の包含連鎖が成り立ちます。

{ケーラー多様体} {強いレフシェッツ多様体} {レフシェッツ多様体} {シンプレクティック多様体}${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \subset }$

1988年にChal BensonとCarolyn S. Gordonは^[2]、コンパクトな ニル多様体がレフシェッツ多様体であれば、トーラスに微分同相であることを証明しました。トーラスに微分同相でないニル多様体が存在するという事実は、ケーラー多様体とシンプレクティック多様体の間に何らかの空間があることを示していますが、ニル多様体のクラスはケーラー多様体、レフシェッツ多様体、および強いレフシェッツ多様体の間に違いを示すことができません。

ゴーダンとベンソンは、コンパクト完備なソルブ多様体がケーラー構造を持つならば、それはトーラスに微分同相であると予想した。これは証明されている。さらに、強いレフシェッツだがケーラーではないソルブ多様体や、レフシェッツだが強いレフシェッツではないソルブ多様体の多くの例が見つかっている。そのような例は2002年に山田拓己によって示された。^[3]