巡回多面体

数学において、巡回多面体( C ( n , d ) )は、R ^dの有理正規曲線上のn 個の異なる点の凸包として形成される凸多面体であり、nはdより大きい。これらの多面体は、コンスタンティン・カラテオドリ、デイヴィッド・ゲイル、セオドア・モツキン、ヴィクター・クレーらによって研究された。これらは多面体組合せ論において重要な役割を果たしており、ピーター・マクマレンとリチャード・スタンレーによって証明された上界定理によれば、巡回多面体C ( n , d ) の境界Δ ( n , d ) は、 n個の頂点を持つ次元d − 1のすべての単体球面の中でi次元面の数f _iを最大化する。

のモーメント曲線は次のように定義されます 。${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \mathbf {x} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{d},\mathbf {x} (t):={\begin{bmatrix}t,t^{2},\ldots ,t^{d}\end{bmatrix}}^{T}}$^[1 ]

頂点を持つ次元巡回多面体は凸包である${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle C(n,d):=\mathbf {conv} \{\mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})\}}$

モーメント曲線上の異なる点の集合。 ^[1]${\displaystyle n>d\geq 2}$${\displaystyle \mathbf {x} (t_{i})}$${\displaystyle t_{1} <t_{2} <t_{n}}$

この多面体の組み合わせ構造は選択された点に依存せず、結果として得られる多面体は次元dとn頂点を持つ。^{[1]その境界は}Δ ( n , d )で示される( d −1)次元の単体多面体 である。

ゲール均等条件^[2]は、巡回多面体上の面を決定するための必要かつ十分な条件を提供します。

とします。すると、の任意の 2 つの要素が、シーケンス のからの偶数個の要素によって分離されている場合に限り、 -部分集合が のファセットを形成します。 ${\displaystyle T:=\{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle T_{d}\subseteq T}$${\displaystyle C(n,d)}$ ${\displaystyle T\setminus T_{d}}$${\displaystyle T_{d}}$${\displaystyle (t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})}$

巡回多面体は、最大d /2 個の頂点の集合が面を形成するという点で、近隣多面体の例である。これらは最初に知られた近隣多面体であり、セオドア・モツキンはすべての近隣多面体は巡回多面体と組み合わせ的に同値であると推測したが、現在ではこれは誤りであることがわかっている。^{[3] [4]}

巡回多面体のi次元面の数Δ ( n , d )は、次の式で与えられる。

${\displaystyle f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor }$

デーン・ゾンマービル方程式によって完全に決定します。 ${\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$${\displaystyle (f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})}$

上界定理は、与えられた次元と頂点数に対して、巡回多面体は可能な最大の面数を持つことを述べています。Δが次元d − 1で頂点がn個の単体球面である場合、

${\displaystyle f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {for}}\quad i=0,1,\ldots ,d-1.}$

単体多面体の上限予想は、1957年にセオドア・モツキンによって提唱され、 1970年 にピーター・マクマレンによって証明されました。ヴィクター・クレーは、同じ命題がすべての単体球面に対して成り立つはずであると示唆し、これは実際に1975年にリチャード・P・スタンレー^{[5]によって、}スタンレー・ライスナー環の概念とホモロジー法を使用して確立されました。

• 組合せ可換代数