ムーア行列

線型代数において、ムーア行列は、EH ムーア (1896) によって導入され、有限体上で定義される行列です。 正方行列の場合、その行列式はムーア行列式と呼ばれます(これは、四元数エルミート行列 のムーア行列式とは無関係です)。 ムーア行列では、その列にフロベニウス自己同型の累乗が順次適用されます (最初の列のフロベニウス自己同型の 0 乗から始まる)。そのため、ムーア行列は、 すべてのインデックスiとjについてm × n行列 または になります (一部の著者は、上記の行列の転置を使用します)。 $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{1}^{q}&\dots &\alpha _{1}^{q^{n-1}}\\\alpha _{2}&\alpha _{2}^{q}&\dots &\alpha _{2}^{q^{n-1}}\\\alpha _{3}&\alpha _{3}^{q}&\dots &\alpha _{3}^{q^{n-1}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{m}&\alpha _{m}^{q}&\dots &\alpha _{m}^{q^{n-1}}\\\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle M_{i,j}=\alpha _{i}^{q^{j-1}}}$$

正方ムーア行列（m = n）のムーア行列式は次のように表すことができます。

$${\displaystyle \det(V)=\prod _{\mathbf {c} }\left(c_{1}\alpha _{1}+\cdots +c_{n}\alpha _{n}\right),}$$

ここでcは方向ベクトルの完全な集合を通り、最後の非ゼロの要素が1に等しくなるように特定される。つまり、

$${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i\leq n}\prod _{c_{1},\dots ,c_{i-1}}\left(c_{1}\alpha _{1}+\cdots +c_{i-1}\alpha _{i-1}+\alpha _{i}\right).}$$

特に、ムーア行列式は、左側の列の要素がq位の有限体上で線形従属である場合にのみ消滅します。したがって、これは複数の関数の Wronskianに類似しています。

ディクソンは、有限体上の 一般線型群のモジュラー不変量を見つける際にムーア行列式を使用しました。

• 交互行列
• ヴァンデルモンド行列
• ヴァンデルモンド行列式
• 行列のリスト