貧弱なセット

一般位相幾何学の数学の分野において、貧弱集合（貧弱集合または第一カテゴリの集合とも呼ばれる）は、以下に詳述する厳密な意味で小さいか無視できる位相空間の部分集合である。貧弱でない集合は非貧弱集合、または第二カテゴリの集合と呼ばれる。その他の関連用語の定義については以下を参照。

固定空間の希薄な部分集合は、部分集合のσ イデアルを形成します。つまり、希薄な集合の任意の部分集合は希薄であり、可算個数の希薄な集合 の和集合も希薄です。

希薄集合は、関数解析のいくつかの基本的結果の証明に使用されるベール空間の概念とベールのカテゴリ定理の定式化において重要な役割を果たします。

全体を通して、位相空間になります。 ${\displaystyle X}$

希薄集合の定義では、 のどこにも稠密でない部分集合、つまりその閉包の内部が空である の部分集合の概念を使用します。詳細については、対応する記事を参照してください。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

のサブセットは${\displaystyle X}$わずか ${\displaystyle X,}$なの${\displaystyle X,}$またはのわずかな部分集合の第一カテゴリ${\displaystyle X}$は、 のどこにも稠密でない部分集合の可算和であるときで。^[1]それ以外の場合、その部分集合は${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$非貧弱な${\displaystyle X,}$またはの非わずかな部分集合2番目のカテゴリin${\displaystyle X.}$^[1]周囲の空間が固定されており、文脈から理解される場合は、 修飾語「in${\displaystyle X}$

位相空間は貧弱な（それぞれ、非貧弱な集合 (それぞれ、それ自身の貧弱な部分集合である場合)。

のサブセットは${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$または来る${\displaystyle X,}$​${\displaystyle X,}$補集合 で希薄である場合、で残余集合となる。(接頭辞「co」のこの用法は、「c​​ofinite」などの他の用語での使用法と一致している。) 部分集合が で共存可能である、各内部が で稠密である集合の共通集合に等しい場合のみである。${\displaystyle X\setminus A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

用語に関する注釈

非少集合と共集合の概念を混同しないでください。空間が少集合である場合、すべての部分集合は少集合と共集合の両方であり、非少集合は存在しません。空間が非少集合である場合、同時に少集合と共集合である集合はなく、共集合のすべての集合は非少集合であり、共集合ではない非少集合、つまり非少集合の補集合が存在する可能性があります。以下の例のセクションを参照してください。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

用語の追加ポイントとして、位相空間の部分集合に から誘導される部分空間位相が与えられた場合、それは希薄空間、つまりそれ自体の希薄部分集合であると言える（それ自体を位相空間とみなした場合）。 この場合はの希薄部分空間とも呼ばれ、部分空間位相が与えられた場合に希薄空間となる。 重要なのは、これが空間 全体で希薄であることと同じではないということである。 （この 2 つの関係については、以下の「プロパティ」および「例」のセクションを参照。） 同様に、非希薄部分空間はそれ自体が非希薄である集合であるが、空間全体で非希薄であることと同じではない。 ただし、位相ベクトル空間の文脈では、一部の著者が「希薄/非希薄部分空間」という語句を、空間全体に対して希薄/非希薄集合であるベクトル部分空間の意味で使用することがあるので注意が必要である。^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

第一カテゴリーと第二カテゴリーという用語は、もともとルネ・ベールが1899年の論文で使用した用語である。^[3] この貧弱な用語は1948年にブルバキによって導入された。 ^{[4] [5]}

空集合は常に、あらゆる位相空間の閉じた、どこにも稠密でない（したがって、乏しい）部分集合です。

非貧弱な空間では、集合は貧弱です。集合は非貧弱かつ貧弱です。 ${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$${\displaystyle [0,1]}$

非僅少空間では、集合は非僅少です。しかし、その補集合も非僅少なので、それは併合集合ではありません。 ${\displaystyle X=[0,2]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (1,2]}$

孤立点のない可算T ₁空間は、貧弱である。したがって、それを部分空間として含む任意の空間においても、それは貧弱である。たとえば、は の貧弱な部分空間（つまり、 から誘導される部分空間位相を持つそれ自体が貧弱）であり、 の貧弱な部分集合でもある。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

カントール集合は のどこにも稠密ではないため、 では希薄です。しかし、カントール集合は完全な距離空間 であるため、それ自体は非希薄です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

集合はにおいてどこにも稠密ではないが、 において希薄である。それ自体は非希薄である（部分空間として孤立点を含むため）。 ${\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

直線は平面上では希薄です が、非希薄な部分空間です。つまり、直線自体は非希薄です。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

集合 はの希薄部分集合であるが、その希薄部分集合は非希薄部分空間である（つまり、は希薄位相空間ではない）。^[6]孤立点 のない可算ハウスドルフ空間は希薄であるが、孤立点を含む位相空間は非希薄である。^[6]有理数は可算である ため、実数の部分集合としても空間としても希薄である。つまり、有理数はベール空間を形成しない。 ${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

孤立点を含む位相空間は非貧弱である^[6]（孤立点を含む集合はどこにも稠密ではないため）。特に、空でない離散空間はすべて非貧弱である。

空でないすべての開集合を 2 つの非貧弱集合に分割する実数のサブセットが存在します。つまり、空でないすべての開集合 に対して、集合と は両方とも非貧弱集合です。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle U\cap H}$${\displaystyle U\setminus H}$

一様収束の位相を持つ上の連続実数値関数の空間において、ある点で導関数を持つ上の連続実数値関数の集合は希薄である。 ^{[7] [8]}は完備な計量空間な ので、非希薄である。そのため、上の連続実数値のどこにも微分不可能な関数からなる の補集合は、希薄かつ非希薄である。特に、その集合は空ではない。これは、連続するどこにも微分不可能な関数の存在を示す1つの方法である。 ${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle A}$${\displaystyle [0,1],}$

無限次元バナッハ空間上には、核が非貧弱な不連続線型関数が存在する。^[9]また、マーティンの公理によれば、各可分バナッハ空間上には、核が貧弱な不連続線型関数が存在する（この主張はウィランスキー＝クレー予想^[10]を反証する）。^[9]

すべての空でないベール空間は非貧弱です。特に、ベールのカテゴリ定理により、すべての空でない完全距離空間とすべての空でない局所コンパクト ハウスドルフ空間は非貧弱です。

空でないベール空間はすべて非貧弱だが、ベール空間ではない非貧弱空間も存在する。^[6]完全 （擬似）距離空間やハウスドルフ 局所コンパクト空間はベール空間であるため、非貧弱空間でもある。^[6]

希薄集合の任意の部分集合は希薄集合であり、可算個数の希薄集合の和集合も同様である。^[11]が同相写像である ならば、部分集合が希薄であるためには が希薄でなければならない。^[11]${\displaystyle h:X\to X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle h(S)}$

あらゆるどこにも稠密でない部分集合は貧弱な集合である。^[11]したがって、の内部が空である の閉部分集合は、 の最初のカテゴリに属する​​（つまり、 の貧弱な部分集合である）。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

のバナッハのカテゴリー定理^[12]、任意の空間において、第1カテゴリーの開集合の族の和集合は第1カテゴリーに属することを述べている。 ${\displaystyle X,}$

希薄集合のすべての部分集合とすべての可算和は希薄です。したがって、固定空間の希薄部分集合は、無視できる集合の適切な概念である部分集合のσ イデアルを形成します。双対的に、共同集合のすべてのスーパーセットとすべての可算共通集合は共同です。非希薄集合のすべてのスーパーセットは非希薄です。

から誘導される部分空間位相を持つと仮定する。 集合は では希薄であるが では希薄ではない可能性がある。 しかし、次の結果が成り立つ: ^[5]${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

• がわずかであれば、がわずかであれば${\displaystyle A}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
• が開いている場合、はでわずかであり、 がでわずかである場合に限ります。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
• がで密であればはで乏しい、かつが で乏しい場合のみ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$

同様に、非貧弱集合の場合も同様です。

• が で非貧弱であれば はで非貧弱である${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y.}$
• が開いている場合、はで非貧弱であり、 が で非貧弱である場合に限ります。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
• が密であれば、 は で非希薄であり、 は で非希薄である場合に限ります。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$

特に、それ自体が希薄である のすべての部分集合は、 において希薄であり、 において非希薄である の すべての部分集合は、それ自体が非希薄です。また、 の開集合または稠密集合の場合、 において希薄であることは、それ自体が希薄であることと同等であり、非希薄なプロパティについても同様です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

位相空間が非貧弱であるための必要十分条件は、その位相空間における稠密な開集合の可算交差がすべて空でないことである。^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

のどこにも稠密でない部分集合はどれも貧弱である。したがって、内部が空である閉部分集合はどれも貧弱である。したがって、 の2番目のカテゴリに属する​​ の閉部分集合は、 ^[14]に空でない内部を持たなければならない（そうでなければどこにも稠密でなく、したがって1番目のカテゴリに属する​​ため）。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

がの2番目のカテゴリに属し、 がのサブセットである場合、少なくとも1つはの2番目のカテゴリに属します。${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots }$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle X.}$

正のルベーグ測度を持つ稠密な部分集合（つまり希薄な部分集合）は存在しない。^[6]

の貧弱な集合はルベーグ測度がゼロである必要はなく、完全な測度を持つこともできる。例えば、区間太いカントール集合では、スミス・ヴォルテラ・カントール集合と同様に、密でない閉集合であり、に任意に近い測度で構成できる。 測度がに近づくような可算数の集合の和集合は、測度が であるの貧弱な部分集合を与える^[15]。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle 1.}$

双対的に、測度が 0 である非希薄集合が存在する可能性があります。における測度の任意の希薄集合の補集合(たとえば、前の段落のもの) は測度を持ち、 では同色であり、したがって では非希薄です。なぜなら はベール空間だからです。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$

以下は、 の、測定値 を持つ非貧弱集合の別の例です。 ここで、は有理数を列挙する数列です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle \bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m},r_{n}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m}\right)}$$${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$

どこにも密でない部分集合は閉じている必要はなく、閉じたどこにも密でない部分集合 (つまり、その閉包) に常に含まれるのと同様に、貧集合は集合(閉集合の可算な和集合) である必要はなく、どこにも密でない集合から作られた集合 (各集合の閉包を取ることによって) に常に含まれる。 ${\displaystyle F_{\sigma }}$${\displaystyle F_{\sigma }}$

双対的に、どこにも存在しない稠密集合の補集合は開集合である必要はなく、稠密な内部（稠密な開集合を含む）を持つのと同様に、同集合は集合（開集合の可算な共通集合）である必要はなく、稠密な開集合から形成された稠密な集合を含む。 ${\displaystyle G_{\delta }}$${\displaystyle G_{\delta }}$

希薄集合は、バナッハ・マズールゲームという便利な別の特徴付けを持つ。が位相空間、が のサブセットの族で、 が空でない内部を持ち、すべての空でない開集合が に属するサブセットを持ち、が の任意のサブセットであるとすると 、バナッハ・マズールゲーム が存在します。 バナッハ・マズールゲームでは、2 人のプレーヤー、およびが のより小さい要素を交互に連続的に選択して、数列 を作成します。この数列の交差点に 内の点が含まれている場合、 プレーヤーが勝ちます。そうでない場合、プレーヤーが勝ちます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {W}},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q,}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Q}$

希薄集合に関する多くの議論は、ヌル集合、つまりルベーグ測度が 0 の集合にも当てはまります。エルデシュ-シェルピンスキーの双対定理は、連続体仮説が成り立つ場合、実数から実数への反転があり、実数のヌル集合の像は希薄集合であり、その逆もまた同様であるとしています。 ^[16]実際、写像の下の実数集合の像は、元の集合が希薄であった場合にのみヌルであり、その逆も同様です。^[17]

• バレル空間 – 位相ベクトル空間の種類
• 一般的なプロパティ – 典型的な例、残余の類似例に対するプロパティ保持
• 無視できる集合 – 数学的に重要でないとみなされる集合。
• ベールの性質 – 開集合と希薄集合の差

• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1967]。一般トポロジー 2: 第 5 章から第 10 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。 Vol. 4. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
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• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240。