生存分析

生存分析は、生物の死や機械システムの故障など、あるイベントが発生するまでの予想される継続時間を分析する統計学の分野です。このトピックは、信頼性理論、工学では信頼性分析または信頼性工学、経済学では継続時間分析または継続時間モデリング、社会学ではイベント履歴分析と呼ばれます。生存分析は、特定の時間を過ぎても生き残る集団の割合はどれくらいか、生き残った人々のうち、どれくらいの割合で死亡または失敗するか、複数の死亡または失敗の原因を考慮に入れることができるか、特定の状況または特性によって生存の確率がどのように増加または減少するかなど、特定の質問に答えようとします。

このような疑問に答えるには、「寿命」を定義する必要があります。生物学的生存の場合、死は明確ですが、機械的信頼性の場合、故障は明確に定義されない可能性があります。故障が部分的であったり、程度の問題であったり、あるいは時間的に特定されていない機械的システムが存在する可能性があるからです。生物学的問題でも、一部のイベント (たとえば、心臓発作や他の臓器不全) には同様の曖昧さがある場合があります。以下に概説する理論は、特定の時間に明確に定義されたイベントを想定しています。その他のケースは、曖昧なイベントを明示的に考慮したモデルで処理した方がよい場合があります。

より一般的には、生存分析にはイベント データまでの時間のモデル化が含まれます。この文脈では、死亡または障害は生存分析の文献では「イベント」と見なされます。従来、各対象に対して 1 つのイベントのみが発生し、その後、生物またはメカニズムは死亡または破損します。反復イベント モデルまたは反復イベントモデルでは、この仮定が緩和されます。反復イベントの研究は、システムの信頼性、および社会科学と医学研究の多くの分野に 関連しています。

生存分析はいくつかの方法で使用されます。

• グループのメンバーの生存時間を説明する
  • 生命表
  • カプラン・マイヤー曲線
  • 生存機能
  • ハザード関数
• 2つ以上のグループの生存時間を比較する
  • ログランク検定
• カテゴリー変数または量的変数が生存に与える影響を説明する
  • Cox比例ハザード回帰
  • パラメトリック生存モデル
  • 生き残る木
  • 生存ランダムフォレスト

生存分析では、次の用語がよく使用されます。

• イベント: 死亡、病気の発生、病気の再発、回復、またはその他の興味深い経験
• 時間: 観察期間の開始 (手術や治療の開始など) から (i) イベント、(ii) 研究の終了、(iii) 連絡の途絶または研究からの離脱までの時間。
• 打ち切り/打ち切り観察: 打ち切りは、個々の生存時間に関する情報はあるが、生存時間を正確には知らない場合に発生します。被験者は、打ち切り時間以降、その被験者について何も観察されず、何も知られていないという意味で打ち切られます。打ち切り被験者は、観察時間の終了後にイベントが発生する場合と発生しない場合があります。
• 生存関数S(t): 被験者が時間 t より長く生存する確率。

この例では、R の「survival」パッケージの急性骨髄性白血病生存データセット「aml」を使用します。データセットは Miller (1997) ^[1]からのものであり、標準的な化学療法コースを追加サイクルに延長 (「維持」) する必要があるかどうかが問題となります。

生存時間順に並べられた AML データ セットがボックスに表示されます。

• 時間は変数「time」で示され、これは生存時間または打ち切り時間である。
• イベント（AML 癌の再発）は変数「ステータス」によって示されます。0  = イベントなし（検閲済み）、1  = イベント（再発）
• 治療群: 変数「x」は維持化学療法が行われたかどうかを示します

最後の観察 (11) は 161 週で打ち切られています。打ち切りは、患者にイベントがなかった (AML がんの再発なし) ことを示します。別の被験者、観察 3 は 13 週で打ち切られました (ステータス = 0 で示されています)。この被験者は 13 週間のみ研究に参加し、その 13 週間に AML がんは再発しませんでした。この患者は研究の終わり近くに登録されたため、13 週間のみ観察できた可能性があります。患者が研究の早い段階で登録されたが、追跡調査から失われたか、研究から脱退した可能性もあります。表は、他の被験者が 16、28、および 45 週で打ち切られたことを示しています ( ステータス = 0 の観察 17、6、および 9)。残りの被験者はすべて、研究中にイベント (AML がんの再発) を経験しました。興味深い疑問は、維持療法を受けた患者では、維持療法を受けていない患者よりも再発が遅く起こるかどうかです。

生存関数 S ( t )は、被験者が時間tより長く生存する確率です。S ( t ) は理論的には滑らかな曲線ですが、通常はKaplan-Meier (KM) 曲線を使用して推定されます。グラフは aml データの KM プロットを示しており、次のように解釈できます。

• x軸は、ゼロ (観測開始時) から最後の観測時点までの時間です。
• Y軸は、生存している被験者の割合です。時間 0 では、被験者の 100% が何事もなく生存しています。
• 実線（階段に似ています）は、イベント発生の進行を示します。
• 垂直方向の落ち込みはイベントを示します。上記の aml テーブルでは、2 人の被験者が 5 週目にイベントを起こし、2 人が 8 週目にイベントを起こし、1 人が 9 週目にイベントを起こしました。以下同様です。5 週目、8 週目などのこれらのイベントは、その時点での KM プロットの垂直方向の落ち込みによって示されます。
• KM プロットの右端には、161 週のチェック マークがあります。垂直のチェック マークは、この時点で患者が打ち切られたことを示します。AML データ テーブルでは、5 人の被験者が 13、16、28、45、161 週で打ち切られました。KM プロットには、これらの打ち切られた観察に対応する 5 つのチェック マークがあります。

生命表は、イベントの数と各イベント時点で生存している割合の観点から生存データを要約します。R ソフトウェアを使用して作成された AML データの生命表を示します。

生命表は、イベントと各イベント時点で生存している割合をまとめたものです。生命表の列の意味は次のとおりです。

• time はイベントが発生する時点を示します。
• n.risk は、時点 t の直前にリスクにさらされている被験者の数です。「リスクにさらされている」とは、被験者が時点 t より前にイベントを経験しておらず、時点 t より前または時点で打ち切られていないことを意味します。
• n.event は、時刻 t にイベントが発生する被験者の数です。
• 生存率は、カプラン・マイヤー積極的推定値を使用して決定される生存率です。
• std.err は、推定生存率の標準誤差です。カプラン・マイヤー積分限界推定値の標準誤差は、グリーンウッドの公式を使用して計算され、危険にさらされている人数 (表の n.risk)、死亡者数 (表の n.event)、および生存率 (表の survival) によって異なります。
• 下限 95% CI と上限 95% CI は、生存率の下限 95% 信頼限界と上限 95% 信頼限界です。

ログランク検定は、 2 つ以上のグループの生存時間を比較します。この例では、AML データにおける維持治療グループと非維持治療グループの生存率の差を調べるためにログランク検定を使用します。グラフには、データ内の変数「x」で示される治療グループごとに分類された AML データの KM プロットが表示されます。

ログランク検定の帰無仮説は、グループの生存率が同じであるというものです。各時点で各グループが生存する被験者の予想数は、各イベント時点でグループ内でリスクにさらされている被験者の数に合わせて調整されます。ログランク検定は、各グループで観測されたイベント数が予想数と有意に異なるかどうかを判定します。正式な検定はカイ二乗統計量に基づいています。ログランク統計量が大きい場合、グループ間の生存時間が異なることの証拠となります。ログランク統計量は、自由度が 1 のカイ二乗分布に近似しており、p 値はカイ二乗検定を使用して計算されます。

サンプルデータの場合、生存率の差に関するログランク検定では p 値が p=0.0653 となり、アルファレベルを 0.05 と仮定すると、治療群の生存率に有意差がないことが示されます。被験者 23 名というサンプルサイズは小さいため、治療群間の差を検出する力はほとんどありません。カイ 2 乗検定は漸近近似に基づいているため、サンプルサイズが小さい場合は p 値を慎重に検討する必要があります。

カプランマイヤー曲線とログランク検定は、予測変数がカテゴリ型 (例: 薬物 vs. プラセボ) であるか、カテゴリ型として扱うことができる少数の値 (例: 薬物投与量 0、20、50、100 mg/日) をとる場合に最も役立ちます。ログランク検定と KM 曲線は、遺伝子発現、白血球数、年齢などの定量的予測変数では簡単には機能しません。定量的予測変数の場合、代替方法としてCox 比例ハザード回帰分析があります。Cox PH モデルは、{0,1} インジケーターまたはダミー変数としてエンコードされるカテゴリ予測変数でも機能します。ログランク検定は Cox PH 分析の特殊なケースであり、Cox PH ソフトウェアを使用して実行できます。

この例では、Dalgaardの第14章のメラノーマデータセットを使用しています。 ^[2]

データは R パッケージ ISwR にあります。R を使用した Cox 比例ハザード回帰では、 ボックスに示す結果が得られます。

Cox 回帰の結果は次のように解釈されます。

• 性別は数値ベクトルとしてエンコードされます (1: 女性、2: 男性)。Cox モデルの R サマリーは、最初のグループに対する 2 番目のグループのハザード比 (HR)、つまり男性と女性の比率を示します。
• coef = 0.662 は、男性と女性のハザード比の推定対数です。
• exp(coef) = 1.94 = exp(0.662) - ハザード比の対数 (coef= 0.662) は、exp(coef) を使用してハザード比に変換されます。Cox モデルの要約は、第 1 グループに対する第 2 グループのハザード比 (つまり、男性と女性) を示します。推定ハザード比 1.94 は、これらのデータでは、男性の方が女性よりも死亡リスクが高い (生存率が低い) ことを示しています。
• se(coef) = 0.265は対数ハザード比の標準誤差です。
• z = 2.5 = coef/se(coef) = 0.662/0.265。係数を標準誤差で割ると、z スコアが得られます。
• p=0.013。性別のz=2.5に対応するp値はp=0.013であり、性別に応じて生存率に有意な差があることを示しています。

サマリー出力には、ハザード比の 95% 信頼区間の上限と下限も示されます。95% 下限 = 1.15、95% 上限 = 3.26。

最後に、出力には、モデルの全体的な有意性を調べるための 3 つの代替テストの p 値が示されます。

• 尤度比検定 = 1 自由度で 6.15、p=0.0131
• ワルド検定 = 1 自由度で 6.24、p=0.0125
• スコア（ログランク）検定 = 1 自由度で 6.47、p=0.0110

これら 3 つのテストは漸近的に同等です。N が十分に大きい場合、同様の結果が得られます。N が小さい場合、多少異なる場合があります。最後の行の「スコア (ログランク) テスト」は、ログランク テストの結果です。p=0.011 で、ログランク テストと同じ結果です。これは、ログランク テストが Cox PH 回帰の特殊なケースであるためです。尤度比テストは、サンプル サイズが小さい場合に優れた動作を示すため、一般的に好まれます。

Coxモデルは、追加の共変量を含めることでログランク検定を拡張します。^[3]この例では、予測変数に連続共変量である腫瘍の厚さ（変数名 = "thick"）が含まれる黒色腫データセットを使用します。

ヒストグラムでは、厚さの値は正に歪んでおり、ガウス分布のような対称確率分布を持ちません。Cox モデルを含む回帰モデルは、通常、正規分布する変数でより信頼性の高い結果をもたらします。^{[引用が必要]この例では、}対数変換を使用できます。腫瘍の厚さの対数はより正規分布しているように見えるため、Cox モデルでは厚さの対数を使用します。Cox PH 分析の結果はボックスに表示されます。

3 つの全体的なテスト (尤度、Wald、スコア) の p 値は有意であり、モデルが有意であることを示しています。log(thick) の p 値は 6.9e-07 で、ハザード比 HR = exp(coef) = 2.18 であり、腫瘍の厚さと死亡リスクの増加の間に強い関係があることを示しています。

対照的に、性別の p 値は p=0.088 です。ハザード比 HR = exp(coef) = 1.58、95% 信頼区間は 0.934 ～ 2.68 です。HR の信頼区間に 1 が含まれているため、これらの結果は、腫瘍の厚さをコントロールした後、性別が HR の差に与える影響は小さく、有意傾向にあることを示しています。性別別の log(厚さ) のグラフと性別別の log(厚さ) の t 検定の両方から、男性と女性では、医師に初めて診てもらうときの腫瘍の厚さに有意差があることがわかります。

Cox モデルでは、ハザードが比例していると仮定します。比例ハザードの仮定は、R 関数 cox.zph() を使用してテストできます。p 値が 0.05 未満の場合、ハザードは比例していないことを示します。メラノーマ データの場合、p=0.222 が得られます。したがって、ハザードが比例するという帰無仮説を棄却することはできません。Cox モデルを調べるための追加のテストとグラフは、引用されている教科書に記載されています。

Cox モデルは、単純な分析のバリエーションに対応するように拡張できます。

• 層別化。被験者は層に分けることができ、層内の被験者は、他の層からランダムに選択された被験者よりも、比較的互いに類似していることが予想されます。回帰パラメータは層全体で同じであると想定されますが、層ごとに異なるベースライン ハザードが存在する可能性があります。層別化は、一致した被験者を使用した分析、異なるクリニックなどの患者サブセットの処理、および比例ハザードの仮定の違反の処理に役立ちます。
• 時間とともに変化する共変量。性別や治療グループなどの一部の変数は、通常、臨床試験では同じままです。血清タンパク質レベルや併用薬の投与量などの他の臨床変数は、研究の過程で変化する可能性があります。Cox モデルは、このような時間とともに変化する共変量に拡張できます。

Cox PH 回帰モデルは線形モデルです。線形回帰やロジスティック回帰に似ています。具体的には、これらの方法では、1 本の直線、曲線、平面、または表面でグループ (生存、死亡) を分離したり、定量的応答 (生存時間) を推定したりするのに十分であると想定しています。

場合によっては、代替パーティションの方がより正確な分類や定量的な推定値が得られます。代替方法の1つに、ツリー構造の生存モデルがあります。 ^{[4] [5] [6]}これには生存ランダムフォレストが含まれます。^[7]ツリー構造の生存モデルは、Coxモデルよりも正確な予測値を与える可能性があります。特定のデータセットに対して両方のタイプのモデルを調べることは合理的な戦略です。

この生存ツリー分析の例では、R パッケージ「rpart」を使用しています。^[8]この例は、rpart のデータセット stagec に含まれるステージ C の前立腺がん患者 146 人に基づいています 。Rpart と stagec の例は、Atkinson と Therneau (1997) ^[9]で説明されており、rpart パッケージのビネットとしても配布されています。^[8]

ステージ内の変数は次のとおりです。

• pgtime : 進行までの時間、または進行が見られなかった最後の追跡調査
• pgstat : 最終フォローアップ時のステータス (1=進行中、0=打ち切り)
• 年齢: 診断時の年齢
• eet : 早期内分泌療法 (1=いいえ、0=はい)
• 倍数性: 二倍体/四倍体/異数体 DNA パターン
• g2 : G2期の細胞の割合
• グレード: 腫瘍のグレード (1-4)
• グリーソン：グリーソングレード（3-10）

解析によって生成された生存ツリーを図に示します。

ツリーの各ブランチは、変数の値の分割を示します。たとえば、ツリーのルートは、グレード 2.5 未満の被験者とグレード 2.5 以上の被験者を分割し​​ます。ターミナル ノードは、ノード内の被験者の数、イベントが発生した被験者の数、およびルートと比較した相対イベント率を示します。左端のノードでは、値 1/33 は、ノード内の 33 人の被験者のうち 1 人にイベントが発生し、相対イベント率が 0.122 であることを示します。右下のノードでは、値 11/15 は、ノード内の 15 人の被験者のうち 11 人にイベントが発生し、相対イベント率が 2.7 であることを示します。

単一の生存ツリーを構築する代わりに、多数の生存ツリーを構築する方法があります。各ツリーはデータのサンプルを使用して構築され、ツリーの平均から生存を予測します。^[7]これは、生存ランダムフォレストモデルの基盤となる方法です。生存ランダムフォレスト分析は、Rパッケージ「randomForestSRC」で利用できます 。^[10]

randomForestSRC パッケージには、データセット pbc を使用した生存ランダム フォレスト分析の例が含まれています。このデータは、1974 年から 1984 年にかけて実施されたメイヨー クリニックの肝臓原発性胆汁性肝硬変 (PBC) 試験からのものです。この例では、ランダム フォレスト生存モデルは、Cox PH モデルよりも正確な生存予測を提供します。予測誤差は、ブートストラップ再サンプリングによって推定されます。

深層表現学習の最近の進歩は、生存率推定にまで拡張されています。DeepSurv ^[11]モデルは、CoxPH モデルの対数線形パラメータ化を多層パーセプトロンに置き換えることを提案しています。Deep Survival Machines ^[12]や Deep Cox Mixtures ^[13]などのさらなる拡張では、潜在変数混合モデルを使用して、入力共変量の表現を共同学習しながら、イベントまでの時間分布をパラメトリック分布またはセミパラメトリック分布の混合としてモデル化します。深層学習アプローチは、画像や臨床時系列などの複雑な入力データ モダリティで特に優れたパフォーマンスを示しています。

主な関心の対象は、慣例的にSと表記される生存関数であり、次のように定義される。

$${\displaystyle S(t)=\Pr(T>t)}$$ ここで、tはある時間、Tは死亡時刻を表すランダム変数、そして「Pr」は確率を表します。つまり、生存関数は、死亡時刻が指定された時刻tより後になる確率です。生存関数は、生物学的生存の問題では生存関数または生存率関数とも呼ばれ、機械的生存の問題では信頼性関数とも呼ばれます。後者の場合、信頼性関数はR ( t )と表されます。

通常、S  (0) = 1 と想定されますが、即時の死亡または故障の可能性がある場合は 1 未満になる可能性があります。

生存関数は非増加でなければなりません: u ≥ tの場合、 S ( u ) ≤ S ( t ) 。この特性は、 T > uであればT > tとなるため、当然の帰結です。これは、より若い年齢に達した場合にのみ、より高齢まで生存できるという考えを反映しています。この特性を考慮すると、生涯分布関数とイベント密度 (以下のFとf ) は明確に定義されます。

生存関数は通常、年齢が無限に増加するにつれてゼロに近づくと想定されます (つまり、t → ∞としてS ( t ) → 0 )。ただし、永遠の命が可能な場合は、この限界はゼロより大きくなる可能性があります。たとえば、安定炭素同位体と不安定炭素同位体の混合物に生存分析を適用できます。不安定同位体は遅かれ早かれ崩壊しますが、安定同位体は無期限に存続します。

関連する量は生存関数の観点から定義されます。

生涯分布関数は、慣例的にFと表記され、生存関数の補数として定義される。

$${\displaystyle F(t)=\Pr(T\leq t)=1-S(t).}$$Fが微分可能な 場合、その導関数は寿命分布の密度関数であり、慣例的にfと表記される。

$${\displaystyle f(t)=F'(t)={\frac {d}{dt}}F(t).}$$ 関数f はイベント密度と呼ばれることもあり、単位時間あたりの死亡または故障イベントの発生率を表します。

生存関数は確率分布と確率密度関数で表現できる。

$${\displaystyle S(t)=\Pr(T>t)=\int _{t}^{\infty }f(u)\,du=1-F(t).}$$ 同様に、生存イベント密度関数は次のように定義される。

$${\displaystyle s(t)=S'(t)={\frac {d}{dt}}S(t)={\frac {d}{dt}}\int _{t}^{\infty }f(u)\,du={\frac {d}{dt}}[1-F(t)]=-f(t).}$$ 統計物理学などの他の分野では、生存イベント密度関数は初回通過時間密度として知られています。

ハザード関数は 、ある時点の生存率を条件としたある時点のイベント発生率として定義される。${\displaystyle h}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle t.}$

さまざまな分野におけるハザード関数の同義語には、ハザード率、死亡率（人口統計学および保険数理科学、 と表記）、故障率（工学、と表記）などがあります。たとえば、保険数理科学では は歳の人の死亡率を表しますが、信頼性工学では時間 の運転後の部品の故障率を表します。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu (x)}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle t}$

あるアイテムが一定期間存続していて、さらに一定期間存続しない確率を知りたいとします。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle dt}$

$${\displaystyle h(t)=\lim _{dt\rightarrow 0}{\frac {\Pr(t\leq T<t+dt)}{dt\cdot S(t)}}={\frac {f(t)}{S(t)}}=-{\frac {S'(t)}{S(t)}}.}$$

任意の関数がハザード関数となるのは、次の特性を満たす場合のみです。 ${\displaystyle h}$

1. ${\displaystyle \forall x\geq 0\left(h(x)\geq 0\right)}$、
2. ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }h(x)dx=\infty }$。

実際、ハザード率は通常、寿命分布の他の表現よりも、故障の根本的なメカニズムについてより多くの情報を提供します。

ハザード関数は非負で、 での積分は無限大でなければなりませんが、それ以外には制約がありません。増加または減少、非単調、または不連続である可能性があります。一例として、バスタブ曲線ハザード関数があります。これは、 の値が小さいときには大きくなり、ある最小値まで減少し、その後再び増加します。これは、一部の機械システムが動作後すぐに故障するか、システムが古くなるにつれてかなり後になって故障するかの特性をモデル化できます。 ${\displaystyle \lambda (t)\geq 0}$${\displaystyle [0,\infty ]}$${\displaystyle t}$

ハザード関数は累積ハザード関数（慣例的にまたは と表記）で表すこともできます。 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \,\Lambda (t)=-\log S(t)}$$ 符号の転置と指数化

$${\displaystyle \,S(t)=\exp(-\Lambda (t))}$$ または微分する（連鎖律で）

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Lambda (t)=-{\frac {S'(t)}{S(t)}}=\lambda (t).}$$ 「累積ハザード関数」という名前は、

$${\displaystyle \Lambda (t)=\int _{0}^{t}\lambda (u)\,du}$$ これは、時間の経過とともに危険が「蓄積」されることを意味します。

の定義から、 t が無限大に近づくにつれて ( がゼロに近づくと仮定)が際限なく増加することがわかります。これは、定義により累積ハザードは発散する必要があるため、 が急激に減少してはならないことを意味します。たとえば、はどの生存分布のハザード関数でもありません。その積分は 1 に収束するためです。 ${\displaystyle \Lambda (t)}$${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle \exp(-t)}$

生存関数、累積ハザード関数、密度、ハザード関数、および生涯分布関数は 、${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle \Lambda (t)}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle F(t)}$$${\displaystyle S(t)=\exp[-\Lambda (t)]={\frac {f(t)}{\lambda (t)}}=1-F(t),\quad t>0.}$$

ある時点における将来の寿命とは、年齢まで生存した場合の、死亡までの残り時間です。したがって、現在の表記法で表されます。期待される将来の寿命とは、将来の寿命の期待値です。年齢まで生存した場合、年齢 までに死亡する確率は、 ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle T-t_{0}}$${\displaystyle t_{0}+t}$${\displaystyle t_{0}}$

$${\displaystyle P(T\leq t_{0}+t\mid T>t_{0})={\frac {P(t_{0}<T\leq t_{0}+t)}{P(T>t_{0})}}={\frac {F(t_{0}+t)-F(t_{0})}{S(t_{0})}}.}$$ したがって、将来の寿命の確率密度は

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {F(t_{0}+t)-F(t_{0})}{S(t_{0})}}={\frac {f(t_{0}+t)}{S(t_{0})}}}$$ そして、予想される将来の寿命は

$${\displaystyle {\frac {1}{S(t_{0})}}\int _{0}^{\infty }t\,f(t_{0}+t)\,dt={\frac {1}{S(t_{0})}}\int _{t_{0}}^{\infty }S(t)\,dt,}$$ ここで、2 番目の式は部分積分を使用して得られます。

つまり、出生時には、これは期待寿命に減少します。 ${\displaystyle t_{0}=0}$

信頼性の問題では、期待寿命は平均故障時間と呼ばれ、期待される将来の寿命は平均残存寿命と呼ばれます。

個体がt歳以降まで生存する確率はS ( t ) なので、定義により、すべての個体の生存関数が同じであると仮定すると、n 人の新生児の初期集団のうちt歳で生存する個体の期待数はn × S ( t ) です。したがって、期待される生存率もS ( t ) です。異なる個体の生存が独立している場合、 t歳での生存者数はパラメータnとS ( t ) を持つ二項分布になり、生存率の分散はS ( t ) × (1- S ( t ))/ nです。

特定の割合の生存者が残る年齢は、方程式S ( t ) = q をtについて解くことで求められます。ここで、q は問題の分位数です。通常、 q = 1/2となる平均寿命、またはq = 0.90 やq = 0.99などの他の分位数に関心があります。

打ち切りは、募集したすべての被験者が関心のあるイベントを示す前に研究が終了したり、被験者がイベントを経験する前に研究を離れたりしたなどの理由により、イベントまでの時間が観察されない、欠損データの問題の一種です。打ち切りは、生存分析では一般的です。

真のイベント時間Tの下限値lのみがわかっていて、 T > lである場合、これを右打ち切りと呼びます。右打ち切りは、たとえば、生年月日がわかっているが、追跡調査から脱落したときや研究が終了したときにまだ生存している被験者に対して発生します。一般的に、右打ち切りデータに遭遇します。

研究対象者が研究対象になる前に関心のある出来事がすでに起こっていたが、いつ起こったかが分からない場合、そのデータは左側打ち切りであると言われます。^[14]出来事が2つの観察または検査の間に起こったとしか言えない場合、それは区間打ち切りです。

左側打ち切りは、例えば永久歯の萌出分布を推定することを目的とした歯科研究の開始前に永久歯がすでに萌出している場合に発生します。同じ研究において、永久歯が現在の検査では口の中にあるが、前回の検査ではまだ存在しない場合、萌出時間は間隔打ち切りとなります。間隔打ち切りは、HIV/AIDS の研究ではよく発生します。実際、HIV の血清変換までの時間は、通常医師の診察後に開始される臨床検査によってのみ判定できます。その場合、2 回の検査の間に HIV の血清変換が起こったと結論付けるしかありません。臨床症状に基づき、健康診断で確認する必要がある AIDS の診断についても同じことが言えます。

また、ある閾値よりも短い寿命を持つ被験者がまったく観察されないこともあります。これは、切り捨てと呼ばれます。切り捨ては左打ち切りとは異なることに注意してください。左打ち切りデータの場合、被験者が存在することがわかりますが、切り捨てられたデータの場合、被験者がまったくわからない場合があります。切り捨てもよく行われます。いわゆる遅延エントリー研究では、被験者は特定の年齢に達するまでまったく観察されません。たとえば、人々は就学年齢に達するまで観察されない場合があります。就学前の年齢層の死亡した被験者は不明です。左切り捨てデータは、生命保険や年金の保険数理業務でよく使用されます。^[15]

左側打ち切りデータは、ある人の生存期間が追跡期間の左側で不完全になったときに発生する可能性があります。たとえば、疫学の例では、感染症の検査で陽性と判定された時点から、感染症の患者をモニタリングする場合があります。関心期間の右側はわかっていても、感染性因子にさらされた正確な時間を知ることはできません。^[16]

生存モデルは、応答変数が時間である通常の回帰モデルとして考えることができます。ただし、尤度関数 (パラメータのフィッティングや他の種類の推論に必要) の計算は、打ち切りによって複雑になります。打ち切りデータがある場合の生存モデルの尤度関数は、次のように定式化されます。定義により、尤度関数は、モデルのパラメータが与えられた場合のデータの条件付き確率です。パラメータが与えられた場合、データは独立していると想定するのが通例です。この場合、尤度関数は各データの尤度の積です。データを、打ち切りなし、左打ち切り、右打ち切り、および区間打ち切りの 4 つのカテゴリに分割すると便利です。これらは、以下の式で「unc.」、「lc」、「rc」、および「ic」で示されます。

$${\displaystyle L(\theta )=\prod _{T_{i}\in unc.}\Pr(T=T_{i}\mid \theta )\prod _{i\in l.c.}\Pr(T<T_{i}\mid \theta )\prod _{i\in r.c.}\Pr(T>T_{i}\mid \theta )\prod _{i\in i.c.}\Pr(T_{i,l}<T<T_{i,r}\mid \theta ).}$$ 検閲されていないデータの場合、死亡時の年齢と等しいため、 ${\displaystyle T_{i}}$

$${\displaystyle \Pr(T=T_{i}\mid \theta )=f(T_{i}\mid \theta ).}$$ 死亡年齢が 未満であることが分かっている 左側打ち切りデータの場合、${\displaystyle T_{i}}$

$${\displaystyle \Pr(T<T_{i}\mid \theta )=F(T_{i}\mid \theta )=1-S(T_{i}\mid \theta ).}$$ 死亡年齢が より大きいことが分かっている右側打ち切りデータの場合、 ${\displaystyle T_{i}}$

$${\displaystyle \Pr(T>T_{i}\mid \theta )=1-F(T_{i}\mid \theta )=S(T_{i}\mid \theta ).}$$ 死亡年齢が 未満かつ より大きいことが分かっている 区間打ち切りデータについては、${\displaystyle T_{i,r}}$${\displaystyle T_{i,l}}$

$${\displaystyle \Pr(T_{i,l}<T<T_{i,r}\mid \theta )=S(T_{i,l}\mid \theta )-S(T_{i,r}\mid \theta ).}$$ 間隔打ち切りデータが発生する重要なアプリケーションは、イベントが観測時間前には発生しておらず、次の観測時間前に発生したことがわかっている現在の状態データです。 ${\displaystyle T_{i}}$

カプラン・マイヤー推定量を使用して、生存関数を推定できます。ネルソン・アーレン推定量を使用して、累積ハザード率関数のノンパラメトリック推定を提供できます。これらの推定量には生涯データが必要です。定期的な症例数 (コホート) と死亡数 (および回復数) は、生涯データなしで、生存関数のノンパラメトリック最大尤度推定と最小二乗推定を行うのに統計的に十分です。

多くのパラメトリックモデルは連続時間を前提としていますが、離散時間生存モデルはバイナリ分類問題にマッピングできます。離散時間生存モデルでは、生存期間は間隔で人工的に再サンプリングされ、各間隔で、特定の時間範囲でイベントが発生した場合にバイナリターゲットインジケーターが記録されます。^[17]バイナリ分類器（問題の構造をさらに考慮するために、異なる尤度で潜在的に強化された）が較正されると、分類器スコアはハザード関数（つまり、条件付き失敗確率）になります。^[17]

離散時間生存モデルは経験的尤度と関連している。^{[18] [19]}

生存モデルの適合度はスコアリングルールを用いて評価することができる。^[20]

Kleinbaumの教科書には、SAS、R、その他のパッケージを使用した生存分析の例が掲載されています。^[21] Brostrom、^[22]、 Dalgaard ^[2] 、TablemanとKim ^[23]の教科書には 、R（またはRで実行されるS）を使用した生存分析の例が掲載されています。

• 指数分布
• ワイブル分布
• 対数ロジスティック分布
• ガンマ分布
• 指数対数分布
• 一般化ガンマ分布
• ハイパータバスティック分布

• 信用リスク^{[24] [25]}
• 死刑判決を受けた受刑者の冤罪率^[26]
• 航空宇宙産業における金属部品のリードタイム^[27]
• 犯罪再犯の予測因子^[28]
• 放射性標識動物の生存分布^[29]
• ローマ皇帝の暴力による死までの時間^[30]
• 証券取引所における電子取引株式の取引間待ち時間^[31]

• コレット、デイビッド（2003）。『医学研究における生存データのモデリング（第2版）』ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRC。ISBN 1584883251。
• エランド・ジョンソン、レジーナ、ジョンソン、ノーマン（1999）。生存モデルとデータ分析。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0471349925。
• カルブフライシュ、JD;プレンティス、ロス L. (2002)。故障時間データの統計分析。ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 047136357X。
• Lawless, Jerald F. (2003)。生涯データのための統計モデルと手法（第 2 版）。ホーボーケン: John Wiley and Sons。ISBN 0471372153。
• Rausand, M.; Hoyland, A. (2004).システム信頼性理論: モデル、統計的手法、およびアプリケーション. ホーボーケン: John Wiley & Sons. ISBN 047147133X。

• Therneau, Terry. 「S での生存分析パッケージ」。2006 年 9 月 7 日にオリジナルからアーカイブされました。メイヨー・クリニックのウェブサイトにあるテルノー博士のページより
• 「エンジニアリング統計ハンドブック」。NIST/SEMATEK。
• SOCR、生存分析アプレット、インタラクティブな学習アクティビティ。
• 生存時間/故障時間分析 @統計学の教科書ページ
• R による生存分析
• 生存分析のための Python パッケージ Lifelines
• NAG Fortran ライブラリでの生存分析