切り捨て（統計）

統計学では、切り捨てによって値が上または下に制限され、切り捨てられたサンプルとなる。^[1]あるしきい値 に対して、 の正確な値がすべてのケース で既知であるが、 のすべてのケース では不明である場合、ランダム変数は下から切り捨てられていると言われる。同様に、上からの切り捨ては、 の場合には の正確な値が既知であるが、 の場合には不明であることを意味する。^[2]${\displaystyle y}$${\displaystyle c}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y>c}$${\displaystyle y\leq c}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y<c}$${\displaystyle y\geq c}$

切り捨ては統計的打ち切りの概念に似ていますが、異なります。切り捨てられたサンプルは、境界外のすべての値が完全に省略され、省略された値のカウントさえも記録されない、基礎となるサンプルと同等であると考えられます。統計的打ち切りでは、どの境界（上限または下限）を超えたか、およびその境界の値を文書化したメモが記録されます。切り捨てられたサンプリングでは、メモは記録されません。

通常、保険査定人が受け取る値は、左切り捨て、右打ち切り、またはその両方です。たとえば、保険契約者が保険限度額u の対象である場合、実際にu を超える損失額は、保険会社が支払う金額が u であるため、uとまったく同じ金額として保険会社に報告されます。保険会社は、実際の損失がuより大きいことはわかっていますが、それがいくらであるかは知りません。一方、左切り捨ては、保険契約者が免責額の対象である場合に発生します。保険契約者が免責額dの対象である場合、 d未満の損失額は保険会社に報告されません。保険限度額uと免責額dに対する請求がある場合、 u を超える損失額は、保険会社が支払わなければならない金額であるu の損失として保険会社に報告されます。したがって、保険金損失データは左側が切り捨てられます。これは、保険契約者が請求を行わないため、保険会社は免責額d を下回る値があるかどうかわからないためです。また、損失がuより大きい場合、保険会社が支払う最大額はuであるため、保険金損失は右側が切り捨てられます。したがって、保険会社は請求額がuより大きいことしか知らず、正確な請求額は知りません。 ${\displaystyle ud}$

切り捨ては、任意の確率分布に適用できます。これにより、通常、同じファミリー内の分布ではなく、新しい分布が生成されます。したがって、ランダム変数Xが分布関数としてF ( x )を持つ場合、半開区間( a , b ]に切り捨てられたXの分布を持つように定義される新しいランダム変数Yの分布 関数は次のようになります。

${\displaystyle F_{Y}(y)={\frac {F(y)-F(a)}{F(b)-F(a)}}\,}$

yが区間( a , b ]内にある場合は0または1。切り捨てが閉区間[ a , b ]である場合、分布関数は次のようになる。

${\displaystyle F_{Y}(y)={\frac {F(y)-F(a-)}{F(b)-F(a-)}}\,}$

y が区間 [ a , b ] 内にある場合は0 、それ以外の場合は 0 または 1 になります。

観測値が標準分布の切り捨てバージョンからのものとして扱われるデータの分析は、最大尤度を使用して実行できます。この場合、尤度は切り捨てられた分布の分布または密度から導出されます。これには、元の分布のパラメータに依存する修正密度関数の 係数を考慮する必要があります。${\displaystyle {F(b)-F(a)}}$

実際には、切り捨てられた割合が非常に小さい場合、データ分析時に切り捨ての影響は無視される可能性があります。たとえば、値が正の値しか取れないが、値の典型的な範囲がゼロからかなり離れているデータをモデル化するために、正規分布を使用するのが一般的です。このような場合、正規分布の切り捨てバージョンまたは打ち切りバージョンが形式的には望ましい場合があります（ただし、代替手段もあります）。より複雑な分析からの結果にはほとんど変化がありません。ただし、切り捨てられたデータに対して、回帰モデルなどの中程度に複雑なモデルでも最大尤度推定を行うソフトウェアはすぐに利用できます。^[3]

計量経済学では、切り捨てられた従属変数とは、ある範囲内の特定の値について観測を行うことができない変数のことである 。 ^[4]このような従属変数を含む回帰モデルでは、変数の切り捨てられた性質を適切に認識する特別な注意が必要である。このような切り捨てられた回帰モデルの推定は、パラメトリック、^{[5] [6] [7]}またはセミパラメトリックおよびノンパラメトリックフレームワークで行うことができる。^{[8] [9]}

• 検閲（統計）
• トリム推定値
• 切り捨てられた分布
• 切り捨て平均