平均故障間隔

平均故障間隔（MTBF）は、通常のシステム動作中に機械または電子システムに固有の故障が発生するまでの予測経過時間です。MTBFは、システムの故障間隔の算術平均（平均）時間として計算できます。この用語は修理可能なシステムに使用され、平均故障時間（MTTF）は修理不可能なシステムの故障までの予想時間を示します。^[1]

MTBF の定義は、故障と見なされるものの定義によって異なります。複雑で修理可能なシステムの場合、故障とは、設計条件から外れ、システムを使用不能にして修理が必要な状態になる故障とみなされます。修理せずに放置または維持でき、システムを使用不能にしない故障は、この定義では故障とはみなされません。^[2] さらに、定期的なメンテナンスや在庫管理のために停止されるユニットは、故障の定義には含まれません。^[3] MTBF が高いほど、システムが故障するまでの動作時間が長くなります。

平均故障間隔 (MTBF) は、修復可能なシステムにおける 2 つの故障間の予想時間を表します。たとえば、時刻 0 で正常に動作し始めた 3 つの同一システムは、すべて故障するまで動作し続けます。最初のシステムは 100 時間後に故障し、2 番目のシステムは 120 時間後に故障し、3 番目のシステムは 130 時間後に故障します。システムの MTBF は、3 つの故障時間の平均で、116.667 時間です。システムが修復不可能な場合、MTTF は 116.667 時間になります。

一般的に、MTBF は、ここで概説されているように、動作中の修復可能なシステムの 2 つの障害状態間の「稼働時間」です。

各観測において、「ダウンタイム」とは、ダウンした瞬間の時間であり、アップした瞬間の「アップタイム」より後の時間です (つまり、アップタイムよりも後です)。差 (「ダウンタイム」から「アップタイム」を引いた値) は、これら 2 つのイベント間で動作していた時間の長さです。

上の図を参照すると、コンポーネントの MTBF は、動作期間の長さの合計を観測された障害の数で割ったものになります。

${\displaystyle {\text{MTBF}}={\frac {\sum {({\text{ダウンタイムの開始}}-{\text{アップタイムの開始}})}}{\text{障害回数}}}.}$

同様に、平均ダウンタイム（MDT）は次のように定義されます。

${\displaystyle {\text{MDT}}={\frac {\sum {({\text{稼働時間の開始}}-{\text{停止時間の開始}})}}{\text{障害回数}}}.}$

MTBFは故障までの時間を示すランダム変数の期待値である。したがって、次のように表される^[4]。${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\text{MTBF}}=\mathbb {E} \{T\}=\int _{0}^{\infty }tf_{T}(t)\,dt}$

ここで はの確率密度関数です。同様に、MTBF は信頼性関数で次のよう に表すことができます。${\displaystyle f_{T}(t)}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R_{T}(t)}$

${\displaystyle {\text{MTBF}}=\int _{0}^{\infty }R(t)\,dt}$。

MTBF には時間単位 (時間など) があります。 ${\displaystyle T}$

MTBF の実際的な計算では、システムが「耐用年数期間」内で動作していることが前提となります。この期間は、ランダムな故障のみが発生している比較的一定の故障率(「バスタブ曲線」の中央部分) を特徴とします。 ^[1]言い換えると、システムは初期セットアップのストレスに耐え、予想寿命の終わりにまだ近づいていないと想定されます。この 2 つのストレスはどちらも故障率を上昇させることが多いものです。

一定の故障率を仮定すると、はパラメータ を持つ指数分布に従うことになります。MTBF は の期待値であるため、システムの故障率の逆数で与えられます。^{[1] [4]}${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\text{MTBF}}={\frac {1}{\lambda }}}$。

システムのMTBFがわかり、故障率が一定であると仮定すると、特定のシステムが一定期間動作し続ける確率は、指数分布の信頼性関数から推測できます^[1]。特に、特定のシステムがそのMTBFまで存続する確率は、つまり約37%です（つまり、63%の確率でそれより早く故障します）。^[5]${\displaystyle R_{T}(t)=e^{-\lambda t}}$${\displaystyle 1/e}$

MTBF値は、システムの信頼性パラメータとして使用したり、異なるシステムや設計を比較するために使用できます。この値は、条件付きで「平均寿命」（平均値）としてのみ理解されるべきであり、正常に動作しているユニットと故障したユニットを定量的に同一視するものではありません。^[1]

MTBF は「平均寿命（期待寿命）」と表現できるため、多くのエンジニアは、t = MTBF の時点で 50% のアイテムが故障すると想定しています。この不正確さは、設計上の誤った決定につながる可能性があります。さらに、MTBF に基づく確率的な故障予測は、体系的な故障がまったく存在しないこと（つまり、本質的なランダム故障のみを伴う一定の故障率）を意味し、これを検証するのは簡単ではありません。^[4]体系的なエラーがないと仮定すると、期間 T 中にシステムが存続する確率は、exp^(-T/MTBF) として計算されます。したがって、期間 T 中にシステムが故障する確率は、1 - exp^(-T/MTBF) で表されます。

MTBF 値の予測は、製品開発において重要な要素です。信頼性エンジニアや設計エンジニアは、信頼性ソフトウェアを使用して、さまざまな方法や標準 (MIL-HDBK-217F、Telcordia SR332、Siemens SN 29500、FIDES、UTE 80-810 (RDF2000) など) に従って製品の MTBF を計算することがよくあります。Mil-HDBK-217 信頼性計算マニュアルを RelCalc ソフトウェア (または他の同等のツール) と組み合わせると、設計に基づいて MTBF 信頼性率を予測できます。

MTBF と密接に関連し、MTBF の計算で重要な概念は、平均ダウンタイム(MDT) です。MDT は、障害発生後にシステムがダウンしている平均時間として定義できます。通常、MDT は MTTR (平均修復時間) とは異なると考えられています。特に、MDT には通常、組織的およびロジスティック的要因 (営業日数やコンポーネントの到着待ち時間など) が含まれますが、MTTR は通常、より狭く、より技術的なものとして理解されています。

MTBFは、機械や装置の信頼性を管理するための重要な指標として機能します。その応用は、設備の有効性を最大限に高めることを目的とした包括的なメンテナンス戦略である総合的生産保全（TPM）の文脈で特に重要です。MTBFは、通常動作中のシステムの故障間の経過時間を定量的に測定し、製造装置の信頼性とパフォーマンスに関する洞察を提供します。^[6]

MTBF を TPM の原則と統合することで、メーカーはより積極的なメンテナンス アプローチを実現できます。この相乗効果により、パターンや潜在的な障害を発生前に特定し、予防保守を可能にして計画外のダウンタイムを削減できます。その結果、MTBF はTPM 内の主要業績評価指標(KPI) となり、メンテナンス スケジュールやスペアパーツの在庫に関する決定を導き、最終的には機械の寿命と効率を最適化します。^[7] TPM フレームワーク内での MTBF の戦略的使用により、全体的な生産効率が向上し、故障に関連するコストが削減され、製造プロセスの継続的な改善に貢献します。

2 つのコンポーネント(ハード ドライブ、サーバーなど) は、ネットワーク内に直列または並列で配置できます。ここでの用語は、電気回路によく似ていますが、意味が少し異なります。どちらかのコンポーネントの障害がネットワーク障害の原因となる場合は、2 つのコンポーネントが直列であると言い、両方のコンポーネントの障害のみがネットワーク障害の原因となる場合は、2 つのコンポーネントが並列であると言います。結果として得られる、修理可能なコンポーネントを含む 2 つのコンポーネント ネットワークの MTBF は、個々のコンポーネントの MTBF が既知であると仮定して、次の式に従って計算できます。^{[8] [9]}${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

${\displaystyle {\text{mtbf}}(c_{1};c_{2})={\frac {1}{{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}+{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}}}={\frac {{\text{mtbf}}(c_{1})\times {\text{mtbf}}(c_{2})}{{\text{mtbf}}(c_{1})+{\text{mtbf}}(c_{2})}}\;,}$

コンポーネントが直列に配置されたネットワークです 。${\displaystyle c_{1};c_{2}}$

並列に修復可能なコンポーネントを含むネットワークの場合、システム全体のMTBFを知るには、コンポーネントのMTBFに加えて、それぞれのMDTも知る必要があります。次に、MDTがMTBF（実際には通常そうである）と比較して無視できると仮定すると、2つの並列修復可能なコンポーネントで構成される並列システムのMTBFは次のように表すことができます。^{[8] [9]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mtbf}}(c_{1}\parallel c_{2})&={\frac {1}{{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}\times {\text{PF}}(c_{2},{\text{mdt}}(c_{1}))+{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}\times {\text{PF}}(c_{1},{\text{mdt}}(c_{2}))}}\\[1em]&={\frac {1}{{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}\times {\frac {{\text{mdt}}(c_{1})}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}+{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}\times {\frac {{\text{mdt}}(c_{2})}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}}}\\[1em]&={\frac {{\text{mtbf}}(c_{1})\times {\text{mtbf}}(c_{2})}{{\text{mdt}}(c_{1})+{\text{mdt}}(c_{2})}}\;,\end{aligned}}}$

ここで、はコンポーネントが並列に配置されているネットワークであり、 は「脆弱性ウィンドウ」中にコンポーネントが故障する確率です。 ${\displaystyle c_{1}\Parallel c_{2}}$${\displaystyle PF(c,t)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle t}$

直感的には、これらの式は両方とも故障確率の観点から説明できます。まず、特定の時間枠内でシステムが故障する確率は、その MTBF の逆数であることに注目してください。次に、一連のコンポーネントについて考えると、いずれかのコンポーネントの故障はシステム全体の故障につながるため、(故障確率が小さいと仮定すると、通常はそうなりますが) 特定の期間内にシステム全体が故障する確率は、コンポーネントの故障確率の合計として近似できます。並列コンポーネントの場合、状況はもう少し複雑です。システム全体が故障するのは、コンポーネントの 1 つが故障した後、最初のコンポーネントが修復されている間に他のコンポーネントが故障した場合のみです。ここで MDT が役立ちます。最初のコンポーネントの修復が速いほど、他のコンポーネントが故障する「脆弱性ウィンドウ」は短くなります。

同様のロジックを使用して、2つの直列コンポーネントからなるシステムのMDTは次のように計算できます。^[8]

${\displaystyle {\text{mdt}}(c_{1};c_{2})={\frac {{\text{mtbf}}(c_{1})\times {\text{mdt}}(c_{2})+{\text{mtbf}}(c_{2})\times {\text{mdt}}(c_{1})}{{\text{mtbf}}(c_{1})+{\text{mtbf}}(c_{2})}}\;,}$

2つの並列コンポーネントからなるシステムの場合、MDTは次のように計算されます。^[8]

${\displaystyle {\text{mdt}}(c_{1}\parallel c_{2})={\frac {{\text{mdt}}(c_{1})\times {\text{mdt}}(c_{2})}{{\text{mdt}}(c_{1})+{\text{mdt}}(c_{2})}}\;.}$

これら4つの式を順に適用することで、各コンポーネントのMTBFとMDTがわかっている限り、修理可能なコンポーネントのネットワークのMTBFとMDTを計算できます。複数のシリアルコンポーネントの特殊だが非常に重要なケースでは、MTBFの計算は簡単に次のように一般化できます。

${\displaystyle {\text{mtbf}}(c_{1};\dots ;c_{n})=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{k})}}\right)^{-1}\;,}$

これは帰納法で証明できる^[10]。同様に

${\displaystyle {\text{mdt}}(c_{1}\parallel \dots \parallel c_{n})=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{{\text{mdt}}(c_{k})}}\right)^{-1}\;,}$

並列接続された 2 つのコンポーネントの mdt の式は、直列接続された 2 つのコンポーネントの mtbf の式と同じであるためです。

MTBF には、システム中断間隔の平均時間(MTBSA)、重大な故障間隔の平均時間(MTBCF)、予定外の取り外し間隔の平均時間(MTBUR) など、さまざまなバリエーションがあります。このような命名法は、重大な故障と重大でない故障など、故障の種類を区別することが望ましい場合に使用されます。たとえば、自動車では、FM ラジオが故障しても、車両の基本操作は妨げられません。

故障後にシステムを交換する場合（「修復不可能なシステム」）には、MTBFではなく平均故障時間（MTTF）を使用することをお勧めします。これは、MTBFが修復可能なシステムの故障間隔を表すためです。^[1]

MTTFd はMTTF の拡張であり、危険な状態につながる障害のみを対象としています。次のように計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{MTTF}}&\approx {\frac {B_{10}}{0.1n_{\text{onm}}}},\\[8pt]{\text{MTTFd}}&\approx {\frac {B_{10d}}{0.1n_{\text{op}}}},\end{aligned}}}$

ここで、B ₁₀は、サンプルの 10% が故障するまでにデバイスが実行する操作の数であり、n _opは操作の数です。B 10d_は同じ計算ですが、サンプルの 10% が危険なまでに故障します。n op_は、 1 年間の操作数/サイクルです。^[11]

実際、少なくともいくつかのシステムがまだ動作していてまだ故障していない状態での故障のみをカウントする MTBF は、計算にまだ故障していないシステムの部分的な寿命を含めないことで MTBF を過小評価します。このような寿命では、故障までの時間が稼働時間を超えていることしかわかりません。これを検閲と呼びます。実際、寿命のパラメトリック モデルでは、特定の日に発生する可能性は次のようになります。

${\displaystyle L=\prod _{i}\lambda (u_{i})^{\delta _{i}}S(u_{i})}$、

どこ

${\displaystyle u_{i}}$故障の場合は故障時間と、まだ故障していないユニットの場合は打ち切り時間です。

${\displaystyle \delta _{i}}$= 失敗の場合は1、打ち切り時間の場合は0、

${\displaystyle S(u_{i})}$= 寿命が を超える確率（生存関数と呼ばれる）、および${\displaystyle u_{i}}$

${\displaystyle \lambda (u_{i})=f(u)/S(u)}$はハザード関数、つまり死亡率の瞬間的な力と呼ばれます（ここで= 分布の確率密度関数）。${\displaystyle f(u)}$

定数指数分布の場合、ハザードは定数です。この場合、MBTFは ${\displaystyle \lambda }$

MTBF = 、${\displaystyle 1/{\hat {\lambda }}=\sum u_{i}/k}$

ここで、 は上記の尤度を最大化する の最大尤度推定値であり、は検閲されていない観測値の数です。 ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k=\sum \sigma _{i}}$

故障のみを考慮したMTBFと打ち切り観測を含むMTBFの違いは、MTBFを計算する際に打ち切り時間が分子には加算されるが分母には加算されないことであることがわかります。^[12]

• 「信頼性と可用性の基礎」。EventHelix。
• Speaks, Scott (2005) 「信頼性と MTBF の概要」(PDF)。Vicor 信頼性エンジニアリング。
• 「故障率、MTBF、その他」。MathPages。
• 「MTBF の簡単なガイド: MTBF とは何か、いつ使用するか」。信頼性への道。2021 年 12 月 10 日。
• 「平均故障時間とは何か、どのように計算するのか?」NEXGEN。2023 年 6 月 21 日。