死の力

保険数理学では、死亡力は、年間ベースで測定された特定の年齢での瞬間的な死亡率を表します。これは、信頼性理論におけるハザード関数とも呼ばれる故障率と概念的に同一です。

生命表では、年齢xからx + 1の間に人が死亡する確率をq _xと呼びます。連続的なケースでは、年齢 ( x )に達した人が年齢xからx + Δxの間に死亡する条件付き確率も考えることができます。これは

${\displaystyle P_{x}(\Delta x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}}$

ここで、F _X (x) は連続的な死亡年齢ランダム変数Xの累積分布関数です。Δxがゼロに近づくにつれて、連続的なケースではこの確率もゼロに近づきます。死亡率のおおよその力は、この確率をΔxで割ったものです。Δxをゼロに近づけると、死亡率の力の関数は次のようになります。 ${\displaystyle \mu (x)}$

${\displaystyle \mu \,(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{\Delta x(1-F_{X}(x))}}={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}}$

f _X ( x )= F ' _X ( x ) はXの確率密度関数であり、S ( x ) = 1 - F _X ( x ) は生存関数であるため、死亡の力は次のようにも表現できます。

${\displaystyle \mu \,(x)={\frac {f_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}=-{\frac {S'(x)}{S(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln[S(x)].}$

死亡の力が集団内でどのように作用するかを概念的に理解するには、確率密度関数f _X ( x ) がゼロである年齢xでは死亡する可能性がないと考えます。したがって、これらの年齢での死亡の力はゼロです。死亡の力μ ( x ) は、確率密度関数f _X ( x )を一意に定義します。

死亡の力は、x年齢での条件付き失敗密度として解釈することができ、一方、f ( x ) はx年齢での無条件失敗密度です。^[1] x年齢での無条件失敗密度は、x年齢まで生存する確率と、 x年齢まで生存した場合のx年齢での条件付き失敗密度の積です。 ${\displaystyle \mu (x)}$

これを記号で表すと

${\displaystyle \,\mu (x)S(x)=f_{X}(x)}$

または同等

${\displaystyle \mu (x)={\frac {f_{X}(x)}{S(x)}}.}$

多くの場合、死亡率がわかっている場合、生存確率関数を決定することも望ましい。これを行うには、死亡率の力をxからx + tまでの区間にわたって積分する。

${\displaystyle \int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy=\int _{x}^{x+t}-{\frac {d}{dy}}\ln[S(y)]\,dy}$。

微積分学の基本定理によれば、これは単純に

${\displaystyle -\int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy=\ln[S(x+t)]-\ln[S(x)].}$

と表記しましょう

${\displaystyle S_{x}(t)={\frac {S(x+t)}{S(x)}},}$

指数をeを底としてとると、死亡率の力で表した 年齢xの個体の生存確率は

${\displaystyle S_{x}(t)=\exp \left(-\int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy\,\right).}$

• 最も単純な例は、死亡率が一定である場合です。

${\displaystyle \mu (y)=\lambda ,}$

生存関数は

${\displaystyle S_{x}(t)=e^{-\int _{x}^{x+t}\lambda dy}=e^{-\lambda t},}$

指数分布です。

• 死の力が

${\displaystyle \mu (y)={\frac {y^{\alpha -1}e^{-y}}{\Gamma (\alpha )-\gamma (\alpha ,y)}},}$

ここでγ(α,y)は下側不完全ガンマ関数であり、ガンマ分布の確率密度関数である。

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x}}{\Gamma (\alpha )}}.}$

• 死の力が

${\displaystyle \mu (y)=\alpha \lambda ^{\alpha }y^{\alpha -1},}$

ここでα ≥ 0の場合、

${\displaystyle \int _{x}^{x+t}\mu (y)dy=\alpha \lambda ^{\alpha }\int _{x}^{x+t}y^{\alpha -1 }dy=\lambda ^{\alpha }((x+t)^{\alpha }-x^{\alpha }).}$

したがって、生存関数は

${\displaystyle S_{x}(t)=e^{-\int _{x}^{x+t}\mu (y)dy}=A(x)e^{-(\lambda (x+t))^{\alpha }},}$

ここで、これはワイブル分布の生存関数です。α = 1 の場合、指数分布と同じです。${\displaystyle A(x)=e^{(\lambda x)^{\alpha }}.}$

• もう一つの有名な例は、生存モデルがゴンペルツ・マケハムの死亡率の法則に従う場合である。^[2]この場合、死亡率の力は

${\displaystyle \mu (y)=A+Bc^{y}\quad {\text{y\geqslant 0 の場合}$

最後の式を使うと、

${\displaystyle \int _{x}^{x+t}(A+Bc^{y})dy=At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c].}$

それから

${\displaystyle S_{x}(t)=e^{-(At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c])}=e^{-At}g^{c^{x}(c^{t}-1)}}$

どこ${\displaystyle g=e^{-B/\ln[c]}.}$

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