ダイバージェントシリーズ

コーシーによる級数の和a ₀ + a ₁ + ...の古典的な定義では、和は部分和の列a ₀ + ... + a _nの極限として定義されます。これは級数の収束のデフォルトの定義です。

絶対収束とは、数列（または数集合）の和が、すべての部分和a _{k 1} + ... + a _{k n}の和の極限であると定義される（ただし、そのような和が存在する場合）。絶対収束は数列の要素の順序には依存せず、古典的な定理によれば、数列が絶対収束するのは、絶対値の数列が標準的な意味で収束する場合に限る。

ノルルンド平均の中で最も重要なものはチェザロ和である。ここで、数列p ^{k を}次のように定義する。

${\displaystyle p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}}$

すると、チェザロ和C _kはC _k ( s ) = N _{( p ^k )} ( s )で定義されます。チェザロ和はk ≥ 0の場合、ノルルンド平均であり、したがって正則で、線形で、安定で、一貫性があります。C 0_は通常の総和であり、C ₁は通常のチェザロ総和です。チェザロ和は、 h > kの場合、C _hがC _kよりも強いという性質を持ちます。

λn = nの場合、アーベル和法が得られます_。ここで

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$

ここでz  =  exp(− x ) である。すると、正の実数を通してx が0 に近づくときのf ( x )の極限は、正の実数を通してz が下から 1 に近づくときのf ( z )のべき級数の極限であり、アーベル和A ( s ) は次のように定義される。

${\displaystyle A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

アーベル和は、チェザロ和と整合性がありながら、より強力であるという点で興味深い。チェザロ和が定義されている限り、A ( s ) = Ck ( s )_が成り立つ。したがって、アーベル和は正則で、線形であり、安定しており、チェザロ和と整合性がある。

λ _n = n log( n )の場合、(1 からインデックスを付けて) となります。

${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .}$

すると、L ( s ) 、リンデレーフ和^{[ 4 ]}は、x が正のゼロに近づくときのf ( x )の極限です。リンデレーフ和は、他の応用の中でも特に、ミッタッグ＝レフラー星におけるべき級数の総和に適用する場合に強力な方法です。

g ( z )がゼロの周りの円盤で解析的であり、したがって正の収束半径を持つマクローリン級数G ( z )を持つ場合、ミッタッグ＝レフラー星においてL ( G ( z )) = g ( z )が成り立つ。さらに、g ( z )への収束は、星のコンパクト部分集合上で一様である。

Σ a _n x ⁿが小さな複素数xに対して収束し、 x  =  0からx  = 1 までの何らかの経路に沿って解析的に接続できる場合、級数の和はx = 1 における値として定義できます。この値は経路の選択に依存する可能性があります。解析的接続を使用して発散級数の和が異なる可能性がある最初の例の 1 つは Callet ^{[ 5 ]}によって与えられ、彼は、もし   ${\displaystyle 1\leq m<n}$それから

${\displaystyle {\frac {1-x^{m}}{1-x^{n}}}={\frac {1+x+\dots +x^{m-1}}{1+x+\dots +x^{n-1}}}=1-x^{m}+x^{n}-x^{n+m}+x^{2n}-\dots }$

評価中${\displaystyle x=1}$すると、

${\displaystyle 1-1+1-1+\dots ={\frac {m}{n}}.}$

しかし、このシリーズの空白部分が重要なのです。${\displaystyle m=1,n=3}$例えば、実際に

${\displaystyle 1-1+0+1-1+0+1-1+\dots ={\frac {1}{3}}}$異なる合計は、異なる配置に対応します。${\displaystyle 0}$の。

解析接続のもう一つの例は、発散交代級数である。 ${\displaystyle \sum _{k\geq 0}(-1)^{k+1}{\frac {1}{2k-1}}{\binom {2k}{k}}=1+2-2+4-10+28-84+264-858+2860-9724+\cdots }$ これは、${\displaystyle \Gamma }$-関数とポッホハマーの記号。${\displaystyle \Gamma }$-関数は、一般化超幾何級数に帰着する。${\displaystyle \ldots =\sum _{k\geq 0}(-4)^{k}{\frac {(-1/2)_{k}}{k!}}={}_{1}F_{0}(-1/2;;-4)={\sqrt {5}}.}$

オイラー総和法は、本質的に解析接続の明示的な形式です。べき級数が小さな複素数zに対して収束し、直径が−1 / q + 1から1までの開円盤に解析接続でき、1 で連続である場合、qにおけるその値は、級数 Σ a _nのオイラー総和、または (E, q ) 総和と呼ばれます。オイラーは、解析接続が一般に定義される前にこれを使用し、解析接続のべき級数の明示的な公式を与えました。  

オイラー総和演算は複数回繰り返すことができ、これは本質的に、べき級数の解析接続を点z = 1 まで行うことと同等である。   

この方法では、級数の和をディリクレ級数の解析接続の値として定義します。

${\displaystyle f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots }$

s  = 0の場合 、これが存在し、かつ一意である場合。この方法は、ゼータ関数正則化と混同されることがある。

s  = 0 が孤立した特異点である場合、和はローラン級数 展開の定数項によって定義される。

シリーズが

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots }$

( a _nの正の値の場合) は大きな実数sに対して収束し、実数直線に沿ってs = −1 まで解析的に接続できるため、 s = −1でのその値は、級数a ₁ + a ₂ + ... のゼータ正則化和と呼ばれます。ゼータ関数の正則化は非線形です。応用では、数値a _iはコンパクトなレゾルベントを持つ自己共役演算子Aの固有値である場合があり、f ( s ) はA ^{− s}のトレースです。たとえば、A の固有値が 1, 2, 3, ...の場合、 f ( s ) はリーマンゼータ関数ζ ( s ) であり、s = −1での値は − ⁠ 1 / 12 ⁠で、発散級数1 + 2 + 3 + 4 + ⋯に値を割り当てます。sの他の値も、発散和ζ (0) = 1 + 1 + 1 + ... = − ⁠ 1 / 2 ⁠、ζ (−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0に値を割り当てるために使用できます。一般に          

${\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,}$

ここで、B _kはベルヌーイ数であり、${\displaystyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$[ ^{6 ]​}

J ( x )  = e ^xの特殊な場合、これはボレル和の (弱い) 形式を与えます。 

ヴァリロンの方法は、ボレル和を特定のより一般的な積分関数Jに一般化したものである。ヴァリロンは、特定の条件下では、級数の和を次のように定義することと同等であることを示した。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +a_{h})}$

ここで、HはGの 2 階微分であり、c ( n )  = e ^{− G ( n )}であり、a ₀ + ... + a _hはh < 0のときに 0 と解釈されます。        

例えば、正のxに対してdμ  = e ^{− x} dx 、負のxに対して 0 とすると、μ _n = n ! となり、これはボレル和の 1 つのバージョンを与え、和の値は次のように与えられます。    

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}\,dt.}$

変数αに依存するこの一般化があり、(B′, α ) 和と呼ばれ、数列a ₀  +  ... の和は次のように定義されます。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}\,dt}$

この積分が存在する場合。さらに一般化すると、積分内の和を小さなtからの解析接続で置き換えることができる。 

この総和法は、超実数と呼ばれる実数の拡張を用いることで機能します。超実数は明確な無限値を含むため、これらの数は発散級数の値を表すために使用できます。重要な方法は、通常、総和される特定の無限値を指定することです。${\displaystyle \omega }$無限の単位として使用される。任意の無限に合計する代わりに（通常行われるように）${\displaystyle \infty }$)、BGN法は、ラベル付けされた特定の超実数無限値に合計されます。${\displaystyle \omega }$したがって、総和は次の形式になります。

${\displaystyle \sum _{x=1}^{\omega }f(x)}$

これにより、等差数列などの有限級数の標準的な公式を無限の文脈で使用できるようになります。たとえば、この方法を使用すると、数列の和は${\displaystyle 1+2+3+\ldots }$は${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega }{2}}}$または、最も重要な無限超実数部分だけを使用すると、${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}}$[ ^{7 ]​}

ハーディ（1949年、第11章）。

1812年、ハットンは部分和の列から始めて、数列 s 0 、 s 1 、 ... を平均の数列_{s 0} + s ₁ / 2 、 s 1 + s 2 / 2 、 ... で置き換える操作を繰り返し_適用し、極限を_取ることによって_、発散級数を合計する方法を導入し_た。^{[ 8 ]}        

級数a ₁  + ... は、 s にインガム総和可能であると定義される。

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s.}$

アルバート・インガムは、 δが任意の正の数である場合、(C, −δ )(チェザロ)総和可能性はインガム総和可能性を意味し、インガム総和可能性は(C, δ )総和可能性を意味することを示した。^{[ 9 ]}

級数a ₁  +  ... は、sにランベルト総和可能と呼ばれる。

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.}$

級数が任意のkに対して (C, k ) (チェザロ) 総和可能であるならば、それは同じ値にランベルト総和可能であり、級数がランベルト総和可能であるならば、それは同じ値にアーベル総和可能である。^{[ 9 ]}

級数a ₀  + ... は、次の条件を満たす場合にs にルロイ総和可能と呼ばれる。^{[ 10 ]}

${\displaystyle \lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s.}$

級数a ₀  + ... は、次の条件を満たす場合、 s に総和可能なミッタッグ＝レフラー (M) と呼ばれます^{[ 10 ]}

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s.}$

ラマヌジャンの総和は、ラマヌジャンが用いた発散級数に値を割り当てる方法で、オイラー・マクローリンの総和公式に基づいています。級数f (0) + f (1) + ... のラマヌジャン総和は、 fの整数値だけでなく、非整数点における値にも依存するため、この記事で説明するような総和法ではありません。

級数a ₁  + ... は、次の条件を満たす場合に (R, k ) (またはリーマン) 総和可能sと呼ばれます^{[ 11 ]}

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s.}$

級数a ₁  + ... は、次の場合に R _{2総和可能}sと呼ばれます。

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.}$

λ _{n が}実数の増加数列を形成し、

${\displaystyle A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}}$

すると、級数a ₀ + ... のリース (R, λ , κ ) 和は次のように定義される。  

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}\,dx.}$

級数a ₁  + ... は、 sに総和可能であれば VP (または Vallée-Poussin) と呼ばれます。

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m}a_{k}{\frac {[\Gamma (m+1)]^{2}}{\Gamma (m+1-k)\,\Gamma (m+1+k)}}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots \right]=s,}$

どこ${\displaystyle \Gamma (x)}$はガンマ関数である。^{[ 11 ]}

このシリーズは、ゼルドビッチ要約可能で、

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\sum _{n}c_{n}e^{-\alpha n^{2}}=s.}$