ランバート総和

数学解析および解析的整数論において、ランベルト総和法は、ランベルト級数に関連する無限級数を総和するための総和法であり、特に解析的整数論において重要である。

ランベルトカーネルを次のように定義する。${\displaystyle L(x)=\log(1/x){\frac {x}{1-x}}}$と${\displaystyle L(1)=1}$。 ご了承ください${\displaystyle L(x^{n})>0}$の関数として減少する${\displaystyle n}$いつ${\displaystyle 0<x<1}$合計${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ランバートは要約可能か${\displaystyle A}$もし${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}L(x^{n})=A}$書かれた${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\,\,(\mathrm {L} )}$。

アーベル定理：級数が収束する場合${\displaystyle A}$すると、ランバートは次のように総和可能になります。${\displaystyle A}$。

タウバーの定理：${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ランバートは要約可能か${\displaystyle A}$すると、それはアベル総和可能となり、${\displaystyle A}$特に、${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ランバートは要約可能か${\displaystyle A}$そして${\displaystyle na_{n}\geq -C}$それから${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$収束して${\displaystyle A}$。

タウバーの定理は、G・H・ハーディとジョン・エデンソー・リトルウッドによって初めて証明されましたが、数論から独立したものではなく、実際には素数定理そのものよりもやや強い数論的な評価を用いていました。ランベルト・タウバーの定理をめぐるこの不十分な状況は、ノーバート・ウィーナーによって解決されました。

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0\,(\mathrm {L} )}$ここで、μはメビウス関数である。したがって、この級数が収束する場合、それはゼロに収束する。数列は${\displaystyle {\frac {\mu (n)}{n}}}$タウバー条件を満たすので、タウバーの定理は${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0}$通常の意味で。これは素数定理と同等です。
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)-1}{n}}=-2\gamma \,\,(\mathrm {L} )}$どこ${\displaystyle \Lambda }$フォン・マンゴルト関数であり、${\displaystyle \gamma }$はオイラー定数である。タウバーの定理により、通常の和は収束し、特に に収束する。${\displaystyle -2\gamma }$これは以下と同等です${\displaystyle \psi (x)\sim x}$どこ${\displaystyle \psi }$これは第2チェビシェフ関数です。

• ランバートシリーズ
• アベル・プラナの公式
• アーベル定理とタウバー定理

• ジェイコブ・コレヴァール (2004)。タウバー理論。発展の一世紀。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol.  329.シュプリンガー・フェルラーグp.  18.ISBN​ 3-540-21058-X。
• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン（2007）。乗法数論 I. 古典理論。ケンブリッジ高等数学シリーズ第 97巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。159-160頁。ISBN  978-0-521-84903-6。
• Norbert Wiener (1932). 「タウバーの定理」. Ann. of Math . 33 (1). The Annals of Mathematics, Vol. 33, No. 1: 1– 100. doi : 10.2307/1968102 . JSTOR 1968102 .