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数学の一分野である複素解析において、複素解析関数のミッタク＝レフラーの星は、与えられた点から放射される光線に沿ってその関数を拡張しようとすることで得られる複素平面上の集合である。この概念は、イェスタ・ミッタク＝レフラーにちなんで名付けられている。
定義と基本的性質
正式には、点aを中心とする複素平面上の開円板U上で定義される複素解析関数ƒのミッタク・レフラーのスターは、複素平面上のすべての点zの集合であり、 ƒ はaとz を結ぶ線分に沿って解析的に接続できます(曲線に沿った解析接続を参照)。
定義から、ミッタク・レフラー星は （点aに関して ）開いた星凸集合であり、円板 U を含むことがわかります。さらに、ƒ はミッタク・レフラー星への 単一値解析接続を許容します。
例
- a = 0の近傍で定義される複素指数関数のミッタク・レフラー星は 複素平面全体です。
- 点a = 1の近傍で定義される 複素対数のミッタク・レフラー星は 、原点と負の実軸を除いた複素平面全体です。一般に、複素平面の点a ≠ 0 の近傍で定義された複素対数が与えられれば、この関数はa から始まる任意の直線上で無限遠まで延長できますが、 aから原点に向かう直線上では、その直線に沿って原点を超えて複素対数を延長することはできません。
- 任意の開星凸集合は、複素解析関数のミッタク・レフラー星である。これは、複素平面上の任意の開集合が正則化の定義域であるためである。
用途
複素平面上の点a の周囲に定義された任意の複素解析関数ƒは、 aにおける ƒのミッタク・レフラー星全体で収束する多項式級数に展開できます。この級数の各多項式は、 a の周囲の ƒのテイラー級数展開の最初のいくつかの項の線形結合です。
このようなƒの級数展開はミッタク・レフラー展開と呼ばれ、 aにおける ƒのテイラー級数展開よりも大きな集合で収束する。実際、後者の級数が収束する最大の開集合は、 aを中心とし、 aにおける ƒのミッタク・レフラー星形内に含まれる円板である。
参考文献
- シェニッツァー、アベ、スティルウェル、ジョン編 (2002)。数学の進化。ワシントン DC: アメリカ数学協会。p. 32。ISBN 0-88385-536-4。
- コレヴァール、ジェイコブ（2004年）。タウバー理論：一世紀の発展。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 3-540-21058-X。