アルフレッド・タウバー

アルフレッド・タウバー
生まれる	( 1866-11-05 )1866年11月5日 プレスブルク、ハンガリー王国、オーストリア帝国(今日のブラチスラヴァ、スロバキア)
死亡	1942年7月26日（1942-07-26）（75歳）[1] テレージエンシュタット強制収容所、チェコスロバキア
国籍	オーストリア
母校	ウィーン大学
知られている	アーベル定理とタウバー定理
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	TU Wien ウィーン大学
論文	理論理論の超越 (1889) 想像と想像の世界 (1891)
博士課程の指導教員	グスタフ・フォン・エシェリヒ エミル・ウェイル

アルフレート・タウバー（1866年11月5日 - 1942年7月26日）^[1]はオーストリア＝ハンガリー帝国の数学者であり、数学的解析と複素変数の関数の理論への貢献で知られている。彼は数学的解析や調和解析から数論に至るまでの応用を持つ重要な定理のクラスの名付け親である。^[2]彼はテレージエンシュタット強制収容所で殺害された。

オーストリア帝国ハンガリー王国（現スロバキア・ブラティスラヴァ）のプレスブルク生まれ。 1884年にウィーン大学で数学を学び始め、1889年に博士号を取得^{[3] [4]}、 1891年に学士号を取得した。1892年からフェニックス保険会社の主任数学者として働き、1908年にウィーン大学のAO教授となった。 1901年からすでにウィーン工科大学の名誉教授および保険数学部長を務めていた^[5] 。 1933年、オーストリア共和国への貢献により銀大栄誉章を授与され[ 5 ^]、名誉教授として退職。しかし、 1938年^{[3] [6]、 「}アンシュルス」により辞任を余儀なくされるまで、私講師として講義を続けた。^{[7] 1942年6月28日から29日にかけて、彼はIV/2号移送車621番でテレー}ジエンシュタットに移送され、^{[3] [5] [8]} 1942年7月26日に殺害された。^[1]

Pinl & Dick (1974, p. 202) は、彼の死亡記事に添付された参考文献に 35 の出版物を挙げており、また「Jahrbuch über die Fortschritte der Tauber」データベースで検索すると、1891 年から 1940 年までの期間にわたる、彼が執筆した 35 の数学作品の一覧が見つかる。^{[9]しかし、Hlawka (2007) は、これら 2 つの参考文献リストには記載されていない}保険数理に関する 2 つの論文を引用している。また、Binder の Tauber の著作の参考文献 (1984, pp. 163–166) には、Pinl & Dick (1974, p. 202) の参考文献と Hlawka が引用した 2 つの文献を含めて 71 の項目が挙げられているが、短い注釈 (Tauber 1895) は含まれていないため、彼の著作の正確な数は不明。Hlawka (2007) によると、彼の科学的研究は3つの分野に分けられる。最初の分野は複素変数の関数の理論とポテンシャル理論に関する研究、2番目は線型微分方程式とガンマ関数に関する研究、最後の分野は保険数理科学への貢献である。^{[3] Pinl & Dick (1974, p. 202) は、タウバーが取り組んだ研究テーマのより詳細なリストを示しているが、それは}数学的解析と幾何学的テーマに限定されており、その一部には無限級数、フーリエ級数、球面調和関数、四元数論、解析幾何学と記述幾何学がある。^[10]タウバーの最も重要な科学的貢献は最初の研究分野に属しているが^[11]、ポテンシャル理論に関する研究はアレクサンドル・リャプノフの研究の影に隠れている。^[3]

彼の最も重要な論文は (Tauber 1897) である。^[3]この論文で、彼は初めてアーベルの定理の逆を証明することに成功した: ^[12]この結果は数多くの研究の出発点となり、^{[3]さまざまな}総和方法に対するこの種の定理の証明と応用につながった。これらの定理の記述は標準的な構造を持っている: 級数∑  a _nが与えられた総和方法に従って総和可能であり、「タウバー条件」と呼ばれる追加の条件を満たす場合、^[13]それは収束級数である。^[14] 1913 年以降、GH HardyとJE Littlewood は、このクラスの定理を識別するために「タウバー」という用語を使用した。^[15]タウバーの 1897 年の研究をもう少し詳しく説明すると、彼の主な業績は次の 2 つの定理であると言える: ^{[16] [17]}

タウバーの第一定理。^[18]級数∑  a _nが和sにアーベル和算可能である場合、すなわちlim _{x → 1 ⁻} ∑  +∞n
= 0 a _n x  ⁿ  = sであり、 a _n  =  ο ( n ⁻¹ )の場合には、 ∑  a _{k は} sに収束します。

この定理は、Korevaar (2004, p. 10) によれば、^[19]すべてのタウバー理論の先駆けである。条件a _n  =  ο ( n ⁻¹ )は最初のタウバー条件であり、後に多くの重要な一般化が行われた。^[20]論文の残りの部分で、タウバーは上記の定理を使用して、^[21]次のより一般的な結果を証明した。^[22]

タウバーの第二定理。^[23]級数∑an が和sに収束するのは、次_の2つの条件が満たされた場合のみである。

1. ∑  a _{n は}アーベル加算可能であり、
2. ∑
   nk =1です ka _k  =  ο ( n )です。

この結果はタウバーの第 1 定理の自明な帰結ではない。^[24]この結果が第 1 定理に比べてより一般性が高いのは、一方では普通の収束と、他方ではタウバー条件 (条件 2) と組み合わせたアーベル総和可能性 (条件 1) との正確な等価性を証明しているからである。チャタジー (1984、pp. 169–170) は、後者の結果は、第 1 定理に比べてタウバーにとってはるかに完全で満足のいくものに見えたに違いないと主張している。なぜなら、後者の結果は級数の収束に必要な十分な条件を述べているのに対し、前者は収束への単なる足がかりに過ぎなかったからである。タウバーの第 2 定理があまり言及されない唯一の理由は、第 1 定理ほど深い一般化がないからであると思われる^[25]。ただし、級数の総和可能性に関するすべての詳細な展開において、この定理は正当な位置を占めている。^{[23] [25]}

フレデリック・W・キング（2009、p. 3）は、タウバーが現在「ヒルベルト変換」と呼ばれる理論の早い段階で貢献し、その貢献によってヒルベルトとハーディの研究を先取りし、この変換はおそらく彼らの3つの名前を冠するべきだったと書いている。^{[26]正確には、タウバー（1891）は、}べき級数fの実部 φと虚部 ψを考察している。^{[27] [28]}

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{+\infty }c_{k}z^{k}=\varphi (\theta )+\mathrm {i} \psi (\theta ) }$

どこ

• z = re  ^{i θ} ただしr  = | z |は与えられた  複素変数の絶対値、
• c _k r  ^k  =  a _k  + i b _k任意の自然数 kに対して、 ^[29]
• φ ( θ ) =  ∑+
  ∞k =1 a _k cos( kθ ) −  b _k sin( kθ )およびψ ( θ ) =  ∑+
  ∞k =1 a _k sin( kθ ) +  b _k cos( kθ )は三角級数であり、したがって周期関数であり、与えられたべき級数の実部と虚部を表します。

r がべき級数fの収束半径R _fより小さいという仮定の下で、タウバーはφとψ が次の 2 つの式を満たすことを証明します。

（１）     ${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\psi (\theta +\phi )-\psi ( \theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\,\mathrm {d} \phi }$

（２）     ${\displaystyle \psi (\theta )=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\varphi (\theta +\phi )-\varphi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }$

r = R _fと仮定すると、 φとψが絶対積分可能な場合にのみ上記の式が成立することを証明できる。^[30]この結果は円上でヒルベルト変換を定義することと同等であり、関係する関数の周期性を利用した計算をいくつか行った後、(1)と(2)が次のヒルベルト変換のペアと同等であることが証明できる。^[31]

${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\psi (\phi )\cot \left({\frac { \theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi \qquad \psi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\varphi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }$

最後に、タウバー自身が短い研究発表 (Tauber 1895) で (証明なしで) 示した (Tauber 1891) の結果の応用について指摘しておく価値があるかもしれません。

与えられた円上で定義された複素数値連続関数 φ ( θ ) + i ψ ( θ )が、その開円上で定義された正則関数の境界値であるためには、次の2つの条件が満たされる必要がある。

1. 関数[ φ ( θ − α ) −  φ ( θ + α )]/αは、点α  = 0の近傍すべてで一様に積分可能です。
2. 関数ψ ( θ )は(2)を満たす。

• Tauber, Alfred (1891)、「Über den Zusammenhang des reellen und imaginären Theiles einer Potenzreihe」[べき級数の実数部と虚数部の関係について]、Monatshefte für Mathematik und Physik、II : 79–118、doi :10.1007/bf01691828、JFM  23.0251.01、S2CID  120241651。
• Tauber, Alfred (1895)、「Ueber die Werte einer Analytischen Function längs einer Kreislinie」[円周に沿った解析関数の値について]、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung、4 : 115、2015 年のオリジナルからアーカイブ07-01 、取得済み2014-07-16。
• Tauber、Alfred (1897)、「Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen」[無限級数に関する定理]、Monatshefte für Mathematik und Physik、VIII : 273–277、doi :10.1007/BF01696278、JFM  28.0221.02、S2CID  120692627。
• Tauber、Alfred (1898)、「Über einige Sätze der Potentialtheorie」[ポテンシャル理論のいくつかの定理]、Monatshefte für Mathematik und Physik、IX : 79–118、doi :10.1007/BF01707858、JFM  29.0654.02、S2CID  124400762。
• Tauber, Alfred (1920)、「Über konvergente und asymptotische Darstellung des Integrallogarithmus」[対数積分関数の収束表現と漸近表現について]、Mathematische Zeitschrift、8 (1–2): 52–62、doi :10.1007/bf01212858、JFM  47.0329.01、S2CID  119967249。
• タウバー、アルフレッド (1922)、「ケッテンブリュッヘの Über die Umwandlung von Potenzreihen」[べき級数の連分数への変換について]、Mathematische Zeitschrift、15 : 66–80、doi :10.1007/bf01494383、JFM  48.0236.01、S2CID  122501264。

• 保険数理学
• ハーディ・リトルウッドのタウバー定理
• 総和可能性理論

• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「アルフレッド タウバー」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• encyclopedia.com の Alfred Tauber
• 数学系譜プロジェクトのアルフレッド・タウバー