構造（数学的論理）

普遍代数とモデル理論では、構造は集合と、その集合上で定義された有限演算と関係の集合で構成されます。

普遍代数は、群、環、体、ベクトル空間などの代数構造を一般化する構造を研究する。普遍代数という用語は、関係記号のない一階理論の構造に対して使用される。^[1]モデル理論は、集合論のモデルなどの基礎構造を含む、より任意の一階理論を網羅する異なる範囲を持つ。

モデル理論の観点から見ると、構造は第一階述語論理の意味論を定義するために使用されるオブジェクトです。タルスキの真理理論やタルスキアン意味論も参照してください。

モデル理論における特定の理論では、その理論の定義公理を満たす構造はモデルと呼ばれますが、数学モデルのより一般的な設定で概念を議論する場合は、意味モデルとして明確にされることがあります。論理学者は構造を「解釈」と呼ぶことがありますが、 ^[2]「解釈」という用語は、モデル理論では一般的に異なる（ただし関連している）意味を持ちます。解釈（モデル理論）を参照してください。

データベース理論では、関数を持たない構造がリレーショナルデータベースのモデルとして、リレーショナルモデルの形で研究されています。

数理論理学の文脈において、「モデル」という用語は、集合論の発展の先駆者である数学者リチャード・デデキント（1831年 - 1916年）に言及して、哲学者ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインが1940年に初めて使用しました。^{[3] [4]} 19世紀以来、公理の集合の一貫性を証明するための主な方法の1つは、そのためのモデルを提供することでした。

正式には、構造は、ドメイン、署名、および署名がドメイン上でどのように解釈されるかを示す解釈関数の 3 つから構成される3 つ組として定義できます。構造が特定の署名を持つことを示すには、それを -構造と呼びます。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,\sigma ,I)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$

構造の定義域は任意の集合である。構造の基礎集合、構造の担い手（特に普遍代数）、構造の宇宙（特にモデル理論、cf.宇宙）、またはその議論領域とも呼ばれる。古典的な一階述語論理では、構造の定義は空の定義域を禁止する。^{[要出典] [5]}

またはという表記法がドメインを表すために使用されることもありますが、構造とそのドメインの間に表記上の区別がない場合がよくあります（つまり、同じ記号が構造とそのドメインの両方を指します）。^[6]${\displaystyle \operatorname {dom} ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle {\mathcal {A}},}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

構造の シグネチャは次の要素で構成されます。${\displaystyle \sigma =(S,\operatorname {ar} )}$

• 関数記号と関係記号のセット、および${\displaystyle S}$
• 各記号に自然数を割り当てる関数${\displaystyle \operatorname {ar} :\ S\to \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n=\operatorname {ar} (s).}$

シンボルの自然数は、 解釈のアリティ^{[説明が必要]}であるため、アリティと呼ばれます。${\displaystyle n=\operatorname {ar} (s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s.}$

代数で生じるシグネチャには関数記号のみが含まれることが多いため、関係記号を含まないシグネチャは代数シグネチャと呼ばれます。このようなシグネチャを持つ構造は代数とも呼ばれますが、これを体上の代数の概念と混同しないでください。

の解釈関数 は、シグネチャのシンボルに関数と関係を割り当てます。の各関数シンボルには、ドメイン上の-ary関数が割り当てられます。の各関係シンボルには、ドメイン上の-ary 関係が割り当てられます。 ヌル引数 ( -ary) 関数シンボルは、その解釈がドメインの定数要素で識別できるため、定数シンボルと呼ばれます。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f^{\mathcal {A}}=I(f)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R^{\mathcal {A}}=I(R)\subseteq A^{\operatorname {ar(R)} }}$${\displaystyle =\,0}$${\displaystyle c}$${\displaystyle I(c)}$

構造（したがって解釈関数）が文脈によって与えられる場合、記号とその解釈の間に表記上の区別はない。例えば、が2項関数の記号である場合、 1は単に次のように書くのではなく、${\displaystyle s}$${\displaystyle I(s).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {A}},}$${\displaystyle f:{\mathcal {A}}^{2}\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f^{\mathcal {A}}:|{\mathcal {A}}|^{2}\to |{\mathcal {A}}|.}$

体の標準的なシグネチャは、2 つの 2 項関数記号とで構成されます。ここで、単項関数記号( によって一意に決定) や 2 つの定数記号と(それぞれ と によって一意に決定)などの追加の記号を導出できます。したがって、このシグネチャの構造 (代数) は、2 つの 2 項関数 (単項関数で拡張可能) と 2 つの区別された要素を含む要素の集合で構成されます。ただし、体の公理のいずれかを満たす必要はありません。有理数、実数、複素数は、他の体と同様に、明らかに -構造と見なすことができます。 ${\displaystyle \sigma_{f}}$${\displaystyle \mathbf {+} }$${\displaystyle \mathbf {\times } }$${\displaystyle \mathbf {-} }$${\displaystyle \mathbf {+} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle \mathbf {+} }$${\displaystyle \mathbf {\times } }$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \sigma}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\mathcal {Q}}&=(\mathbb {Q} ,\sigma _{f},I_{\mathcal {Q}})\\{\mathcal {R}}&=(\mathbb {R} ,\sigma _{f},I_{\mathcal {R}})\\{\mathcal {C}}&=(\mathbb {C} ,\sigma _{f},I_{\mathcal {C}})\\\end{alignedat}}}$$

3つのケースすべてにおいて、標準シグネチャは ^[7] で与えられ、 $${\displaystyle \sigma _{f}=(S_{f},\operatorname {ar} _{f})}$$ ${\displaystyle S_{f}=\{+,\times ,-,0,1\}}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\operatorname {ar} _{f}&(+)&&=2,\\\operatorname {ar} _{f}&(\times )&&=2,\\\operatorname {ar} _{f}&(-)&&=1,\\\operatorname {ar} _{f}&(0)&&=0,\\\operatorname {ar} _{f}&(1)&&=0.\\\end{alignedat}}}$$

解釈機能は次のとおりです。 ${\displaystyle I_{\mathcal {Q}}}$

${\displaystyle I_{\mathcal {Q}}(+):\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} }$有理数の加算であり、

${\displaystyle I_{\mathcal {Q}}(\times ):\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} }$有理数の乗算であり、

${\displaystyle I_{\mathcal {Q}}(-):\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} }$は各有理数を${\displaystyle x}$${\displaystyle -x,}$

${\displaystyle I_{\mathcal {Q}}(0)\in \mathbb {Q} }$数であり、${\displaystyle 0,}$

${\displaystyle I_{\mathcal {Q}}(1)\in \mathbb {Q} }$番号は${\displaystyle 1;}$

およびも同様に定義される。^[7]${\displaystyle I_{\mathcal {R}}}$${\displaystyle I_{\mathcal {C}}}$

しかし、体ではない整数環も同様に -構造です。実際、体公理のいずれかが-構造で成り立つという要件はありません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle \sigma _{f}}$

順序付き体のシグネチャには、またはなどの追加の二項関係が必要です。したがって、そのようなシグネチャの構造は、もちろん通常の緩い意味での代数構造ではありますが、代数ではありません。 ${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,\leq ,\,}$

集合論の通常のシグネチャには、単一の二項関係が含まれます。 このシグネチャの構造は、要素のセットと、これらの要素上の二項関係としての関係の解釈で構成されます。 ${\displaystyle \in .}$${\displaystyle \in }$

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$は、 （誘導）部分構造と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$同じ署名を持つ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})=\sigma ({\mathcal {B}});}$
• のドメインはのドメインに含まれており、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$ ${\displaystyle |{\mathcal {A}}|\subseteq |{\mathcal {B}}|;}$
• すべての機能と関係の記号の解釈は一致する${\displaystyle |{\mathcal {A}}|.}$

この関係の通常の表記は${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}.}$

構造の定義域の部分集合は、関数の下で閉じている場合、つまり、次の条件が満たされている場合、閉じていると呼ばれます。すべての自然数、すべての-項関数記号（のシグネチャ内）およびすべての要素に対して、 -組に適用した結果が再びの要素である場合。${\displaystyle B\subseteq |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}},}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in B,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b_{1}b_{2}\dots b_{n}}$${\displaystyle B:}$ ${\displaystyle f(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})\in B.}$

すべての部分集合に対して、を含むの最小の閉部分集合が存在します。これはによって生成される閉部分集合、またはの包と呼ばれ、 または で表されます。演算子はの部分集合の集合上の有限閉包演算子です。 ${\displaystyle B\subseteq |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \langle B\rangle }$${\displaystyle \langle B\rangle _{\mathcal {A}}}$${\displaystyle \langle \rangle }$${\displaystyle |{\mathcal {A}}|}$

およびが閉部分集合である場合、 は の誘導部分構造であり、 はσのすべての記号に におけるその解釈のへの制限を割り当てます。逆に、誘導部分構造の定義域は閉部分集合です。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,\sigma ,I)}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle (B,\sigma ,I')}$${\displaystyle {\mathcal {A}},}$${\displaystyle I'}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

構造の閉じた部分集合 (または誘導された部分構造) は格子を形成します。2つの部分集合の交わりは、それらの共通部分です。2 つの部分集合の結合は、それらの結合によって生成される閉じた部分集合です。普遍代数は、構造の部分構造の格子を詳細に研究します。

を再び体の標準的なシグネチャとします。自然な方法で -構造として見なすと、有理数は実数のサブ構造を形成し、実数は複素数のサブ構造を形成します。有理数は、体の公理も満たす実数 (または複素数) の最小のサブ構造です。 ${\displaystyle \sigma =\{+,\times ,-,0,1\}}$${\displaystyle \sigma }$

整数の集合は、体ではない実数のさらに小さな部分構造を与えます。実際、整数は、このシグネチャを使用して空集合によって生成された実数のサブ構造です。このシグネチャの体の部分構造に対応する抽象代数の概念は、部分体ではなく、部分環の概念です。

グラフを定義する最も明白な方法は、単一の 2 項関係記号 で構成されるシグネチャを持つ構造です。グラフの頂点は構造のドメインを形成し、2 つの頂点 と に対しては、と が辺で接続されていることを意味します。このエンコーディングでは、誘導サブ構造 の概念はサブグラフの概念よりも制限的です。たとえば、が辺で接続された 2 つの頂点で構成されるグラフであるとし、 が同じ頂点で構成されるが辺はないグラフであるとします。 はのサブグラフですが、誘導サブ構造ではありません。誘導サブ構造に対応するグラフ理論の概念は、誘導サブグラフの概念です。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle E.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle (a,b)\!\in {\text{E}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G,}$

同じシグネチャ σ の2 つの構造とが与えられた場合、からへの(σ-) 準同型写像は関数と関係を保存する 写像です。より正確には、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle h:|{\mathcal {A}}|\rightarrow |{\mathcal {B}}|}$

• σ のすべてのn項関数記号fと任意の要素に対して、次の式が成り立ちます。${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in |{\mathcal {A}}|}$

${\displaystyle h(f(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}))=f(h(a_{1}),h(a_{2}),\dots ,h(a_{n}))}$。

• σ と任意の要素のn項関係記号Rごとに、次の含意が成り立ちます。${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in |{\mathcal {A}}|}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in R^{\mathcal {A}}\implies (h(a_{1}),h(a_{2}),\dots ,h(a_{n}))\in R^{\mathcal {B}}}$

ここで、はそれぞれ、構造 におけるオブジェクト理論の関係記号の解釈です。 ${\displaystyle R^{\mathcal {A}}}$${\displaystyle R^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

からへの準同型hは通常 と表されますが、 技術的には関数hは2 つの構造の領域の間です。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$${\displaystyle |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle |{\mathcal {B}}|}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

すべての署名 σ に対して、 σ-構造をオブジェクトとして、σ-準同型を射として持つ具体的な カテゴリσ- Homが存在します。

準同型性は、次のような場合に強いと言われることがあります。 ${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$

• 対象理論のn項関係記号Rと となる任意の要素に対して、 となり、 となるようなものが存在する^{[要出典] [疑わしい–議論する]}${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in |{\mathcal {B}}|}$${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})\in R^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in R^{\mathcal {A}}}$${\displaystyle b_{1}=h(a_{1}),\,b_{2}=h(a_{2}),\,\dots ,\,b_{n}=h(a_{n}).}$

強準同型は、上で定義されたカテゴリ σ- Homのサブカテゴリを生じます。

(σ-)準同型は、 1対1であり、 ${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$

• σ と任意の要素の任意のn項関係記号Rに対して、次の同値性が成り立ちます。${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in R^{\mathcal {A}}\iff (h(a_{1}),h(a_{2}),\dots ,h(a_{n}))\in R^{\mathcal {B}}}$

（ここで、は前と同様に、それぞれ構造σ 内のオブジェクト理論の関係記号Rの解釈を指します）。 ${\displaystyle R^{\mathcal {A}}}$${\displaystyle R^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

したがって、埋め込みは 1 対 1 の強い準同型と同じものです。σ構造と σ 埋め込みのカテゴリ σ- Emb は、 σ- Homの具体的なサブカテゴリです。

誘導された部分構造はσ- Embの部分オブジェクトに対応します。 σ が関数記号のみを持つ場合、 σ- Emb はσ- Homの単射の部分カテゴリです。 この場合、誘導された部分構造も σ- Homの部分オブジェクトに対応します。

上で見たように、グラフを構造として標準的に符号化する場合、誘導された部分構造はまさに誘導された部分グラフです。しかし、グラフ間の準同型性は、グラフを符号化する 2 つの構造間の準同型性と同じです。前のセクションの例では、Gの部分グラフH は誘導されていませんが、恒等写像 id:  H  →  Gは準同型です。この写像は実際にはカテゴリ σ- Homの単射であり、したがってH は誘導された部分構造ではないGの部分オブジェクトです。

次の問題は準同型問題として知られています。

2 つの有限構造と有限リレーショナル シグネチャが与えられた場合、準同型を見つけるか、そのような準同型が存在しないことを示します。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$

あらゆる制約充足問題（CSP）は準同型問題に変換されます。^[8]したがって、CSPの複雑さは有限モデル理論の方法を使用して研究することができます。

もう 1 つの応用はデータベース理論です。データベースのリレーショナル モデルは、本質的にリレーショナル構造と同じものです。データベースに対する結合クエリは、データベース モデルと同じシグネチャの別の構造で記述できることがわかります。リレーショナル モデルからクエリを表す構造への準同型性は、クエリのソリューションと同じものです。これは、結合クエリの問題も準同型性の問題と同じであることを示しています。

構造は「一階構造」と呼ばれることもあります。これは誤解を招く表現です。構造の定義には特定の論理に結び付けられる部分が何もなく、実際には普遍代数で使用されるような一階論理の非常に限定された断片と二階論理の両方の意味オブジェクトとして適しているからです。一階論理とモデル理論に関連して、構造は「何のモデルか」という質問に明確な答えがない場合でも、 モデルと呼ばれることがよくあります。

各一階構造には、 言語のすべての式に対して定義された充足関係があり、これは言語と、その要素として解釈される各要素の定数記号で構成されます。この関係は、Tarski のT スキーマを使用して帰納的に定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}=(M,\sigma ,I)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\vDash \phi }$${\displaystyle \,\phi }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle M,}$

の言語が の言語と同じであり、 のすべての文が によって満たされる場合、その構造は理論のモデルであると言われます。したがって、たとえば、「環」は、環の公理のそれぞれを満たす環の言語の構造であり、ZFC 集合論のモデルは、集合論の言語で ZFC 公理のそれぞれを満たす構造です。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {M}}.}$

構造のユニバース（すなわちドメイン）上の-項関係は、となるような 式が存在する場合、定義可能（または明示的に定義可能cf. Beth 定義可能性、または-定義可能、または以下 cf.のパラメータを使用して定義可能）であると言われます。 言い換えれば、が定義可能であるのは、 が正しいような 式が存在する場合のみということです 。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle R=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in M^{n}:{\mathcal {M}}\vDash \varphi (a_{1},\ldots ,a_{n})\}.}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R\Leftrightarrow {\mathcal {M}}\vDash \varphi (a_{1},\ldots ,a_{n})}$$

重要な特別なケースとして、特定の元が定義可能であるということがある。の元がで定義可能であるのは、次の式が存在する場合のみである。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \varphi (x)}$$${\displaystyle {\mathcal {M}}\vDash \forall x(x=m\leftrightarrow \varphi (x)).}$$

関係がパラメータで定義可能（または-定義可能）であるとは、からパラメータ^{[明確化が必要]}を持つ式が存在し、 が を使用して定義可能である場合を指します 。構造のすべての要素は、要素自体をパラメータとして使用して定義可能です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle |{\mathcal {M}}|}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \varphi .}$

著者によっては、 definable をパラメータなしで定義可能という意味で使用している人もいますが^{[引用が必要] 、}パラメータ付きで定義可能という意味で使用している著者もいます^{[引用が必要]}。 大まかに言えば、definableはパラメータなしで定義可能という意味であるという慣習は集合理論家の間ではより一般的であり、その逆の慣習はモデル理論家の間ではより一般的です。

上で述べたように、の宇宙上の-項関係は、次のような 式が存在する場合に明示的に定義可能である。${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle R=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in M^{n}:{\mathcal {M}}\vDash \varphi (a_{1},\ldots ,a_{n})\}.}$$

ここで、関係を定義するために使用される式は、のシグネチャ上でなければならないため、それ自体を言及することはできません。なぜなら、はのシグネチャには含まれていないからです。拡張言語に、の言語と新しい記号を含む 式があり、関係が、となる唯一の関係である場合、 は に対して暗黙的に定義可能であると言えます。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {M}}.}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\vDash \varphi ,}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {M}}.}$

ベスの定理によれば、暗黙的に定義可能な関係はすべて明示的に定義可能です。

上記で定義した構造は、1ソート構造は、より一般的な構造と区別するために多ソート構造。多ソート構造は任意の数のドメインを持つことができます。ソートはシグネチャの一部であり、異なるドメインの名前の役割を果たします。多ソートシグネチャは、多ソート構造の関数と関係がどのソートで定義されているかも規定します。したがって、関数シンボルや関係シンボルのアリティは、自然数ではなく、ソートの組などのより複雑なオブジェクトである必要があります。

たとえば、ベクトル空間は、次のように 2 ソート構造と見なすことができます。ベクトル空間の 2 ソート シグネチャは、2 つのソートV (ベクトル用) とS (スカラー用) と次の関数記号で構成されます。

Vが体F上のベクトル空間である場合、対応する 2 つのソート構造は、ベクトル領域、スカラー領域、およびベクトル ゼロ、スカラー ゼロ、スカラー乗算などの明らかな関数から構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle |{\mathcal {V}}|_{V}=V}$${\displaystyle |{\mathcal {V}}|_{S}=F}$${\displaystyle 0_{V}^{\mathcal {V}}=0\in |{\mathcal {V}}|_{V}}$${\displaystyle 0_{S}^{\mathcal {V}}=0\in |{\mathcal {V}}|_{S}}$${\displaystyle \times ^{\mathcal {V}}:|{\mathcal {V}}|_{S}\times |{\mathcal {V}}|_{V}\rightarrow |{\mathcal {V}}|_{V}}$

多ソート構造は、少しの努力で回避できる場合でも、便利なツールとしてよく使用されます。しかし、一般化を明示的に実行するのは単純で面倒な (したがって、報われない) ため、厳密な方法で定義されることはほとんどありません。

数学的な試みの多くでは、ソートにはあまり注意が払われない。しかし、多ソート論理は自然に型理論につながる。バート・ジェイコブスが言うように、「論理は常に型理論上の論理である」。この強調は、今度はカテゴリ論理につながる。なぜなら、型理論上の論理は、論理を捉える1つの（「全体」）カテゴリにカテゴリ的に対応し、別の（「基本」）カテゴリに繊維化され、型理論を捉えるからである。^[9]

普遍代数とモデル理論はどちらも、シグネチャと公理の集合によって定義される（構造または）代数のクラスを研究します。モデル理論の場合、これらの公理は一階文の形式を持ちます。普遍代数の形式ははるかに制限的で、基本的に、項間の普遍量化された方程式の形式を持つ一階文のみが許可されます（例：x y  ( x  +  y  =  y  +  x )）。その結果、シグネチャの選択は、モデル理論よりも普遍代数の方が重要になります。たとえば、2項関数記号 × と定数記号 1 で構成されるシグネチャの群のクラスは基本クラスですが、多様体ではありません。普遍代数は、単項関数記号⁻¹を追加することでこの問題を解決します。 ${\displaystyle \forall }$  ${\displaystyle \forall }$

体の場合、この戦略は加算にのみ有効です。乗算では、0 には逆数がないため失敗します。これに対処するためのアドホックな試みは、0 ⁻¹  = 0 を定義することです。(この試みは、基本的にこの定義では 0 × 0 ⁻¹  = 1 が真ではないため失敗します。) したがって、部分関数、つまり定義域のサブセットでのみ定義される関数を許可するように自然に導かれます。ただし、部分構造、準同型、恒等などの概念を一般化する明らかな方法がいくつかあります。

型理論では、多くの種類の変数があり、それぞれに型があります。型は帰納的に定義されます。つまり、2 つの型 δ と σ が与えられた場合、型 σ のオブジェクトから型 δ のオブジェクトへの関数を表す型 σ → δ も存在します。型付き言語 (通常の第 1 階意味論) の構造には、各型の個別のオブジェクト セットが含まれている必要があり、関数型の場合、構造にはその型の各オブジェクトによって表される関数に関する完全な情報が含まれている必要があります。

二階論理の記事で説明されているように、高階論理には複数の意味論が考えられます。完全な高階意味論を使用する場合、構造はタイプ 0 のオブジェクトのユニバースのみを持つ必要があり、T スキーマは、高階型に対する量指定子が非引用的に真である場合にのみモデルによって満たされるように拡張されます。一階意味論を使用する場合、多数のソートされた一階言語の場合のように、高階型ごとに追加のソートが追加されます。

集合論と圏論の研究では、集合ではなく固有クラスが議論のドメインである構造を考慮することが有用な場合があります。これらの構造は、前述の「集合モデル」と区別するためにクラス モデルと呼ばれることがあります。ドメインが固有クラスである場合、各関数と関係記号も固有クラスで表すことができます。

バートランド・ラッセルの『プリンキピア・マセマティカ』では、構造体もそのドメインとして適切なクラスを持つことが認められていました。

• 数学的構造 – 追加の数学的オブジェクト

• バリス、スタンリー N.; サンカッパナヴァール、HP (1981)、普遍代数の講座、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク
• チャン、チェン・チュン;キースラー、H. ジェローム(1989) [1973]、モデル理論、エルゼビア、ISBN 978-0-7204-0692-4
• ディーステル、ラインハルト (2005) [1997]、グラフ理論、Graduate Texts in Mathematics、第173巻（第3版）、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-26183-4
• エビングハウス、ハインツ＝ディーター。フルム、ヨルグ。 Thomas、Wolfgang (1994)、Mathematical Logic (第 2 版)、ニューヨーク: Springer、ISBN 978-0-387-94258-2
• Hinman, P. (2005)、数学論理の基礎、AK Peters、ISBN 978-1-56881-262-5
• ホッジス、ウィルフリッド（1993）、モデル理論、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-30442-9
• ホッジス、ウィルフリッド（1997）、「より短いモデル理論」、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-58713-6
• マーカー、デイヴィッド（2002）、モデル理論入門、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98760-6
• ポイザット、ブルーノ（2000）、モデル理論講座：現代数学論理入門、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98655-5
• ラウテンバーグ、ヴォルフガング（2010）、数学論理学の簡潔な入門（第3版）、ニューヨーク：シュプリンガーサイエンス+ビジネスメディア、doi：10.1007 / 978-1-4419-1221-3、ISBN 978-1-4419-1220-6
• ロスマーラー、フィリップ（2000）、モデル理論入門、ロンドン：CRCプレス、ISBN 978-90-5699-313-9

• 古典論理学の意味論セクション（スタンフォード哲学百科事典の項目）