空のドメイン

一階述語論理では、空の定義域は要素を持たない空集合である。伝統的および古典的論理では、特定の定理が有効となるように、定義域は限定的に空でない。空の定義域を持つ解釈は、少なくとも 1927 年にBernaysとSchönfinkelによって(おそらくそれ以前に) 始まった慣例によって自明なケースであることが示されているが、これはしばしばQuine の1951 年の数理論理学に起因するとされている。^[1]この慣例によれば、全称量指定子で始まる式には値truth が割り当てられ、存在量指定子で始まる式には値falsehoodが割り当てられる。これは、存在量化された文には存在的意味 (つまり、何かの存在を意味する) があるが、全称量化された文にはそれがないという考えから生じる。この解釈は19 世紀後半のGeorge Booleに由来するとされているが、議論の余地がある。現代のモデル理論では、量化された文の真理条件について次のことが直ちに導かれる。

$A\models \exists x\phi (x){\text{ が成り立つ場合、A{\text{ に }}a\in が存在し、 }}A\models \phi [a] となる場合$
$A\models \forall x\phi (x){\text{ かつ、A{\text{ 内の任意の }}a\ が }}A\models \phi [a] となる場合$

言い換えれば、オープンフォーミュラ φ の存在量化は、そのフォーミュラを満たす要素が (モデルの) ドメインに存在する場合に限り、モデル内で真となります。つまり、その要素がオープンフォーミュラで示されるプロパティを持つ場合に限ります。オープンフォーミュラ φ の普遍量化は、ドメイン内のすべての要素がそのフォーミュラを満たす場合に限り、モデル内で真となります。(メタ言語では、「X となるものはすべて Y となる」は、物質的条件文「X となるものがあれば、Y となる」の普遍的一般化として解釈されることに注意してください。また、量化子には通常のオブジェクト読み取りが与えられ、肯定的な存在ステートメントは存在的意味を持ちますが、普遍的なステートメントは持ちません。) 類似のケースは、空接続詞と空選言に関するものです。接続詞と選言のそれぞれの意味節は、次のように与えられます。

$A\models \phi _{1}\land \dots \land \phi _{n}\iff \forall \phi _{i}(1\leq i\leq n),A\models \phi _{i}$
$A\models \phi _{1}\lor \dots \lor \phi _{n}\iff \exists \phi _{i}(1\leq i\leq n),A\models \phi _{i}$ 。

空の連言が明らかに真であり、空の選言が明らかに偽であることは容易にわかります。

空の領域を含むあらゆる領域で定理が有効である論理は、Jaskowski 1934、Mostowski 1951、Hailperin 1953、Quine 1954、Leonard 1956、および Hintikka 1959 によって最初に検討されました。Quine はこのような論理を「包括的」論理と呼びましたが、現在では自由論理と呼ばれています。

参照

参考文献

^クワイン、 WV (1951)。数学論理学。ハーバード大学出版局。doi :10.4159 / 9780674042469。ISBN 978-0-674-04246-9。

[1] ^クワイン、 WV (1951)。数学論理学。ハーバード大学出版局。doi :10.4159 / 9780674042469。ISBN 978-0-674-04246-9。