ベスの定義可能性

数理論理学において、ベス定義可能性は、プロパティの暗黙的な定義可能性をその明示的な定義可能性に結び付ける結果です。具体的には、ベス定義可能性は、定義可能性の 2 つの意味が同等であると述べています。

一階述語論理には、ベス定義可能性特性があります。

一階述語論理の場合、定理は、言語L' ⊇ Lの理論 TとL'の式φが与えられた場合、以下は同値であることを 述べています。

• Tの任意の2 つのモデル AとBについて、 A | L = B | L (ここでA | L はAからLへの縮約) である場合、 A ⊨ φ [ a ] である場合と、B ⊨ φ [ a ] である場合に限ります( Aのすべてのタプルaについて)。
• φ はT を法としてLの式ψと等価です。

もっと形式的に言うと、ある特性が言語Lの理論で暗黙的に定義可能であるのは (拡張言語L'の式φを介して)、その特性がその理論で明示的に定義可能である場合 (元の言語Lの式ψによって) のみです。

明らかに逆も成り立ち、暗黙の定義可能性と明示的な定義可能性は同等です。つまり、「プロパティ」は、暗黙的に定義可能である場合にのみ、理論に関して明示的に定義可能です。

条件が有限モデルに制限されている場合、定理は成立しません。有限モデルのすべてのペアA、Bに対して、 φを法 としたTと同等のL式ψが存在しない場合に限り、A ⊨ φ [ a ]が成り立ちます。

この結果はエバート・ウィレム・ベスによって初めて証明されました。

• 構造（数学的論理）  - 普遍代数とモデル理論における数式を特定の意味にマッピングすること

• ウィルフリッド・ホッジス 『より短いモデル理論』ケンブリッジ大学出版局、1997年。