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ダイナミック長方形は、直角の4辺を持つ図形（長方形）で、ダイナミックシンメトリーを備えています。この場合、アスペクト比（幅÷高さ）は、ジェイ・ハンビッジの著書で説明されている比例システムと自然なデザイン手法であるダイナミックシンメトリーにおける重要な値です。これらのダイナミック長方形は正方形から始まり、一連の円弧と交差点を使用して正方形を拡張して、黄金比長方形（1：1.618...）、2：3長方形、二重正方形（1：2）、ルート長方形（1：√φ、1 ：√2、1：√3、1 ： √5など）などの目的の図形を形成します。[1] [2] [3]
ルート長方形
ルート長方形とは、長辺と短辺の比が√2、√3などの整数の平方根となる長方形のことである。 [2]
ルート2長方形（図10のACDK）は、正方形の2つの反対側の辺を正方形の対角線の長さまで延長して作成されます。ルート3長方形は、ルート2長方形の2つの長い辺をルート2長方形の対角線の長さまで延長して作成されます。後続のルート長方形は、ルート長方形の長い辺をその長方形の対角線の長さに等しくなるように延長することで生成されます。[4]
プロパティ
- ルートNの長方形を、長い辺をN個の線分に分割してN個の合同な長方形に分割すると、結果として得られる図形はルートNの比率を保ちます（上図参照）。[5]
- ルート3の長方形はシクストンとも呼ばれ、[6]その短辺と長辺は六角形の辺と直径に比例して等しい。[7]
- 2は4の平方根なので、ルート4の長方形の比率は1:2となり、2つの正方形が並んでいるのと同じになります。[7]
- ルート5の長方形は黄金比（φ）と関係があります。長い辺は1/φの2倍（0.618...）に等しくなります。[7]
ルートφ長方形
ルート φ 長方形は動的長方形ですが、ルート長方形ではありません。その対角線は、短い辺の長さの φ 倍に等しくなります。ルート φ 長方形を対角線で割ると、2 つの合同な ケプラー三角形が生成されます。
ジェイ・ハンビッジ
ジェイ・ハンビッジは、動的対称性の理論の一環として、ルート長方形を、黄金比や平方根などの無理数や幾何分数を比率として持つ動的長方形と呼ぶものに含めています。ハンビッジは、これらを、彼が静的長方形と呼ぶ有理比率の長方形と区別しています。[3] 彼によると、ルート2、3、4、5の長方形は、ゴシックや古典ギリシャ・ローマの芸術、オブジェクト、建築によく見られますが、ルート5よりも大きいアスペクト比の長方形は、人間のデザインではほとんど見られません。[4]
マティラ・ギカによれば、ハンビッジのダイナミックな長方形は
最も多様で満足のいく調和のとれた（調和的、対称性によって関連した）細分化と組み合わせを生成できます。これは、選択した長方形の内側に、残りの2つの頂点の1つから対角線とそれに垂直な線を描き（これにより、表面を逆長方形とそのグノモンに分割します）、側面と対角線に平行線と垂直線のネットワークを描くという非常に単純なプロセスによって行われます。これにより、元の長方形の特徴的な比率によって相関する表面が自動的に生成され、√ 2と√ 3または√ 5などの対立するテーマの混合も（自動的に）回避されます。 逆に、 √ 5と Φ は対立的ではなく、 √ Φ、 Φ 2などとも調和的です。 [3]
ウェルシンの12直交角形
ヴォルフガング・フォン・ヴェルシンの『長方形、空間法則、直交図形のジェスチャーの書』（1956年）によると、12の特別な直交図形（ギリシャ語のορθος、orthos、「まっすぐな」[9]とγονια、gonia、「角度」から、「直角の図形」、つまり長方形と四角形である[10]）のセットが歴史的に芸術家、建築家、書家によってデザインにおける要素の配置と相互作用のガイドとして使用されてきました。[3] [11] これらの直交図形は次のとおりです。[12]
- 平方（1:1または1 : √1）
- ダイアゴン（ 1：√2）
- ヘクトンまたはシクストン (1: √ 3 )
- ドッペルカドラット (1:2 または 1: √ 4 )
- ヘミオリオン（2:3）
- オーロン（黄金長方形、1: φ）
- 半対角線 (1:½ √ 5 )
- ペントン（1：√φ）
- トリオン (1:⅔ √ 3 )
- 四角形 (1:(1+ √ 2 )/2)
- ビアウロン（1:2φ）
- ビペントン (1:2 √ 5-2 √ 5 )
ヴォルフガング・フォン・ヴェルシンの本には、1558年（ルネサンス）のテキストの素晴らしいコピーが含まれており、12の直交角のうち7つの図と、「古代」の建築家が「これらの比率を上回るものはない」と「最も純粋な抽象物」と信じていたため、注意深く注意を払うようにという一節からの招待が含まれています。[13]
12個の直交角形を一緒に形成すると、1つの正方形が2重の正方形に展開される全体の単位が形成されます。[14]
おそらく、直交長方形の中で最も人気があるのは、オーロンまたは黄金長方形です。これは、正方形の辺の中点から反対側の頂点の 1 つに向かう対角線を、中点と一直線になるまで投影することによって作成されます。
これらの直交線のうち 4 つは調和長方形です。対角線またはルート 2長方形は、正方形の対角線を投影することで生成されます。シックストン、ヘクトン、またはルート 3長方形は、対角線を投影することで生成されます。二重正方形またはルート 4長方形は、ヘクトンの対角線を投影することで生成されます。ルート 5長方形は、二重正方形の対角線を投影 (または、正方形の 1 辺の中点から反対の頂点に向かう両方の対角線を 180° 投影) することで生成されます。
これらの図形の中で最も複雑な 2 つは、比率 1: √ φのペントンで、黄金のピラミッドの断面と関連しています。バイペントンの長辺は短辺に 3 の平方根の 2/3 を掛けたものに等しく、バイアウロンの長辺は短辺 の√ 5 - 1 または 2τ 倍です。
四角形は、その長い辺が正方形の 4 分の 1 の対角線を投影することによって生成されるという意味で、対角線と関連しています。三角線は、正三角形の高さと辺の幅を持ちます。半対角線(1:½ √ 5 ) の長い辺は、ルート 5 の長方形の半分であり、正方形の半分の対角線を原点と垂直になるまで投影することによって生成されます。
正方形と二重正方形の他に、リストに含まれる静的な長方形は半四角形のみです。半四角形は、正方形の辺の半分を 90° または 180° 投影して生成されます。
直交線の構築
直交図形の次元は互いに関連し、直交図形全体にも関連しています。このため、直交図形をテンプレートや基礎構造として使用することは、芸術家、建築家、デザイナーにとって興味深いことです。[15]
直交図形は常に正方形から始まります。正方形であれば何でもかまいません。個々の直交図形が構築されると、追加の関連寸法 (小、中、大) が決定されます。これらの寸法は、デザイン (絵画、建築、陶器、家具、書道、自動車など) のガイドとして使用できます。
ウェルシンの本には、個々の直交図形を作成するための非常に詳細な説明があります。[16] 得られた測定値は、デザインに適用されます。ジョルジョ・モランディのアートワークは、さまざまなサイズの測定値（直交図形から派生）がどのように視覚的な調和を生み出すことができるかを示しています。
直交座標とデザイン
直交座標系に関連する寸法を基礎構造システム (または設計テンプレート) として使用すると、さまざまな部分が設計全体と関連していることが保証されます。マーカス・ウィトルウィウス・ポリオは、『建築論』第 3 巻(現在は『建築十書』として知られています) で次のように説明しています。
「したがって、自然は人体を、その各部分が全体の骨格に対して適切に比例するように設計したので、完璧な建物では、各部分が全体の全体計画に対して正確に対称的な関係にある必要があるという古代人の規則には十分な理由があったようです。したがって、あらゆる種類の建物の適切な配置を私たちに伝える際、彼らは神の寺院、つまりその長所と短所が通常永遠に残る建物の場合には特に注意を払いました。」
レオナルドの『ウィトルウィウス的人体図』は、作品全体に対する部分の概念を例示している。[17]
参考文献
- ^ スキナー、スティーブン、神聖幾何学の解読コード、ニューヨーク市：スターリング出版社、2006年、53ページ
- ^ abc ジェイ・ハンビッジ (1920) [1920]. ダイナミック・シンメトリー：ギリシャの壺（エール大学出版局版の復刻版）。ホワイトフィッシュ、MT：ケシンジャー出版。pp. 19–29。ISBN
0-7661-7679-7動的
対称ルート長方形。
- ^ abcd マティラ・ギカ (1977).芸術と人生の幾何学. クーリエ・ドーバー出版. pp. 126–127. ISBN 9780486235424。
- ^ ab Jay Hambidge. (1926, 1948, 1967) The Elements of Dynamic Symmetry . Courier Dover Publications. pp. 9–10.
- ^ アンドリュー・ハスラム (2006).ブックデザイン. ローレンス・キング・パブリッシング. pp. 48–49. ISBN
1-85669-473-9.
ルート長方形。
- ^ Wim Muller (2001)デザインにおける秩序と意味Lemma Publishers、p. 49。
- ^ abc キンバリー・エラム (2001)。デザインの幾何学：比率と構成の研究。プリンストン建築出版社。pp. 34–41。ISBN 1-56898-249-6。
- ^ レイシー・デイビス・キャスキー (1922)。『ギリシャの花瓶の幾何学：ジェイ・ハンビッジが発見した比率の原則に従って分析されたボストン美術館のアッティカの花瓶』。ボストン美術館。
- ^ 「Ortho-」、Oxford Dictionary of Current English、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、1998年、627頁、1071頁。
- ^ カーティス、トーマス、ロンドン百科事典、1829年、356ページ
- ^ WERSIN、Wolfgang Von、Das Buch vom Rechteck Gesetz und Gestik des Raumlichen die Othogone-scheibe。 Die Orthogone-scheibe ( The Book of Rectangles、Spatial Law and Gestures of The Orthogons Described. The Orthogons Described )、ラーベンスブルク: Otto Maier Verlag Publishers、1956
- ^ ヴェルシン、83ページ
- ^ WERSIN、前掲書、36ページ
- ^ ヴェルシン、80ページ
- ^ 「宇宙の構築アクティビティブック - 第 4 巻: 動的長方形」。
- ^ ヴェルシン、82-85ページ
- ^ ヘメンウェイ、95ページ
さらに読む
- ヘメンウェイ、プリヤ；神聖な比率、芸術、自然、科学におけるファイ；2005 年、スターリング パブリッシング社、ニューヨーク、ニューヨーク。