3の平方根

3の平方根

辺の長さが 2 の正三角形の高さは3 の平方根に等しくなります。
表現
小数点	1.73205 08075 68877 2935...
連分数	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}$

3 の平方根は、それ自身を掛けると3になる正の実数です。数学的にはまたは と表記されます。より正確には、同じ特性を持つ負の数と区別するために3 の主平方根と呼ばれます。3 の平方根は無理数です。また、その無理数を証明したキュレネのテオドロスにちなんで、テオドロスの定数としても知られています。^[要出典]${\textstyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 3^{1/2}}$

2013年に、その10進表記の数値は100億桁まで計算されました。^[1]ここで65桁まで表記されたその10進展開は、 OEIS :A002194によって与えられています。

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806

分数（${\textstyle {\frac {97}{56}}}$1.732 142 857 ...）は良い近似値として使用できます。分母がわずか56であるにもかかわらず、正しい値との差は 未満です（約、相対誤差）。${\textstyle {\frac {1}{10,000}}}$${\textstyle 9.2\times 10^{-5}}$${\textstyle 5\times 10^{-5}}$1.732 は実際の値の 0.01% 以内で正確です。 ^{[引用が必要]}

分数（${\textstyle {\frac {716,035}{413,403}}}$1.732 050 807 56 ...）は、次のように正確です。^[要出典]${\textstyle 1\times 10^{-11}}$

アルキメデスはその値の範囲を報告した：[ ^2]${\textstyle ({\frac {1351}{780}})^{2}>3>({\frac {265}{153}})^{2}}$

下限値はから（小数点以下 6 桁、相対誤差）までの正確な近似値であり、上限値は から（小数点以下 4 桁、相対誤差）までの正確な近似値です。 ${\textstyle {\frac {1351}{780}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\textstyle {\frac {1}{608,400}}}$${\textstyle 3\times 10^{-7}}$${\textstyle {\frac {265}{153}}}$${\textstyle {\frac {2}{23,409}}}$${\textstyle 1\times 10^{-5}}$

これは単純な連分数 [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]（OEISのシーケンスA040001 ）として表すことができます。

したがって、次のことは真実です。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}}$

すると、次のようになります : ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle {\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a_{22}}{a_{12}}}-1}$

3 の平方根は、直径 1 の円を囲む正三角形の 辺の長さとして求められます。

辺の長さが 1 の正三角形を、内角を二等分して 1 つの辺と直角になるように 2 つの等しい半分に切ると、直角三角形の斜辺の長さは 1 になり、辺の長さは、とになります。このことから、、、およびとなります。 ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$${\textstyle \tan {60^{\circ }}={\sqrt {3}}}$${\textstyle \sin {60^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$${\textstyle \cos {30^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

3の平方根は、3 °、12°、15 ^{° 、21} °、24°、33°、39°、48°、51°、57°、66°、69°、75°、78°、84°、87°の正弦を含む、他のさまざまな三角定数の代数式にも現れます。

辺の長さが 1 である 正六角形の平行な辺間の距離です。

単位立方体の空間対角線の長さです。

魚の膀胱の長軸と短軸の比は です。これは、その中に 2 つの正三角形を作成することで示されます。 ${\displaystyle 1:{\sqrt {3}}}$

電力工学では、三相システムの 2 つの相間の電圧は、線間電圧と中性線間の電圧の積に等しい。これは、2 つの相は 120° 離れており、120° 離れた円上の 2 つの点は半径の積に等しいためである (上記の幾何学の例を参照)。^{[引用が必要]}${\textstyle {\sqrt {3}}}$${\textstyle {\sqrt {3}}}$

のn次導関数 の根のほとんどが超越根であることが知られています(ここで n < 18 であり、 はの第一種ベッセル関数です) 。唯一の例外は数 で、これはと の両方の代数根です。^{[4] [説明が必要]}${\displaystyle J_{\nu }^{(n)}(x)}$${\displaystyle J_{\nu }(x)}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \pm {\sqrt {3}}}$${\displaystyle J_{1}^{(3)}(x)}$${\displaystyle J_{0}^{(4)}(x)}$

• Podestá, Ricardo A. (2020). 「sqrt 3、sqrt 5、sqrt 7 が無理数であることの幾何学的証明」。arXiv : 2003.06627 [ math.GM ]。

• レビュー: Jones , MF (1968)。「100 未満の素数の平方根の 22900D 近似値」。計算数学。22 (101): 234– 235。doi :10.2307/2004806。JSTOR  2004806。
• Uhler, HS (1951). 「 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 、 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 、 sin ⁡ ( π 3 ) {\displaystyle \sin({\frac {\pi }{3}})} の 1300 小数点を超える近似値とその桁の分布」。Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 37 (7): 443– 447. doi : 10.1073/pnas.37.7.443 . PMC  1063398 . PMID  16578382。
• ウェルズ、D. (1997)。『ペンギン不思議数字辞典』（改訂版）。ロンドン：ペンギングループ。23 ページ。

ウィキメディア・コモンズには、3 の平方根に関連するメディアがあります。

• MathWorldのテオドロス定数
• ケビン・ブラウン、アルキメデスと3の平方根