7の平方根

7の平方根
合理性	非合理的
表現
小数点	2.64575 13110 64590 590..._10
代数形式
連分数

7 の平方根は、それ自身を掛け合わせると素数 7になる正の実数です。より正確には、同じ性質を持つ負の数と区別するために、 7 の主平方根と呼ばれます。この数は、さまざまな幾何学や数論の文脈で登場します。無理数形式では次のように表すことができます。^[1]

{\sqrt {7}}\,,

指数形式では次のようになります。

7^{\frac {1}{2}}.

これは無理代数数です。これを10 進数で表した場合の最初の 60 桁の有効数字は次のとおりです。

2.64575 13110 64590 59050 16157 53639 26042 57102 59183 08245 01803 6833...。^[2]

これは2.646に切り上げられ、約99.99%の精度（約10000分の1）で計算できます。つまり、正しい値とは約⁠1/4,000⁠ . 近似値⁠127/48⁠ (≈ 2.645833...) の方が優れています。分母が 48 しかないにもかかわらず、正しい値との差は ⁠ 未満です。1/12,000⁠、つまり 33,000 分の 1 未満です。

7の平方根の10進数は100万桁以上発表されている。^[3]

有理近似

さまざまな方法による平方根の小数近似値の抽出では、7 の平方根が何百年もの間、教科書の例や演習で使用されてきた。小数点以下の桁数は、1773 年^[4]と 1852 年^[5]では5、1835 年^[6]では3、1808 年^[7 ] では6、1797 年^{[8 ] では 7 と、それぞれ異なっている。}ニュートン法(近似値) による抽出は1922 年に示され、1000 分の 1 の位まで 2.646 であると結論づけられている。^[9]

良い有理近似の族では、7の平方根は連分数として表すことができます。

[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}}}}}}.

（OEISの配列A010121）

連分数の連続的な部分評価は、その収束と呼ばれ、次のように近づきます。 ${\sqrt {7}}$

{\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},{\frac {5}{2}},{\frac {8}{3}},{\frac {37}{14}},{\frac {45}{17}},{\frac {82}{31}},{\frac {127}{48}},{\frac {590}{223}},{\frac {717}{271}},\dots

分子は2、3、5、8、37、45、82、127、590、717、1307、2024、9403、11427、20830、32257…（OEIS の配列 A041008）であり、分母は1、1、2、3、14、17、31、48、223、271、494、765、3554、4319、7873、12192、…（OEISの配列A041009）である。

各収束値はの最良の有理近似値です。言い換えると、より小さい分母を持つどの有理数よりもに近くなります。近似小数点は、1 ステップあたり 1 桁未満の割合で線形に向上します (桁数は収束数に比例します)。 ${\sqrt {7}}$ ${\sqrt {7}}$

{\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {3}{1}}=3.0,\quad {\frac {5}{2}}=2.5,\quad {\frac {8}{3}}=2.66\dots ,\quad {\frac {37}{14}}=2.6429...,\quad {\frac {45}{17}}=2.64705...,\quad {\frac {82}{31}}=2.64516...,\quad {\frac {127}{48}}=2.645833...,\quad \ldots

4番目ごとに収束し、 $⁠$ $8 / 3 ⁠$ 、次のように表される $⁠$ $x / ええ ⁠ は$ ペル方程式を満たす^[10]

x^{2}-7y^{2}=1.

をバビロニア法で近似する場合、 $x$ $1$ $= 3$ から始めて $x$ $n$ $+1$ $=$ $⁠$ ${\sqrt {7}}$ $1 / 2 ⁠ (x n + ⁠ 7 / xn の ⁠ ）の$ 場合、 $n$ 番目の近似値 $x n$ は連分数の $2 n$ 番目の収束値に等しくなります

x_{1}=3,\quad x_{2}={\frac {8}{3}}=2.66...,\quad x_{3}={\frac {127}{48}}=2.6458...,\quad x_{4}={\frac {32257}{12192}}=2.645751312...,\quad x_{5}={\frac {2081028097}{786554688}}=2.645751311064591...,\quad \dots

最初のもの以外はすべて、上記のペルの方程式を満たしています。

バビロニア法は、多項式に適用されるニュートン法の根を求める方法と同等です。ニュートン法の更新は、のときと等しくなります。したがって、この方法は2 次収束します(正確な小数桁数は、ニュートンまたはバビロニアのステップ数の 2 乗に比例します)。 $x^{2}-7$ $x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}),$ $(x_{n}+7/x_{n})/2$ $f(x)=x^{2}-7$

幾何学

平面幾何学では、7の平方根は一連の動的長方形、つまりここに示した長方形の最大対角線として構成することができます。^[11]^[12]^[13]

辺の長さが2の正三角形の最小外接長方形の対角線は7の平方根である。^[14]

ピタゴラスの定理とルジャンドルの三平方定理により、は、立方整数格子の任意の2点間の距離（または、整数の辺の長さを持つ直方体の空間対角線の長さ）にはならない自然数の最小の平方根です。は、そのような数の中で次に小さい数です。^[15] ${\sqrt {7}}$ ${\sqrt {15}}$

数学以外

現在のアメリカの1ドル紙幣の裏面にある「大きな内箱」の長さと幅の比は7の平方根で、対角線の長さは6.0インチで、測定精度の範囲内である。^[16]

参照

参考文献

^ ダービー、ジョン（1843年）。『実用算術、主要規則の注釈と説明付き』、ロンドン：ウィテカー＆カンパニー。p.172 。 2022年3月27日閲覧。
^ Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A010465 (7 の平方根の 10 進展開)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
^ Robert Nemiroff、Jerry Bonnell (2008)。7 の平方根。 2022年3月25日閲覧– gutenberg.org経由。
^ ユーイング、アレクサンダー（1773）。『算数研究所：学校とアカデミーでの使用のために』エディンバラ：T.キャデル。104ページ。
^ レイ、ジョセフ（1852年）。『レイの代数、第2部：高等学校とアカデミー向けの分析的論文、第2部』シンシナティ：サージェント、ウィルソン＆ヒンクル。132ページ。 2022年3月27日閲覧。
^ ベイリー、エベネザー (1835)。代数学の入門書、その科学への簡単な入門書…ラッセル、シャタック＆カンパニー。pp. 212– 213。2022年3月27日閲覧。
^ トンプソン、ジェームズ（1808年）。『アメリカの家庭教師のガイド：算数大要。6部構成』アルバニー：E.＆E.ホスフォード。122ページ。 2022年3月27日閲覧。
^ ホーニー、ウィリアム（1797）。完全な計測者：または、測定の全技術。2部構成。パートI。小数点演算の指導...パートII。あらゆる種類の表面と立体の測定の指導...第13版。付録が追加されています。1。ゲージについて。2。土地測定について。ロンドン。pp。59〜60 。2022年3月27日閲覧。
^ George Wentworth、David Eugene Smith、Herbert Druery Harper (1922)。『実用数学の基礎』Ginn and Company、p.113 。 2022年3月27日閲覧。
^ コンラッド、キース。「ペル方程式 II」（PDF）。uconn.edu 。 2022年3月17日閲覧。
^ ジェイ・ハンビッジ (1920) [1920]. ダイナミック・シンメトリー：ギリシャの壺（エール大学出版局版の復刻版）。ホワイトフィッシュ、MT：ケシンジャー出版。pp. 19–29。ISBN 0-7661-7679-7動的対称ルート長方形。
^ マティラ・ギカ（1977年）『芸術と人生の幾何学』クーリエ・ドーバー出版、pp.126-127。ISBN 978-0-486-23542-4。
^ フレッチャー、レイチェル（2013）。無限の尺度：芸術、建築、自然と幾何学的に調和したデザインを学ぶ。ジョージ・F・トンプソン出版。ISBN 978-1-938086-02-1。
^ ブラックウェル、ウィリアム (1984)。建築における幾何学。キーカリキュラムプレス。p. 25。ISBN 978-1-55953-018-7. 2022年3月26日閲覧。
^ Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A005875」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
^マクグラス、ケン（ 2002年）。ドルの秘密の幾何学。AuthorHouse。pp.47–49。ISBN 978-0-7596-1170-2. 2022年3月26日閲覧。

[darby-1] ダービー、ジョン（1843年）。『実用算術、主要規則の注釈と説明付き』、ロンドン：ウィテカー＆カンパニー。p.172 。 2022年3月27日閲覧。

[oeis-2] Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A010465 (7 の平方根の 10 進展開)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。

[million-3] Robert Nemiroff、Jerry Bonnell (2008)。7 の平方根。 2022年3月25日閲覧– gutenberg.org経由。

[4] ユーイング、アレクサンダー（1773）。『算数研究所：学校とアカデミーでの使用のために』エディンバラ：T.キャデル。104ページ。

[5] レイ、ジョセフ（1852年）。『レイの代数、第2部：高等学校とアカデミー向けの分析的論文、第2部』シンシナティ：サージェント、ウィルソン＆ヒンクル。132ページ。 2022年3月27日閲覧。

[bailey-6] ベイリー、エベネザー (1835)。代数学の入門書、その科学への簡単な入門書…ラッセル、シャタック＆カンパニー。pp. 212– 213。2022年3月27日閲覧。

[thompson-7] トンプソン、ジェームズ（1808年）。『アメリカの家庭教師のガイド：算数大要。6部構成』アルバニー：E.＆E.ホスフォード。122ページ。 2022年3月27日閲覧。

[hawney-8] ホーニー、ウィリアム（1797）。完全な計測者：または、測定の全技術。2部構成。パートI。小数点演算の指導...パートII。あらゆる種類の表面と立体の測定の指導...第13版。付録が追加されています。1。ゲージについて。2。土地測定について。ロンドン。pp。59〜60 。2022年3月27日閲覧。

[wentworth-9] George Wentworth、David Eugene Smith、Herbert Druery Harper (1922)。『実用数学の基礎』Ginn and Company、p.113 。 2022年3月27日閲覧。

[conrad-10] コンラッド、キース。「ペル方程式 II」（PDF）。uconn.edu 。 2022年3月17日閲覧。

[hambidge-11] ジェイ・ハンビッジ (1920) [1920]. ダイナミック・シンメトリー：ギリシャの壺（エール大学出版局版の復刻版）。ホワイトフィッシュ、MT：ケシンジャー出版。pp. 19–29。ISBN 0-7661-7679-7動的対称ルート長方形。

[ghyka-12] マティラ・ギカ（1977年）『芸術と人生の幾何学』クーリエ・ドーバー出版、pp.126-127。ISBN 978-0-486-23542-4。

[fletcher-13] フレッチャー、レイチェル（2013）。無限の尺度：芸術、建築、自然と幾何学的に調和したデザインを学ぶ。ジョージ・F・トンプソン出版。ISBN 978-1-938086-02-1。

[blackwell-14] ブラックウェル、ウィリアム (1984)。建築における幾何学。キーカリキュラムプレス。p. 25。ISBN 978-1-55953-018-7. 2022年3月26日閲覧。

[15] Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A005875」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。

[16] ^マクグラス、ケン（ 2002年）。ドルの秘密の幾何学。AuthorHouse。pp.47–49。ISBN 978-0-7596-1170-2. 2022年3月26日閲覧。