6の平方根

6の平方根
合理性	非合理的
表現
小数点	2.44948 97427 83178 098...
代数形式
連分数

6 の平方根は、それ自身を掛けると自然数 6になる正の実数です。より正確には、同じ性質を持つ負の数と区別するために、 6 の主平方根と呼ばれます。この数は、数多くの幾何学や数論の文脈に現れます。無理数形式では^[1] 、指数形式ではと表記されます。 ${\textstyle {\sqrt {6}}}$ ${\textstyle 6^{\frac {1}{2}}}$

これは無理数代数である。^[2]その10進展開の最初の60桁の有効数字は次の通りである。

2.44948 97427 83178 09819 72840 74705 89139 19659 47480 65667 01284 3269...。^[3]

これは2.45に切り上げられ、約99.98%の精度（約4800分の1）で計算できます。つまり、正しい値とは約⁠1/2,000⁠。誤差を約半分に減らすには、さらに2桁（2.4495）必要です。近似値は⁠218/89⁠ (≈ 2.449438...) はほぼ 10 倍優れています。分母が 89 しかないにもかかわらず、正しい値との差は⁠未満です。1/20,000⁠、つまり47,000分の1未満です。

6 は 2 と 3 の積なので、 6 の平方根は2 と 3 の幾何平均であり、どちらも無理数である 2 の平方根と3 の平方根の積です。

NASAは6の平方根の100万桁以上の数値を公開している。^[4]

有理近似

6の平方根は単純な連分数として表すことができます

[2;2,4,2,4,2,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}.

（OEISの配列A040003）

連分数の連続的な部分評価は収束と呼ばれ、次のように近づきます。 ${\sqrt {6}}$

{\frac {2}{1}},{\frac {5}{2}},{\frac {22}{9}},{\frac {49}{20}},{\frac {218}{89}},{\frac {485}{198}},{\frac {2158}{881}},{\frac {4801}{1960}},\dots

分子は2、5、22、49、218、485、2158、4801、21362、47525、211462、…（OEISの配列A041006）、分母は1、2、9、20、89、198、881、1960、8721、19402、86329、…（OEISの配列A041007）である。^[5]

各収束値はの最良の有理近似値です。言い換えると、より小さい分母を持つどの有理数よりもに近くなります。10 進数換算値は、収束値ごとにほぼ 1 桁の割合で線形に向上します。 ${\sqrt {6}}$ ${\sqrt {6}}$

{\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {5}{2}}=2.5,\quad {\frac {22}{9}}=2.4444\dots ,\quad {\frac {49}{20}}=2.45,\quad {\frac {218}{89}}=2.44943...,\quad {\frac {485}{198}}=2.449494...,\quad \ldots

収束関数は次のように表される $⁠$ $x / ええ ⁠$ 、交互にペル方程式を満たす^[5]

x^{2}-6y^{2}=-2\quad \mathrm {and} \quad x^{2}-6y^{2}=1

をバビロニア法で近似する場合、 $x$ $0$ $= 2$ から始めて $x$ $n$ $+1$ $=$ $⁠$ ${\sqrt {6}}$ $1 / 2 ⁠ (x n + ⁠ 6 / xn の ⁠ ）の$ 場合、 $n$ 番目の近似値 $x n$ は連分数の $2 n$ 番目の収束値に等しくなります

x_{0}=2,\quad x_{1}={\frac {5}{2}}=2.5,\quad x_{2}={\frac {49}{20}}=2.45,\quad x_{3}={\frac {4801}{1960}}=2.449489796...,\quad x_{4}={\frac {46099201}{18819920}}=2.449489742783179...,\quad \dots

バビロニア法は、多項式に適用されるニュートン法の根を求める方法と同等です。ニュートン法の更新では、のときはに等しくなります。したがって、この方法は2 次収束します。 $x^{2}-6$ $x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}),$ $(x_{n}+6/x_{n})/2$ $f(x)=x^{2}-6$

幾何学

平面幾何学では、ここに示すように、6の平方根は一連の動的長方形を介して構築できます。 ^[6]^[7]^[8]

立体幾何学では、6の平方根は上図のように二重立方体の角（頂点）間の最長距離として現れる。すべての小さい自然数の平方根は二重立方体内の他の頂点ペア（含まれる2つの立方体の頂点を含む）間の距離として現れる。^[8]

総表面積が1の立方体の辺の長さは、または6の逆平方根です。総表面積が等しい正四面体（ $t$ ）、正八面体（ $o$ ）、立方体（ $c$ ）の辺の長さはを満たします。^[3]^[9] ${\frac {\sqrt {6}}{6}}$ ${\frac {t\cdot o}{c^{2}}}={\sqrt {6}}$

正八面体の辺の長さは、内接球の半径（つまり、立体の中心から各面の中心までの距離）の6倍の平方根である。^[10]

6 の平方根は、辺が 2 の正三角形を囲む正方形の辺の長さなど、さまざまな幾何学のコンテキストで登場します (図を参照)。 ${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{2}}$

三角法

6の平方根に2の平方根を加えたり引いたりすると、 15度（ラジアン）の倍数の角度の正確な三角関数の値がいくつか現れます。^[11] $\pi /12$

文化の中で

ヴィラール・ド・オヌクールが13世紀に建設した半径5の円弧を持つゴシック様式の「第五芒星のアーチ」の高さは、ここに示すように6の平方根の2倍である。^[12]^[13]

参照

参考文献

^ レイ、ジョセフ（1842年）。レイの帰納的および分析的教授法に関する折衷的算術。シンシナティ：トルーマン＆スミス。p.217 。 2022年3月20日閲覧。
^ オサリバン、ダニエル（1872年）。算数の原理：包括的な教科書。ダブリン：アレクサンダートム。p.234 。 2022年3月17日閲覧。
^ ab Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A010464 (6 の平方根の 10 進展開)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
^ ロバート・ネミロフ、ジェリー・ボネル。「6の平方根の最初の100万桁」nasa.gov 。 2022年3月17日閲覧。
^ ab Conrad, Keith. 「ペル方程式 II」（PDF）。uconn.edu 。2022年3月17日閲覧。√6の連分数は[2; 2, 4 ]であり、以下の収束表は、他のすべての収束式が $x$ $2$ $- 6$ $y$ $2$ $= 1$ の解を提供することを示唆しています（そしてそれは真実です）。
^ ジェイ・ハンビッジ (1920) [1920]. ダイナミック・シンメトリー：ギリシャの壺（エール大学出版局版の復刻版）。ホワイトフィッシュ、MT：ケシンジャー出版。pp. 19–29。ISBN 0-7661-7679-7動的対称ルート長方形。
^ マティラ・ギカ（1977年）『芸術と人生の幾何学』クーリエ・ドーバー出版、pp.126-127。ISBN 9780486235424。
^ ab フレッチャー、レイチェル (2013)。無限の尺度：芸術、建築、自然と幾何学的に調和したデザインを学ぶ。ジョージ F トンプソン出版。ISBN 978-1-938086-02-1。
^ レヒトマン、アナ。「Un défi par semaine Avril 2016, 3e défi (Solution du 2e défi d'Avril)」。数学の画像。2022 年3 月 23 日に取得。
^ SC & LM Gould (1890). The Bizarre Notes and Queries in History, Folk-lore, Mathematics, Mysticism, Art, Science, Etc, Volumes 7-8. Manchester, NH p. 342 . 2022年3月19日閲覧。直径が2の八面体では、直線の辺は6の平方根に等しくなります。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ アブラモウィッツ、ミルトン、ステグン、アイリーン A.編 (1972)。数式、グラフ、および数学表付き数学関数ハンドブック。ニューヨーク：ドーバー出版。p . 74。ISBN 978-0-486-61272-0。
^ Branner, Robert (1960). 「ヴィラール・ド・オヌクール、アルキメデス、シャルトル」.建築歴史家協会誌. 19 (3): 91– 96. doi :10.2307/988023. JSTOR 988023. 2022年3月25日閲覧。
^ シェルビー、ロン・R. (1969). 「尖頭アーチのキーストーンの設置：中世の「バウジオメトリー」に関するメモ」.テクノロジーと文化. 10 (4): 537– 548. doi :10.2307/3101574. JSTOR 3101574. 2022年3月25日閲覧。

[1] レイ、ジョセフ（1842年）。レイの帰納的および分析的教授法に関する折衷的算術。シンシナティ：トルーマン＆スミス。p.217 。 2022年3月20日閲覧。

[2] オサリバン、ダニエル（1872年）。算数の原理：包括的な教科書。ダブリン：アレクサンダートム。p.234 。 2022年3月17日閲覧。

[oeis-3] Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A010464 (6 の平方根の 10 進展開)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。

[nasa-4] ロバート・ネミロフ、ジェリー・ボネル。「6の平方根の最初の100万桁」nasa.gov 。 2022年3月17日閲覧。

[conrad-5] Conrad, Keith. 「ペル方程式 II」（PDF）。uconn.edu 。2022年3月17日閲覧。√6の連分数は[2; 2, 4 ]であり、以下の収束表は、他のすべての収束式が $x$ $2$ $- 6$ $y$ $2$ $= 1$ の解を提供することを示唆しています（そしてそれは真実です）。

[hambidge-6] ジェイ・ハンビッジ (1920) [1920]. ダイナミック・シンメトリー：ギリシャの壺（エール大学出版局版の復刻版）。ホワイトフィッシュ、MT：ケシンジャー出版。pp. 19–29。ISBN 0-7661-7679-7動的対称ルート長方形。

[ghyka-7] マティラ・ギカ（1977年）『芸術と人生の幾何学』クーリエ・ドーバー出版、pp.126-127。ISBN 9780486235424。

[fletcher-8] フレッチャー、レイチェル (2013)。無限の尺度：芸術、建築、自然と幾何学的に調和したデザインを学ぶ。ジョージ F トンプソン出版。ISBN 978-1-938086-02-1。

[rechtman-9] レヒトマン、アナ。「Un défi par semaine Avril 2016, 3e défi (Solution du 2e défi d'Avril)」。数学の画像。2022 年3 月 23 日に取得。

[gould-10] SC & LM Gould (1890). The Bizarre Notes and Queries in History, Folk-lore, Mathematics, Mysticism, Art, Science, Etc, Volumes 7-8. Manchester, NH p. 342 . 2022年3月19日閲覧。直径が2の八面体では、直線の辺は6の平方根に等しくなります。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[Abramowitz_and_Stegun-11] アブラモウィッツ、ミルトン、ステグン、アイリーン A.編 (1972)。数式、グラフ、および数学表付き数学関数ハンドブック。ニューヨーク：ドーバー出版。p . 74。ISBN 978-0-486-61272-0。

[12] Branner, Robert (1960). 「ヴィラール・ド・オヌクール、アルキメデス、シャルトル」.建築歴史家協会誌. 19 (3): 91– 96. doi :10.2307/988023. JSTOR 988023. 2022年3月25日閲覧。

[13] シェルビー、ロン・R. (1969). 「尖頭アーチのキーストーンの設置：中世の「バウジオメトリー」に関するメモ」.テクノロジーと文化. 10 (4): 537– 548. doi :10.2307/3101574. JSTOR 3101574. 2022年3月25日閲覧。