正確な三角関数の値

数学では、三角関数の値は、 のように近似的に、または のように正確に表すことができます。三角関数の表には近似値が多数含まれていますが、特定の角度の正確な値は、算術演算と平方根の組み合わせで表すことができます。この方法で表せる三角値を持つ角度は、コンパスと定規で構成できる角度とまったく同じであり、その値は構成可能数と呼ばれます。 ${\displaystyle \cos(\pi /4)\approx 0.707}$${\displaystyle \cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2}$

15°、18°、または22.5°の倍数の角度の三角関数には、単純な代数値があります。これらの値は、0°から45°の角度について次の表に示されています。^[1]次の表で、「未定義」というラベルは比を表します。三角関数の共域を実数とすると、これらのエントリは未定義になりますが、共域を射影拡張された実数とすると、これらのエントリは値を取ります（ゼロ除算を参照）。 ${\displaystyle 1:0.}$${\displaystyle \infty}$

この範囲外の角度については、次のような 反射とシフトの恒等式を適用することで三角関数の値を求めることができます。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&{}=\cos(\theta ),\\[5mu]&&\sin(2\pi +\theta )&{}=\sin(\pi -\theta )&&{}=\sin(\theta ),\quad &&\sin(\pi +\theta )&&{}=\sin(-\theta )&&{}=-\sin(\theta ),\\[5mu]&&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos(-\theta )&&{}=\cos(\theta ),\quad &&\cos(\pi +\theta )&&{}=\cos(\pi -\theta )&&{}=-\cos(\theta ).\end{alignedat}}}$

三角数は、 πラジアンの有理倍数の正弦または余弦として表される数である。^[2]正弦の場合はこの定義から省略できるため。したがって、任意の三角数は と表記でき、kとnは整数である。この数は複素数の実数部と考えることができる。ド・モアブルの公式は、この形式の数が1 の根であることが分かる。 ${\displaystyle \sin(x)=\cos(x-\pi /2),}$${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}$

${\displaystyle \left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1}$

1 の根は多項式x ⁿ − 1 の根なので、代数的 です。三角数は 1 の根とその複素共役の平均であり、代数的数は算術演算で閉じているため、すべての三角数は代数的です。^[2]三角数の最小多項式は明示的に列挙できます。^[3]対照的に、リンデマン-ワイエルシュトラスの定理により、任意の非ゼロ代数的数の正弦または余弦は常に超越数です。^[4]

任意の1の根の実部は三角数である。ニーヴンの定理によれば、有理三角数は0、1、−1、1/2、−1/2のみである。^[5]

角度は、その正弦（または同等の余弦）が整数に適用された算術演算と平方根の組み合わせによって表される場合に限り、コンパスと定規で作図できます。^[6]さらに、ラジアンの有理倍数の角度は、ラジアンで表されたときに、 aとbが互いに素な整数である場合、分母bの素因数分解が、 2の累乗と任意の数の異なるフェルマー素数（フェルマー素数とは、2の累乗より1大きい素数）の積である場合に限り、作図可能です。 ^[7]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle a\pi /b}$

例えば、15はフェルマー素数3と5の積であるため、 は構成可能な角です。同様に、12は2の累乗（4）×フェルマー素数（3）であるため、 は構成可能な角です。しかし、 は3を因数として2回含むため、異なるフェルマー素数の積ではないため、 は構成可能な角ではありません。また、 7はフェルマー素数ではないため、も同様です。 ^[8]${\displaystyle 2\pi /15=24^{\circ }}$${\displaystyle \pi /12=15^{\circ }}$${\displaystyle \pi /9=20^{\circ }}$${\displaystyle 9=3\cdot 3}$${\displaystyle \pi /7\approx 25.714^{\circ }}$

上記の特徴から、整数度の角度は、この度数が3の倍数である場合にのみ構成可能であることがわかります。

反射恒等式から、が得られます。 をピタゴラスの三角関数恒等式に代入すると、最小多項式が得られます。 正の根を取ると、 が得られます。 ${\displaystyle \cos(45^{\circ })=\sin(90^{\circ }-45^{\circ })=\sin(45^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(45^{\circ })^{2}+\cos(45^{\circ })^{2}=1}$ ${\displaystyle 2\sin(45^{\circ })^{2}-1=0}$${\displaystyle \sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })=1/{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}/2}$

正弦と余弦の 30 度と 60 度という値は、正三角形の解析によって得られます。正三角形では、3 つの角度は等しく、合計は 180 度になるため、各角の角度は 60 度です。1 つの角を二等分すると、角度が 30-60-90 である特殊な直角三角形が得られます。対称性により、二等分された辺は正三角形の辺の半分であるため、結論として となります。ピタゴラスの定理と鏡映の定理から が得られます。 ${\displaystyle \sin(30^{\circ })=1/2}$${\displaystyle \sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\sqrt {1-(1/2)^{2}}}={\sqrt {3}}/2}$

の値は正弦と余弦の倍角公式を使って導くことができる。 ^[9]正弦の2倍角公式によって： ${\displaystyle \sin(18^{\circ })}$

${\displaystyle \sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })}$

余弦の三倍角の公式により:

${\displaystyle \cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))}$

sin(36°) = cos(54°)なので、これら2つの式を等しくし、cos(18°)の係数を消去します。

${\displaystyle 2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })}$

この二次方程式には正の根が 1 つだけあります。

${\displaystyle \sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$

すると、ピタゴラスの定理から が得られ、2 倍角と 3 倍角の公式から、36°、54°、72° の正弦と余弦が得られます。 ${\displaystyle \cos(18^{\circ })}$

 Wikimedia Commons には、これらの正確な値の表が記載されたファイルがあります。

0°から90°までの3°の倍数である他のすべての角度の正弦と余弦は、上記の角度と和と差の公式から導くことができます。具体的には、^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}3^{\circ }&=18^{\circ }-15^{\circ },&24^{\circ }&=54^{\circ }-30^{\circ },&51^{\circ }&=60^{\circ }-9^{\circ },&78^{\circ }&=60^{\circ }+18^{\circ },&\\6^{\circ }&=36^{\circ }-30^{\circ },&27^{\circ }&=45^{\circ }-18^{\circ },&57^{\circ }&=30^{\circ }+27^{\circ },&81^{\circ }&=45^{\circ }+36^{\circ },&\\9^{\circ }&=45^{\circ }-36^{\circ },&33^{\circ }&=60^{\circ }-27^{\circ },&63^{\circ }&=45^{\circ }+18^{\circ },&84^{\circ }&=54^{\circ }+30^{\circ },&\\12^{\circ }&=30^{\circ }-18^{\circ },&39^{\circ }&=30^{\circ }+9^{\circ },&66^{\circ }&=36^{\circ }+30^{\circ },&87^{\circ }&=60^{\circ }+27^{\circ }.&\\15^{\circ }&=45^{\circ }-30^{\circ },&42^{\circ }&=60^{\circ }-18^{\circ },&69^{\circ }&=60^{\circ }+9^{\circ },&\\21^{\circ }&=30^{\circ }-9^{\circ },&48^{\circ }&=30^{\circ }+18^{\circ },&75^{\circ }&=45^{\circ }+30^{\circ },&\end{aligned}}}$

たとえば、 なので、その余弦は余弦差の公式によって導くことができます。 ${\displaystyle 24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}$

分母bに2の係数を掛けると、半角の公式を使って正弦と余弦を導くことができる。例えば、22.5°（π /8rad）は45°の半分なので、その正弦と余弦は次のようになる。^[11]

${\displaystyle \sin(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1-\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle \cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1+\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

半角の公式を繰り返し適用すると、入れ子になった根号、具体的にはという形式の2 の入れ子になった平方根 が得られます。一般に、 形式のほとんどの角度の正弦と余弦は、 の項で 2 の入れ子になった平方根を使用して表すことができます。具体的には、角度を と表すことができ、 が に対して -1、0、または 1 である場合 、[ 12 ]^となり、の場合^[12] となります。 たとえば、であるため、次が得られ、次が得られます。 ${\displaystyle {\sqrt {2\pm \cdots }}}$${\displaystyle \beta /2^{n}}$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle \alpha =\pi \left({\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\prod _{j=1}^{i}b_{j}}{2^{i+1}}}\right)=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{1}}{4}}-{\frac {b_{1}b_{2}}{8}}-{\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{16}}-\ldots -{\frac {b_{1}b_{2}\ldots b_{k}}{2^{k+1}}}\right)}$$${\displaystyle b_{k}\in [-2,2]}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle i<k}$ $${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b_{1}}{2}}{\sqrt {2+b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}$$${\displaystyle b_{1}\neq 0}$ $${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+b_{4}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}}}$$${\displaystyle {\frac {13\pi }{32}}=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}\right)}$${\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,-1,1,-1)}$$${\displaystyle \cos \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {-\pi }{4}}\right)}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}$$ $${\displaystyle \sin \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}$$

17はフェルマー素数なので、正17角形は構成可能であり、これはラジアンなどの角度の正弦と余弦を平方根で表すことができることを意味する。特に、1796年にカール・フリードリヒ・ガウスは以下を示した。^{[13] [14]}${\displaystyle 2\pi /17}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}$

形式(整数)の他の構成可能な角度の正弦と余弦は、この角度から導くことができます。 ${\displaystyle {\frac {k2^{n}\pi }{17}}}$${\displaystyle k,n}$

§ 構成可能性で説明したように、ラジアンの有理倍数である特定の角度のみが、平方根で表現できる三角関数の値を持ちます。角度 1° はラジアンであるため、分母に 3 の繰り返し因数があり、したがって平方根だけを使用して表現することはできません。関連する質問は、立方根を使用して表現できるかどうかです。次の 2 つのアプローチを使用できますが、どちらも複素数の 3 乗根を含む式になります。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi /180=\pi /(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5)}$${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$

三重角の恒等式を用いると、を三次多項式の根として識別できる。この多項式の 3 つの根は、、、およびである。 は構成可能なので、 の式をカルダノの公式に代入すると の式が得られる。しかし、三次多項式の 3 つの根はすべて実数なので、これはcasus irreducilisの例であり、この式では複素数の 3 乗根を求める必要がある。^{[15] [16]}${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$${\displaystyle \sin(3^{\circ })=-4x^{3}+3x}$${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$${\displaystyle \sin(59^{\circ })}$${\displaystyle -\sin(61^{\circ })}$${\displaystyle \sin(3^{\circ })}$${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$

あるいは、ド・モアブルの公式によれば：

${\displaystyle {\begin{aligned}(\cos(1^{\circ })+i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ }),\\[4mu](\cos(1^{\circ })-i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ }).\end{aligned}}}$

立方根をとり、方程式を足したり引いたりすると、次のようになります。^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(1^{\circ })&=\;{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}+{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right),\\[5mu]\sin(1^{\circ })&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}-{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right).\end{aligned}}}$

• アイユの長方形、15°の倍数の正確な値を見つけるために使用
• 三角関数の恒等式の一覧