スピン軌道相互作用

磁場中の磁気モーメントのエネルギーは次のように与えられる。 $${\displaystyle \Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$$ ここで、 μは粒子の磁気モーメント、 Bは粒子が受ける磁場である。

まず磁場について考察します。原子核の静止系では電子に作用する磁場はありませんが、電子の静止系では磁場が存在します（古典電磁気学と特殊相対性理論を参照）。この系が慣性系ではないことを一旦無視すると、次の式が得られます 。$${\displaystyle \mathbf {B} =-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}},}$$ ここで、 vは電子の速度、Eは電子が通過する電場である。^{[ a ]}ここで、非相対論的極限では、ローレンツ因子は${\displaystyle \gamma \backsimeq 1}$。これでEが放射状であることがわかったので、書き直すことができます。${\textstyle \mathbf {E} =\left|E\right|{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$また、電子の運動量は${\displaystyle \mathbf {p} =m_{\text{e}}\mathbf {v} }$これらを代入し、クロス積の順序を変更する（恒等式を使用）$\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$) は $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {p} }{m_{\text{e}}c^{2}}}\left|{\frac {E}{r}}\right|.}$$

次に、電場を電位の勾配として表します。${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$ここでは中心場近似、すなわち静電ポテンシャルが球対称であると 仮定し、半径のみの関数とします。この近似は水素および水素様系に対しては正確です。したがって、$${\displaystyle |E|=\left|{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|={\frac {1}{e}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}},}$$

どこ${\displaystyle U=-eV}$は中心場における電子のポテンシャルエネルギーであり、 eは素電荷です。ここで、古典力学から粒子の角運動量について思い出しましょう。${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$すべてをまとめると、 $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} .}$$

この時点で、BはLを掛けた正の数であり、これは磁場が粒子の軌道 角運動量と平行であり、その軌道角運動量自体は粒子の速度と垂直であることを意味する。

電子の スピン磁気モーメントは$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}=-g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}{\frac {\mathbf {S} }{\hbar }},}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {S} }$はスピン（または固有角運動量）ベクトルであり、${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$はボーア磁子であり、${\displaystyle g_{\text{s}}=2.0023...\approx 2}$は電子スピンg因子です。${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$はスピンに掛けられた負の定数なので、スピン磁気モーメントはスピンと反平行になります。

スピン軌道ポテンシャルは2つの部分から構成される。ラーモア項は、電子のスピン磁気モーメントと、電子の共動座標系における原子核の磁場との相互作用に関係する。2つ目の項は、トーマス歳差運動に関連する。

ラーモア相互作用エネルギーは $${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}$$

この式にスピン磁気モーメントと磁場の式を代入すると、 $${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}={\frac {g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {2\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

ここで、電子の曲線軌道に対するトーマス歳差補正を考慮に入れる必要がある。

1926年、ルウェリン・トーマスは原子の微細構造における二重線間隔を相対論的に再計算した。^{[ 2 ]}トーマス歳差運動率${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$軌道運動の角周波数に関連している${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$回転する粒子の以下の通り: ^{[ 3 ] [ 4 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}=-{\boldsymbol {\omega }}(\gamma -1),}$$ どこ${\displaystyle \gamma }$は運動する粒子のローレンツ因子です。スピン歳差運動を生み出すハミルトニアン${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$は $${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}={\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}\cdot \mathbf {S} .}$$

第一に${\displaystyle (v/c)^{2}}$我々は得る $${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}=-{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

外部静電ポテンシャルにおける全スピン軌道ポテンシャルは次の形式をとる。 $${\displaystyle \Delta H\equiv \Delta H_{\text{L}}+\Delta H_{\text{T}}={\frac {(g_{\text{s}}-1)\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$ トーマス歳差運動の正味の効果は、ラーモア相互作用エネルギーが約1/2に減少することであり、これはトーマス半値として知られるようになった。

上記のすべての近似のおかげで、このモデルにおける詳細なエネルギーシフトを評価できるようになりました。L z と S z はもはや保存量ではないことに注意してください。特に、_H 0 (非摂動ハミルトニアン) と Δ H の両方を対角化する新しい基底を見つけたいと考えています。_この基底が何で_あるかを調べるために、まず全角運動量演算子を定義します。$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

これとそれ自身との 内積を取ると、$${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$$ （LとSは可換であるため）したがって $${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2}\right)}$$

5つの演算子H ₀、J ²、L ²、S ²、およびJ _zはすべて互いに、また Δ Hと可換であることが示されます。したがって、私たちが求めていた基底は、これら 5 つの演算子の同時固有基底（つまり、5 つすべてが対角化されている基底）です。この基底の要素は、次の 5 つの量子数を持ちます。${\displaystyle n}$（「主量子数」）${\displaystyle j}$（「全角運動量量子数」）${\displaystyle \ell }$（「軌道角運動量量子数」）${\displaystyle s}$（「スピン量子数」）および${\displaystyle j_{z}}$（「全角運動量のz成分」）

エネルギーを評価するために、以下に注目します。 $${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}\;\ell (\ell +1)(2\ell +1)}}}$$ 水素様波動関数の場合（ここでは${\displaystyle a=\hbar /(Z\alpha m_{\text{e}}c)}$はボーア半径を原子核電荷Zで割った値です。 $${\displaystyle \left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle {\big )}={\frac {\hbar ^{2}}{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )}.}$$

私たちは今、こう言える $${\displaystyle \Delta E={\frac {\beta }{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )},}$$ ここで、スピン軌道結合定数は $${\displaystyle \beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{\frac {1}{n^{3}a_{0}^{3}\;\ell (\ell +1/2)(\ell +1)}}.}$$

厳密な相対論的結果については、水素様原子に対するディラック方程式の解を参照してください。

上記の導出では、電子の（瞬間的な）静止系における相互作用エネルギーを計算しており、この基準系には原子核の静止系には存在しない磁場が存在する。

別の方法としては、原子核の静止系で計算する方法がある。例えば、George P. Fisher著「Electric Dipole Moment of a Moving Magnetic Dipole (1971)」を参照のこと。^{[ 5 ]}しかし、隠れた運動量を考慮する必要があるため、静止系での計算は避けられる場合がある。^{[ 6 ]}

バルク（3D）閃亜鉛鉱型半導体の正孔バンドは、${\displaystyle \Delta _{0}}$重い穴と軽い穴に（${\displaystyle \Gamma _{8}}$4つ子${\displaystyle \Gamma }$-ブリルアンゾーンの点）とスプリットオフバンド（${\displaystyle \Gamma _{7}}$二重線）。2つの伝導帯を含む（${\displaystyle \Gamma _{6}}$二重線${\displaystyle \Gamma }$-点)、システムはKohnとLuttingerの有効8バンドモデルで記述されます。価電子帯の頂上のみが関心事である場合（たとえば、${\displaystyle E_{\text{F}}\ll \Delta _{0}}$（価電子帯の頂上から測定したフェルミ準位）適切な4バンド有効モデルは $${\displaystyle H_{\text{KL}}(k_{\text{x}},k_{\text{y}},k_{\text{z}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left(\gamma _{1}+{{\tfrac {5}{2}}\gamma _{2}}\right)k^{2}-2\gamma _{2}\left(J_{\text{x}}^{2}k_{\text{x}}^{2}+J_{\text{y}}^{2}k_{\text{y}}^{2}+J_{\text{z}}^{2}k_{\text{z}}^{2}\right)-2\gamma _{3}\sum _{m\neq n}J_{m}J_{n}k_{m}k_{n}\right]}$$ どこ${\displaystyle \gamma _{1,2,3}}$はルッティンガーパラメータ（電子の1バンドモデルの単一の有効質量に類似）であり、${\displaystyle J_{{\text{x}},{\text{y}},{\text{z}}}}$角運動量 3/2 行列 (${\displaystyle m}$は自由電子の質量です。磁化と組み合わせると、このタイプのスピン軌道相互作用は磁化の方向に応じて電子バンドを歪ませ、磁気結晶異方性（特殊なタイプの磁気異方性）を引き起こします。さらに半導体が反転対称性を欠いている場合、正孔バンドは立方ドレッセルハウス分裂を示します。4つのバンド（軽い正孔と重い正孔）の中で、支配的な項は $${\displaystyle H_{{\text{D}}3}=b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}[(k_{\text{x}}k_{\text{y}}^{2}-k_{\text{x}}k_{\text{z}}^{2})J_{\text{x}}+(k_{\text{y}}k_{\text{z}}^{2}-k_{\text{y}}k_{\text{x}}^{2})J_{\text{y}}+(k_{\text{z}}k_{\text{x}}^{2}-k_{\text{z}}k_{\text{y}}^{2})J_{\text{z}}]}$$

ここで材料パラメータ${\displaystyle b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}}$GaAsの場合（ウィンクラーの著書の72ページを参照 。より最近のデータによると、GaAsのドレッセルハウス定数は9 eVÅ ³である。^{[ 15 ]}全ハミルトニアンは次のようになる。${\displaystyle H_{\text{KL}}+H_{{\text{D}}3}}$非対称量子井戸（またはヘテロ構造）内の二次元電子ガスはラシュバ相互作用を受ける。適切な2バンド有効ハミルトニアンは $${\displaystyle H_{0}+H_{\text{R}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\sigma _{0}+\alpha (k_{\text{y}}\sigma _{\text{x}}-k_{\text{x}}\sigma _{\text{y}})}$$ どこ${\displaystyle \sigma _{0}}$は 2 × 2 の単位行列です。${\displaystyle \sigma _{{\text{x}},{\text{y}}}}$パウリ行列と${\displaystyle m^{*}}$電子の有効質量。ハミルトニアンのスピン軌道部分、${\displaystyle H_{\text{R}}}$パラメータ化される${\displaystyle \alpha }$これは、構造の非対称性に関連するもので、ラシュバパラメータと呼ばれることもあります（その定義は多少異なります）。

スピン軌道相互作用の結合スピン行列を表す上記の式${\displaystyle \mathbf {J} }$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$準運動量へ${\displaystyle \mathbf {k} }$、そしてベクトルポテンシャルへ${\displaystyle \mathbf {A} }$パイエルス置換による交流電場${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$これらは、ルッティンガー・コーンのk・p摂動理論のべき乗における低次の項である。${\displaystyle k}$この展開の次の項も、電子座標のスピン演算子を結合する項を生成する。${\displaystyle \mathbf {r} }$実際には、クロス積${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$時間反転に対して不変である。立方晶では、ベクトルの対称性を持ち、スピン軌道相互作用の意味を持つようになる。${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{SO}}}$座標演算子へ。狭いバンドギャップを持つ半導体中の電子の場合${\displaystyle E_{\rm {G}}}$伝導帯と重い正孔帯の間で、Yafet は方程式を導出した^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\text{SO}}={\frac {\hbar ^{2}g}{4m_{0}}}\left({\frac {1}{E_{\rm {G}}}}+{\frac {1}{E_{\rm {G}}+\Delta _{0}}}\right)({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$$ どこ${\displaystyle m_{0}}$は自由電子の質量であり、${\displaystyle g}$は${\displaystyle g}$スピン軌道相互作用に対して適切に再規格化された因子。この演算子は電子スピンを結合する。${\displaystyle \mathbf {S} ={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$電場に直接${\displaystyle \mathbf {E} }$相互作用エネルギーを通じて${\displaystyle -e(\mathbf {r} _{\text{SO}}\cdot \mathbf {E} )}$。

電気双極子スピン共鳴（EDSR）は、電子スピンと振動電場との結合です。ゼーマン効果によって与えられたエネルギーを持つ電磁波で電子を励起できる電子スピン共鳴（ESR）と同様に、EDSRでは、周波数が固体中のスピン軌道結合によって与えられるエネルギーバンド分裂に関係している場合に共鳴が実現されます。ESRでは、電磁波の磁気部分と電子の磁気モーメントとの結合によって結合が得られますが、ESDRでは、電気部分と電子のスピンおよび運動との結合です。このメカニズムは、量子ドットやその他のメゾスコピックシステムにおける電子のスピンを制御するために提案されています。^{[ 18 ]}