アレクサンダー多項式

数学において、アレクサンダー多項式は結び目不変量であり、各結び目の種類に整数係数の 多項式を割り当てる。ジェームズ・ワデル・アレクサンダー2世は1923年にこの最初の結び目多項式を発見した。1969年にジョン・コンウェイは、現在アレクサンダー–コンウェイ多項式と呼ばれるこの多項式のバージョンがかせ関係を使用して計算できることを示したが、その重要性は1984年にジョーンズ多項式が発見されるまで認識されていなかった。コンウェイがアレクサンダー多項式を作り直して間もなく、同様のかせ関係がアレクサンダーの多項式に関する論文に示されていることがわかった。^[a]

K を3 次元球面の結び目とします。XをKの結び目の補集合の無限巡回被覆とします。この被覆は、結び目の補集合をKのザイフェルト面に沿って切断し、境界を持つ結果として得られる多様体の無限個のコピーを巡回的に貼り合わせることで得られます。Xに作用する被覆変換tがあります。Xの最初のホモロジー (整数係数を持つ) を考えます( と表記) 。変換t はホモロジーに作用するため、ローラン多項式環上のモジュールを考えることができます。これは、アレクサンダー不変量またはアレクサンダー モジュールと呼ばれます。 ${\displaystyle H_{1}(X)}$${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$

モジュールは有限に表示可能です。このモジュールの表示行列は、アレクサンダー行列と呼ばれます。生成元の数 が関係の数 より少ないか等しい場合、行列のすべての小行列式によって生成されるイデアルを考慮します。これは、ゼロ番目のフィッティング イデアルまたはアレクサンダー イデアルであり、表示行列の選択には依存しません。 の場合、イデアルを 0 に設定します。アレクサンダー イデアルが主である場合、生成元 を取ります。これは結び目のアレクサンダー多項式と呼ばれます。これはローラン単項式 による乗算を除いてのみ一意であるため、特定の一意の形式を固定することがよくあります。アレクサンダーが選択した正規化は、多項式に正の定数項を持たせることです。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle r\times r}$${\displaystyle r>s}$${\displaystyle \pm t^{n}}$

アレクサンダーは、アレクサンダー イデアルが非ゼロであり、常に主であることを証明しました。したがって、アレクサンダー多項式は常に存在し、明らかに結び目不変量であり、 と表されます。結び目のアレクサンダー多項式は、鏡像の結び目の多項式と同じであることがわかります。言い換えると、結び目とその鏡像を区別することはできません。 ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$

アレクサンダー多項式を計算するための以下の手順は、JWアレクサンダーの論文^{[2]で示されています。}

交差のある結び目の有向図をとれば、結び目図の領域が存在します。アレクサンダー多項式を解くには、まずサイズ の接続行列を作成する必要があります。行は交差に対応し、列は領域に対応します。行列のエントリの値は または です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n+2}$${\displaystyle (n,n+2)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+2}$${\displaystyle 0,1,-1,t,-t}$

特定の領域と交差点に対応するエントリを検討します。領域が交差点に隣接していない場合、エントリは 0 です。領域が交差点に隣接している場合、エントリはその場所によって異なります。次の表は、入ってくるアンダークロッシングラインの観点から交差点の領域の場所によって決定されるエントリを示しています。

アンダークロス前の左側：${\displaystyle -t}$

アンダークロス前の右側：${\displaystyle 1}$

アンダークロス後の左側：${\displaystyle t}$

アンダークロス後の右側：${\displaystyle -1}$

行列から隣接する領域に対応する 2 つの列を削除し、新しい行列の行列式を計算します。削除された列に応じて、 を乗算することで答えが異なります。ここで、 の累乗は、結び目の交差数と必ずしも一致しません。このあいまいさを解決するには、 の可能な限り最大の累乗で割り、必要に応じて を乗算して、定数項が正になるようにします。これでアレクサンダー多項式が得られます。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \pm t^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$${\displaystyle -1}$

アレクサンダー多項式はザイフェルト行列から計算することもできます。

JWアレクサンダーの研究の後、ラルフ・フォックスは結び目群の共表現を検討し、 を計算することもできる非可換微分積分を導入した。^{[3] [b]}${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\backslash K)}$${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$

アレクサンダー多項式は対称です:すべての結び目 K に対して。 ${\displaystyle \Delta _{K}(t^{-1})=\Delta _{K}(t)}$

定義の観点から、これはポアンカレ双対同型 の表現であり、はの分数体の商で、 - 加群として考えられ、 はの共役- 加群です。つまり、アーベル群としては と同一ですが、被覆変換はによって作用します。${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$${\displaystyle H_{1}X}$${\displaystyle H_{1}X}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t^{-1}}$

さらに、アレクサンダー多項式は 1 上で単位になります: 。 ${\displaystyle \Delta _{K}(1)=\午後 1}$

定義の観点から見ると、これは結び目の補集合が被覆変換 によって生成されるホモロジー円であるという事実の表現です。より一般的には、 が3 次元多様体であり、その無限巡回被覆空間の位数イデアルとして定義されたアレクサンダー多項式を持つ場合です。この場合、 は、符号を除けば、 の捩れ部分群の位数に等しくなります。${\displaystyle t}$${\displaystyle M}$${\displaystyle ランク(H_{1}M)=1}$${\displaystyle \Delta _{M}(t)}$${\displaystyle \Delta _{M}(1)}$${\displaystyle H_{1}M}$

対称であり、かつ1で単位となる積分ローラン多項式はすべて結び目のアレクサンダー多項式である。^[4]

アレクサンダーイデアルは主イデアルであるため、結び目群の交換子部分群が完全である場合（つまり、それ自身の交換子部分群に等しい場合）に限ります。 ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=1}$

位相的にスライスされた結び目の場合、アレクサンダー多項式は、他の積分ローラン多項式 であるフォックス・ミルナー条件を満たします。${\displaystyle \Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{-1})}$${\displaystyle f(t)}$

結び目の種数の2 倍は、アレクサンダー多項式の次数によって下に制限されます。

マイケル・フリードマンは、結び目のアレクサンダー多項式が自明であれば、 3次元球面上の結び目は位相的にスライスされる、つまり4次元球面上の「局所的に平坦な」位相ディスクを囲むことを証明した。^[5]

カウフマンは物理モデルから導かれた状態和を介してアレクサンダー多項式の最初の構成を説明した。このトピックと物理学とのその他の関係の概要は^{[6] [7]に示されている。}

表面と滑らかな 4 次元位相には、他の関係もあります。たとえば、特定の仮定の下では、2 次元トーラスの近傍を削除し、それをS ^{1と交差する結び目の補完で置き換えるという}手術を行うことで、滑らかな4 次元多様体を修正する方法があります。結果は、元のものと同相な滑らかな 4 次元多様体ですが、ザイバーグ-ウィッテン不変量は結び目のアレクサンダー多項式との乗算によって修正されています。^[8]

対称性を持つ結び目は制限されたアレクサンダー多項式を持つことが知られています。^[9]それにもかかわらず、アレクサンダー多項式は強い可逆性などのいくつかの対称性を検出できない場合があります。

結び目補集合が円周上のファイバーである場合、結び目のアレクサンダー多項式はモニックであることが知られています（最高次項と最低次項の係数が に等しい）。実際、 がファイバー束で、 が結び目補集合である場合、モノドロミーを表すと、はホモロジー上の誘導写像です。 ${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle S\to C_{K}\to S^{1}}$${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle g:S\to S}$${\displaystyle \Delta _{K}(t)={\rm {Det}}(tI-g_{*})}$${\displaystyle g_{*}\colon H_{1}S\to H_{1}S}$

結び目がパターン結び目を持つ衛星結び目である場合（となる埋め込みが存在し、ここで はを含む結び目のない立体トーラスである）、 であり、ここで はにおけるを表す整数です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle f:S^{1}\times D^{2}\to S^{3}}$${\displaystyle K=f(K')}$${\displaystyle S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\Delta _{f(S^{1}\times \{0\})}(t^{a})\Delta _{K'}(t)}$${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle K'\subset S^{1}\times D^{2}}$${\displaystyle H_{1}(S^{1}\times D^{2})=\mathbb {Z} }$

例: 接続和 の場合。がねじれのないホワイトヘッド倍精度数の場合、 となります。 ${\displaystyle \Delta _{K_{1}\#K_{2}}(t)=\Delta _{K_{1}}(t)\Delta _{K_{2}}(t)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\pm 1}$

アレクサンダーは、アレクサンダー多項式がかせの関係を満たすことを証明しました。 ジョン・コンウェイは後にこれを別の形で再発見し、かせの関係と結び目のない値の選択を組み合わせれば多項式を決定できることを示しました。コンウェイのバージョンは整数係数のzの多項式であり、アレクサンダー–コンウェイ多項式(コンウェイ多項式またはコンウェイ–アレクサンダー多項式とも呼ばれる) と表記され、呼ばれています。${\displaystyle \nabla (z)}$

図に示すように、ダイアグラムの指定された交差点のローカル領域での交差とスムージングの変更から生じるリンク ダイアグラムである有向リンク ダイアグラムが与えられているとします。${\displaystyle L_{+}、L_{-}、L_{0}}$

以下はコンウェイのかせ関係です。

• ${\displaystyle \nabla (O)=1}$（Oはアンクットの任意の図）
• ${\displaystyle \nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})}$

標準のアレクサンダー多項式との関係は で与えられます。ここで はを適切に正規化（ を乗じて）して、かせ関係 を満たす必要があります。この関係により、 t ^1/2のローラン多項式が得られることに注意してください。 ${\displaystyle \Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(t-t^{-1})}$${\displaystyle \Delta _{L}}$${\displaystyle \pm t^{n/2}}$${\displaystyle \Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (L_{0})}$

三つ葉のコンウェイ多項式を計算する例については、 結び目理論を参照してください。

^{Ozsváth-Szabó [10]}と Rasmussen ^[11]は擬似正則曲線を使用して、結び目フロアーホモロジーと呼ばれる二階数アーベル群を結び目の各同位体類に関連付けました。結び目フロアーホモロジーの階数付きオイラー特性は、アレクサンダー多項式です。アレクサンダー多項式は結び目の種数の下限を与えますが、^{[12] は}結び目フロアーホモロジーが種数を検出することを示しまし た。同様に、アレクサンダー多項式は結び目の補集合が円上でファイバー化することを妨げますが、^{[13] は}結び目フロアーホモロジーが結び目の補集合が円上でファイバー化することを完全に決定することを示しました。結び目フロアーホモロジー群は、不変量の Heegaard フロアーホモロジー族の一部です。詳細については フロアーホモロジーを参照してください。

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