スロープ

数学において、直線の傾きまたは勾配は、平面上の直線の方向を表す数値である。^{[ 1 ]}

一般的には文字mで表され、直線上の任意の2点間の垂直方向の変化（上昇）と水平方向の変化（水平移動）の比として定義されます。これは直接的な距離や角度ではなく、それらの比率を表す尺度です。

線は、道路測量士によって設定された物理的な線、道路や屋根の図のような図解的な線、あるいは純粋数学における抽象的な線など、様々な形で表される。この数学的概念の応用例としては、地理学や土木工学における勾配や傾斜などが挙げられる。

線の傾斜、勾配、または傾斜度は、その傾きの絶対値です。絶対値が大きいほど、線は急勾配であることを示します。線の傾向は次のように定義されます。

• 「増加」または「上昇」する線は、左から右に向かって上昇し、正の傾きを持ちます。${\displaystyle m>0}$。
• 「減少」または「下降」する線は、左から右に向かって下がり、負の傾きを持ちます。${\displaystyle m<0}$。

特別な指示事項は以下のとおりです。

• （正方形の）対角線は単位傾きを持つ。${\displaystyle m=1}$
• 「水平線」（定数関数のグラフ）は傾きがゼロです。${\displaystyle m=0}$。
• 「垂直」線は、定義されていない、または無限の傾きを持つ（下記参照）。

道路上の2点の標高がy ₁とy ₂の場合、上昇量は差( y ₂ − y ₁ ) = Δ yです。地球の曲率を無視すると、2点が固定点から水平距離x ₁とx _{2にある場合、水平移動量は(} x ₂ − x ₁ ) = Δ xです。2点間の傾斜は、差の比率です。

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

三角法によれば、直線の傾きmは、その傾斜角θと正接関数によって関係付けられる。

${\displaystyle m=\tan(\theta ).}$

したがって、45°上昇する直線の傾きはm = +1であり、45°下降する直線の傾きはm = −1である。

これを一般化すると、微分積分学では、平面曲線のある点における傾きを、その点における接線の傾きとして定義します。曲線が一連の点で近似される場合、曲線の傾きは、近接する2点間の割線の傾きで近似できます。曲線が代数式のグラフとして与えられる場合、微分積分学は各点における傾きの公式を与えます。このように、傾きは微分積分学とその設計への応用における中心的な概念の一つです。

傾きを表すのに文字mが使われる理由については明確な答えはないようですが、英語では最初にO'Brien (1844) ^{[ 2 ]}が直線の式を" y = mx + b "と導入した際に登場し、 Todhunter (1888) ^{[ 3 ]}も" y = mx + c "と書いています^{[ 4 ] 。}

x軸とy軸を含む平面上の直線の傾きは、一般に文字mで表され^{[ 5 ]}、直線上の2つの異なる点間のy座標の変化を対応するx座標の変化で割ったものとして定義されます。これは次の式で表されます。

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{垂直方向の変化}}}{{\text{水平方向の変化}}}}={\frac {\text{上昇}}{\text{水平方向の変化}}}.}$

（ギリシャ文字のデルタ（Δ）は、数学において「差」または「変化」を意味するためによく用いられる。）

2つの点が与えられた場合${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$そして${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$変化${\displaystyle x}$一方から他方へは${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$（実行）一方、${\displaystyle y}$は$\displaystyle y_{2}-y_{1}}$（上昇）。両方の量を上記の式に代入すると、次の式が得られます。

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

この公式は、垂直線、つまり${\displaystyle y}$軸（ゼロ除算を参照）では、傾きは無限大とみなせるため、垂直線の傾きは定義されないとみなされます。

統計学において、与えられたデータサンプルに対する最小二乗回帰の最適近似直線の傾きは、次のように表される。

${\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}$、

この量mは、直線の回帰傾きと呼ばれます。${\displaystyle y=mx+c}$数量${\displaystyle r}$ピアソンの相関係数、$s_y$はy 値の標準偏差であり、$\displaystyle s_{x}}$はx 値の標準偏差です。これは共分散の比として書くこともできます。^{[ 6 ]}

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}}$

傾きの概念は微分積分学において中心的な役割を果たします。非線形関数では、変化率は曲線に沿って変化します。ある点における関数の導関数は、その点における曲線の接線の傾きであり、したがってその点における関数の変化率に等しくなります。

曲線上の 2 点間の距離 (それぞれx軸とy軸に沿った距離) をΔ xと Δ yとすると、上記の定義で与えられる傾きは、

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$、

は、曲線に対する割線の傾きです。直線の場合、任意の2点間の割線は直線そのものになりますが、他の種類の曲線ではそうではありません。

例えば、y = x²^{と点 (0,0) および (3,9) で交わる割線の傾きは 3 です}。 （ x = 3/2における接線の傾きも 3 です。 これは平均値の定理の結果です。） 

2 つの点を近づけて Δ yと Δ xを小さくすると、割線は曲線の接線により近似し、その結果、割線の傾きは接線の傾きに近づきます。微分法を使用すると、Δ yとΔ xがゼロに近づくときのΔ y /Δ xの極限、つまり値を求めることができます。この極限は接線の正確な傾きになります。yがxに依存する場合は、Δ xだけがゼロに近づく極限を取るだけで十分です。したがって、接線の傾きは、 Δ x がゼロに近づくときの Δ y /Δ xの極限、つまり dy / d xです。この極限を導関数と呼びます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

関数の特定の点における導関数の値は、その正確な位置における接線の傾きを示します。たとえば、y = x ²とします。この関数上の点は (−2,4) です。この関数の導関数はdy ⁄ d x = 2 xです。したがって、 (−2,4) におけるyの接線の傾きは2 ⋅ (−2) = −4です。この接線の方程式は、y − 4 = (−4)( x − (−2))またはy = −4 x − 4です。

角度の概念の拡張は、傾斜の差から導かれる。せん断マッピングを考えてみよう。

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}$

それから${\displaystyle (1,0)}$マッピング先${\displaystyle (1,v)}$傾斜${\displaystyle (1,0)}$はゼロで、${\displaystyle (1,v)}$は${\displaystyle v}$せん断マッピングにより、${\displaystyle v}$2つのポイントについては${\displaystyle \{(1,y):y\in \mathbb {R} \}}$傾斜のある${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$、画像

${\displaystyle (1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}$

傾斜が増加しました${\displaystyle v}$しかし、違いは${\displaystyle nm}$傾斜の不変性はせん断前とせん断後で同じである。この傾斜差の不変性により、傾斜は、円角（回転に対して不変）や双曲線角と同等の角度不変量となり、スクイーズ写像の不変群を持つ。^{[ 7 ] [ 8 ]}

屋根の傾斜は、伝統的に、そして一般的には屋根勾配と呼ばれ、米国では大工仕事や建築において、1フィートの整数分数（幾何学的接線、上昇/水平距離）で表されるのが一般的です。これは英国帝国単位系の名残です。他の地域では、同様の慣習に従って別の単位が使用されています。詳細は「屋根勾配」を参照してください。

道路や鉄道の勾配を表すには、大きく分けて2つの方法があります。1つは0°から90°までの角度（度）で表す方法、もう1つは勾配率（パーセント）で表す方法です。急勾配鉄道やラック式鉄道も参照してください。

パーセントで表された傾斜を度数に変換する式、およびその逆の変換式は次のとおりです。

$\displaystyle {\text{角度}}=\arctan \left({\frac {\text{傾斜}}{100\%}}\right)}$（これは正接の逆関数です。三角法を参照してください。）

そして

${\displaystyle {\mbox{傾き}}=100\%\times \tan({\mbox{角度}}),}$

ここで、角度は度数で表され、三角関数も度数で計算されます。例えば、100 %または1000 ‰の傾斜は45°の角度に相当します。

3つ目の方法は、1単位の上昇を、例えば水平単位10、20、50、100で表すことです。例えば、1:10、1:20、1:50、1:100（または「 10分の1 」、「 20分の1 」など）です。1:10は1:20よりも急勾配です。例えば、20%の勾配は1:5、つまり11.3°の傾斜を意味します。

道路や鉄道には、縦断勾配と横断勾配の両方がある。

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  オランダの斜面注意標識
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  ポーランドの斜面注意標識
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  全長1371メートル、勾配20 ‰の鉄道。チェコ共和国
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  イギリス、ミールズ駅にある蒸気機関車時代の鉄道勾配標識。両方向への勾配を示している。

傾斜または勾配の概念は、数学における他の応用を開発するための基礎としても使用されます。

• 勾配降下法は、関数の最小値を求めるための一次反復最適化アルゴリズムである。
• 勾配定理とは、勾配場を通る線積分は、曲線の両端で元のスカラー場を評価することによって計算できるという定理である。
• 勾配法とは、現在の点における関数の勾配によって探索方向が定義される問題を解くためのアルゴリズムである。
• 共役勾配法とは、特定の線形方程式系を数値的に解くためのアルゴリズムである。
• 非線形共役勾配法は、共役勾配法を非線形最適化に一般化したものである。
• 確率的勾配降下法は、微分可能な目的関数を最適化するための反復法である。

• 「直線の傾き（座標幾何学）」。Math Open Reference。2009年。 2016年10月30日取得。相互の作用