六十進法

60進法（60進法とも呼ばれる^）[1]は、60を底とする記数法である。紀元前3千年紀の古代シュメール人が考案し、古代バビロニア人に受け継がれ、現在でも形を変えて時間、角度、地理座標の測定に使用されている。

60 という数字は優れた合成数で、1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60 の12 個の約数があり、そのうち 2、3、5 は素数です。因数が非常に多いため、 60 進数の分数の多くは簡略化されます。たとえば、1 時間は、30 分、20 分、15 分、12 分、10 分、6 分、5 分、4 分、3 分、2 分、1 分の区間に均等に分割できます。60 は、1 から 6 までのすべての数で割り切れる最小の数です。つまり、1、2、3、4、5、6 の 最小公倍数です。

この記事では、特に明記しない限り、60進法の数字はすべて10進数で表されます。たとえば、60進法の最大の数字は「59」です。

オットー・ノイゲバウアーによると、60進法の起源は、しばしば描かれているほど単純でも、一貫性も、時間的にも唯一のものでもない。60進法は、時間、角度、天文座標系などの専門的なトピックで今日まで使用されている何世紀にもわたる使用を通じて、60進法の数字の書き方など、常に10進法の強い流れを内包してきた。また、その使用には、単一のテキスト内であっても、さまざまな基数が数字をどこでどのように表すかという不一致が常に含まれてきた（そして含まれ続けている）。^[2]

60進法を厳格かつ完全に自己矛盾なく使用するための最も強力な原動力は、分数の表記と計算における数学的な利点である。古代のテキストでは、60進法がデータの数学的な表で最も均一かつ一貫して使用されているという事実にこれが表れている。^[2]数学的な表ほど一貫性はなくても、過去に60進法の使用を拡大するのに役立ったもう1つの実際的な要因は、大量の商品の交渉や分割を含む日常の金融取引を容易にする、商人や買い手にとっての決定的な利点であった。紀元前3千年紀後半、シュメール/アッカド語の重量の単位には、カカル（タレント、約30kg）が60マヌー（ミナ）に分割され、これがさらに60シクル（シェケル）に細分化されていた。これらの単位の子孫は数千年にわたって存続したが、後にギリシャ人はこの関係を、1シェケルが1ミナの50分の1という、より10進法と互換性のある比率に強制した。

数学の表を別にすれば、ほとんどのテキストにおける数字の表し方の不一致は、数値を表すのに使われる最も基本的な楔形文字にまで及んでいた。[ 2 ^]たとえば、1 を表す楔形文字は、粘土に尖筆の丸い端を斜めに当てて作った楕円形だったが、60 を表す 60 進法の記号は、より大きな楕円形、つまり「大きな 1」だった。しかし、これらの記号が使われている同じテキストの中で、数字の 10 は、尖筆の丸い端を粘土に垂直に当てて作った円で表され、100 を表すのには、より大きな円、つまり「大きな 10」が使われていた。このような多元数の数値記号は、単一の数字の中でも、互いに混在したり、略語と混在したりすることがあった。詳細や、暗示される大きささえも (ゼロが一貫して使われていなかったため)、特定の時代、文化、表されている数量や概念に慣用的に使われていた。このような文脈依存の数値表現は、後から振り返ってみると批判されやすいが、現代でも、60進法の天文座標に小数点を加えるという最近の革新を含め、トピック依存の基数混合の例が数多く日常的に使用されている。^[2]

古代メソポタミアで使われていた60進法は、数字に60の異なる記号を使用していなかったという意味で、純粋な60進法ではありませんでした。代わりに、楔形文字の数字は、符号値表記法のように10をサブベースとして使用しました。60進法の数字は、最大9の単位を表す狭いくさび形のマークのグループで構成されていました（、、、、…、）と、最大5つの10を表す幅広のくさび形のマークのグループ（、、、、）。数字の値は、その構成要素の値の合計でした。

59より大きい数字は、位取り記法でこの形式の複数の記号ブロックで示されました。ゼロを表す記号がなかったため、数字の解釈方法がすぐにはわからない場合があり、その真の値は文脈によって決まる場合もありました。たとえば、1と60の記号は同じです。^{[3] [4]}後のバビロニアのテキストでは、プレースホルダー（）はゼロを表すために使われるが、数値の中央の位置でのみ使用され、数値の右側では使用されない。13 200 . ^[4]

中国の暦では、日や年を 10 の干支と 12 の枝の順序で位置付けて命名するシステムが一般的に使用されています。このサイクルでは、同じ干支と枝が 60 ステップごとに繰り返されます。

プラトンの国家の第8巻には、60という数字を中心とした結婚の寓話が含まれています⁴ =12 960 000とその約数。この数は、1,0,0,0,0という非常に単純な60進数で表されます。後の学者たちは、この一節を説明するためにバビロニアの数学と音楽理論の両方を持ち出しました。^[5]

紀元後2世紀に書かれた数理天文学の論文であるプトレマイオスの『アルマゲスト』では、数の小数部を表すのに60進法が使われている。特に、彼の弦表は、実質的に1000年以上にわたって唯一の詳細な三角関数表であり、度の小数部が60進法で表されており、実質的に現代の正弦関数の値の表と同等であった。

中世の天文学者も時間を記すのに60進法を使っていた。アル・ビルニーは1000年にユダヤ暦の月について論じていたときに、 60進法で時間を分、秒、三分の一、四分の一に初めて細分化した。 ^[6] 1235年頃、サクロボスコのヨハネスがこの伝統を引き継いだが、ノサフトはサクロボスコが初めてそうしたと考えていた。^[7]パリ版アルフォンソ表（1320年頃）では、日を時間の基本単位とし、1日の倍数と分数を60進法で記録した。^[8]

六十進法は1671年までヨーロッパの天文学者によって計算に頻繁に使用されていました。^[9]たとえば、ヨスト・ビュルギは『 Fundamentum Astronomiae』 （1592年にルドルフ2世に献上）で、同僚のウルサスは『Fundamentum Astronomicum』で、そしておそらくヘンリー・ブリッグスも、16世紀後半に六十進法に基づく掛け算表を使用して正弦を計算していました。^[10]

18世紀後半から19世紀初頭にかけて、タミルの天文学者は、ヘレニズム時代の天文学者によって開発された10進法と60進法の混合表記法を使用して貝殻を計算し、天文学的な計算を行っていたことが判明しました。^[11]

60進法はシュメール人とは関係のない他の文化でも使用されており、例えば西ニューギニアのエカリ族などがその例である。^{[12] [13]}

60進法の現代的な用途としては、角度、地理座標、電子航法、時間の測定などがある。^[14]

1時間は 60分に分割され、1 分は 60 秒に分割されます。したがって、3:23:17 (3 時間 23 分 17 秒)などの時間の測定は、60 進数の整数 (60 進小数点なし) として解釈でき、3 × 60 ² + 23 × 60 ¹ + 17 × 60 ⁰秒を意味します。ただし、この数字の 3 つの 60 進数の数字 (3、23、17) はそれぞれ10 進法を使用して表記されます。

同様に、角度の測定の実際的な単位は度で、円周には360 (60 が 6 つ)あります。1度には60分角、 1 分には 60秒角があります。

YAMLデータストレージフォーマットのバージョン1.1 ^[15]では、60進数はプレーンスカラーでサポートされており、整数^[16]と浮動小数点数^{[17]の両方で正式に指定されています。これにより、たとえば一部の}MACアドレスは60進数として認識され整数としてロードされますが、他のMACアドレスは60進数として認識されず文字列としてロードされるなど、混乱が生じています。YAML 1.2では、60進数のサポートは廃止されました。^[18]

プトレマイオスの著作などのヘレニズム時代のギリシャの天文学文献では、60進数はギリシャのアルファベット数字で書かれ、60進数のそれぞれの桁は独立した数字として扱われていた。ヘレニズム時代の天文学者はゼロを表す新しい記号を採用した。—°これは何世紀にもわたって他の形に変化し、その中にはギリシャ文字のオミクロン（ο）も含まれます。これは通常70を意味しますが、どの位置でも最大値が59である60進法では許容されます。 ^{[19] [20]}ギリシャ人は60進数を数の小数部分のみに使用することを制限していました。^[21]

中世のラテン語のテキストでは、60進数はアラビア数字を使用して書かれ、分数のさまざまなレベルはminuta (すなわち fraction)、minuta secunda、minuta tertiaなどで示されました。17 世紀までには、60 進数の整数部分を上付きのゼロで示し、さまざまな分数部分を 1 つ以上のアクセント記号で示すことが一般的になりました。ジョン・ウォリスは、著書Mathesis universalisで、この表記法を 60 のより大きな倍数にまで一般化しました。例として49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗ を挙げています。ここで、左側の数字は60の累乗で乗じられ、右側の数字は60の累乗で割られ、上付きのゼロでマークされた数字は1で乗じられます。 ^[22]この表記法は、度、分、秒の現代の記号につながります。同じ分と秒の命名法は時間の単位でも使用されており、時、分、秒を10進数で書き、コロンで区切る現代の時間表記法は、60進表記法の一種と解釈できます。

いくつかの使用法では、60進法の小数点の後のそれぞれの位置に、ラテン語またはフランス語の語源を使用して番号が付けられていました。primeまたはprimus 、 secondeまたはsecundus 、 tierce 、 quatre 、 quinteなどです。今日でも、時間または度の2番目の部分を「秒」と呼んでいます。少なくとも18世紀までは、1/60⁠ 2番目のものは「ティアス」または「サード」と呼ばれていました。^{[23] [24]}

1930年代にオットー・ノイゲバウアーは、バビロニアとヘレニズム時代の数字に、各桁に0から59までの現代の10進表記法を代用し、数値の整数部と小数部をセミコロン（;）で区切り、各桁内の桁をコンマ（,）で区切るという現代的な表記法を導入した。^[25]たとえば、バビロニアとヘレニズム時代の天文学者によって使用され、現在もヘブライ暦で使用されている平均朔望月は29;31,50,8,20日である。この記事ではこの表記法を使用している。

60進法では、分母が規則的な数（素因数分解すると2、3、5のみになる）である分数は正確に表すことができます。^[26]ここでは、分母が60以下のこのタイプの分数をすべて示します。

ただし、規則的でない数はより複雑な循環分数を形成します。例:

1 ⁄ 7 = 0; 8,34,17 (バーは60進数の数字8,34,17が無限に繰り返されることを示しています)

1 ⁄ 11 = 0; 5,27,16,21,49

1 ⁄ 13 = 0; 4,36,55,23

1 ⁄ 14 = 0;4, 17,8,34

1 ⁄ 17 = 0; 3,31,45,52,56,28,14,7

1 ⁄ 19 = 0; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

1 ⁄ 59 = 0; 1

1 ⁄ 61 = 0; 0,59

60 に隣接する 2 つの数字 59 と 61 が両方とも素数であるという事実は、1 桁または 2 桁の 60 進数の周期で繰り返される分数は、分母として 59 または 61 の規則的な数の倍数のみを持つことができ、その他の非規則的な数はより長い周期で繰り返される分数を持つことを意味します。

あらゆる位取り記数法（10 進数や 60 進数を含む）における無理数の表現は、終了することも繰り返されることもありません。

2の平方根、つまり単位正方形の対角線の長さは、古バビロニア時代（紀元前1900年～紀元前1650年）のバビロニア人によって次のように 近似されました。

${\displaystyle 1;24,51,10=1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}\approx 1.41421296\ldots }$^[27]

√2≈なので​ ​ 1.414 213 56 ...は無理数なので、60進数（あるいは整数ベースのシステム）で正確に表現することはできませんが、60進数展開は1;24,51,10,7,46,6,4,44...から始まります（OEIS：A070197）。

ギリシャの数学者で科学者のプトレマイオスが使用したπの値は3;8,30 = 3 + ⁠8/60⁠ + ⁠30/60 ²⁠ = ⁠377/120⁠ ≈3.141 666 .... ^[28] 15世紀のペルシャの数学者ジャムシード・アル＝カーシーは、 2πを60進法で計算し、9桁に丸めた場合の正しい値（つまり、1/60 ⁹⁠ ); 2 πの値は6;16,59,28,1,34,51,46,14,50 でした。^{[29] [30]上記の}√ 2と同様に、2 π は無理数であり、60進数で正確に表現することはできません。その60進展開は 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35... から始まります ( OEIS : A091649 )

• クロック
• 緯度
• 三角法

• イフラ、ジョルジュ（1999）、数字の世界史：先史時代からコンピュータの発明まで、ワイリー、ISBN 0-471-37568-3。
• ニッセン、ハンス J.; ダメロウ、P.; エングルンド、R. (1993)、Archaic Bookkeeping、シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-58659-6

• 「度と分の計算に関する事実」は、シブト・アル・マリディーニー、バドル・アル・ディーン・ムハンマド・イブン・ムハンマド（1423年生まれ）によるアラビア語の本です。この著作は、60進法の数学を非常に詳細に扱っており、60進法の分数の周期性についての最初の言及と思われる内容が含まれています。