循環小数

循環小数または再循環小数は、数字が最終的に周期的になる（つまり、ある時点以降、同じ数字のシーケンスが永久に繰り返される）数の小数表現です。このシーケンスがゼロのみで構成される場合（つまり、ゼロ以外の数字が有限の数しかない場合）、小数は終了していると言われ、循環小数とは見なされません。

数が有理数であるためには、その10進数表現が繰り返しまたは無限大である必要がある。例えば、10進数表現の⁠1/3⁠ は小数点の直後で周期的になり、1桁の数字「3」が永遠に繰り返されます。つまり、0.333.... より複雑な例は⁠3227/555⁠ 、小数点の次の2桁目で小数が周期的になり、その後は「144」というシーケンスが永遠に繰り返されます。つまり、5.8144144144.... この別の例は⁠です。593/53⁠、これは小数点以下で周期的になり、13 桁のパターン「1886792452830」を永久に繰り返します。つまり、11.18867924528301886792452830....

無限に繰り返される数字の並びは、反復小数または反復小数と呼ばれます。反復小数がゼロの場合、この10進数表現は循環小数ではなく、終了小数と呼ばれます。これは、ゼロを省略することができ、小数がこれらのゼロの前で終了するためです。 ^[1]すべての終了小数表現は、分母が10の累乗である小数として表すことができます（例： 1.585 = ⁠1585/1000⁠ );の形式の比率として表記されることもあります。 ⁠け/2n · ^5m​⁠（例：1.585 = ⁠317/2 ³ ·5 ²⁠）。しかし、 10進数で表すと、その繰り返し数が9になる循環小数という2番目の代替表現も当然存在します。これは、最後の（右端の）非ゼロの数字を1減らし、繰り返し数に9を追加することで得られます。この例として、 1.000... = 0.999...と1.585000... = 1.584999...の2つが挙げられます。（このタイプの循環小数は、通常の除算アルゴリズムの修正形式を使用すると、長除算で得ることができます。 ^[2]）

2つの整数の比として表すことができない数は、無理数と呼ばれます。それらの10進数表現は、無限に繰り返されることも、無限に終わることもなく、繰り返されることなく永遠に続きます（§ すべての有理数は、無限小数または循環小数であるを参照）。そのような無理数の例としては、√2やπがあります。^[3]

循環小数を表す表記法はいくつかありますが、どれも普遍的に受け入れられているわけではありません。

• ヴィンキュラム：アメリカ、カナダ、インド、フランス、ドイツ、イタリア、スイス、チェコ共和国、スロバキア、スロベニア、チリ、トルコでは、反復記号の上に水平線（ヴィンキュラム）を引くのが慣例となっている。^[4]
• ドット:マレーシア、モロッコ、パキスタン、チュニジア、イラン、アルジェリア、エジプトなどの一部のイスラム諸国、および英国、ニュージーランド、オーストラリア、南アフリカ、日本、タイ、インド、韓国、シンガポール、中華人民共和国では、繰り返し数字の最も外側の数字の上にドットを配置するのが慣例となっています。^{[出典が必要]}
• 括弧:オーストリア、デンマーク、フィンランド、オランダ、ノルウェー、ポーランド、ロシア、ウクライナ、ベトナム、イスラエルを含むヨーロッパの一部では、反復を括弧で囲むのが慣例となっています。これは標準不確かさの表記と混同する可能性があります。^[要出典]
• 弧:スペインやアルゼンチン、ブラジル、メキシコなどのラテンアメリカ諸国では、反復記号上の弧表記法も、ビンキュラムとドット表記法の代替として使用されています。^[要出典]
• 省略記号: 非公式には、循環小数は省略記号 (3 つのピリオド、0.333...) で表すことが多い。特に学校で以前の表記法が初めて教えられたときはそうである。この表記法では、どの数字を繰り返すべきか、そもそも繰り返しが起こっているのかどうかさえ不明確になる。なぜなら、このような省略記号は無理数にも使用されるからである。たとえば、 πは 3.14159... と表すことができる。^{[引用が必要]}

英語では、循環小数を声に出して読む方法がいろいろあります。たとえば、1.2 34 は、「one point two repeating three four」、「one point two repeated three four」、「one point two recurring three four」、「one point two repetend three four」、または「one point two into infinity three four」と読むことができます。同様に、11. 1886792452830 は、「eleven point repeating one double eight six seven nine two four five two 8 three zero」、「eleven point repeat one double eight six seven 9 two 4 five two 8 three zero」、「eleven point recurring one double 86 7 9 two 4 5 2 8 three zero」、「eleven point repetend one double 86 7 9 two 4 5 2 8 three zero」、または「eleven point into infinity one double 86 7 9 two 4 5 2 8 three zero」と読むことができます。

分数として表された有理数を小数に変換するには、長除法を使用することができます。たとえば、有理数⁠を考えてみましょう。5/74⁠ :

        0.0 675
   74 ) 5.00000
        4.44
          560
          518
           420
           370
            500

など。各ステップで余りがあることに注意してください。上に示されている連続した余りは 56、42、50 です。余りが 50 に到達し、「0」を消すと、500 を 74 で割っていることがわかります。これは、最初に出した問題と同じです。したがって、小数は0.0675 675 675 ... のように繰り返されます。

任意の整数分数について⁠あ/B⁠ 、任意の正の整数kに対して、ステップ k での剰余はA × 10 ^k (モジュロB )です。

任意の除数に対して、有限数の異なる余りしか発生しません。上記の例では、74 通りの余りは 0、1、2、...、73 です。割り算のどの時点でも余りが 0 になると、その時点で展開が終了します。繰り返しの長さ (「周期」とも呼ばれます) は 0 と定義されます。

0 が余りとして発生しない場合は、割り算のプロセスは永遠に続き、最終的に、以前に発生した余りが発生します。割り算の次のステップでは、前回の余りが同じだったのと同じ商の新しい数字と、同じ新しい余りが生成されます。したがって、次の割り算では同じ結果が繰り返されます。数字の繰り返しシーケンスは「繰り返し」と呼ばれ、0 より大きい特定の長さを持ち、「期間」とも呼ばれます。^[5]

10 を底とする分数では、最小の項で分母に 2 または 5 以外の素因数がある場合、つまり、 2 ^m  5 ⁿ （ mとnは負でない整数）と表すことができない場合に限り、分数は循環小数になります。

各循環小数は整数係数の線形方程式を満たし、その唯一の解は有理数です。上記の例では、α = 5.8144144144...は次の方程式を満たします。

これらの整数係数を見つけるプロセスを以下に説明します。

循環小数、、 が数字のグループである場合、 を の桁数とします。を乗算すると、循環グループと終了グループが分離されます。 ${\displaystyle x=a.b{\overline {c}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n=\lceil {\log _{10}b}\rceil }$${\displaystyle b}$${\displaystyle 10^{n}}$

${\displaystyle 10^{n}x=ab.{\bar {c}}.}$

小数が終了している場合（）、証明は完了です。^[6]桁の場合、が終了している桁のグループで あるとします。すると、${\displaystyle c=0}$${\displaystyle c\neq 0}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x=y.{\bar {c}}}$${\displaystyle y\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle c=d_{1}d_{2}\,...d_{k}}$

ここでi番目の桁を表し、 ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle x=y+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c}{{(10^{k})}^{n}}}=y+\left(c\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}\right)-c.}$

以来、^[7]${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}={\frac {1}{1-10^{-k}}}}$

${\displaystyle x=y-c+{\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}.}$

は整数（）と有理数（ ）の和なので、も有理数である。^[8]${\displaystyle x}$${\displaystyle y-c}$${\textstyle {\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}}$${\displaystyle x}$

これにより分数は単位分数 となる⁠1/ん⁠そしてℓ _{10 は}（10進数の）繰り返しの長さです。

小数点の繰り返しの長さℓ ₁₀ ( n ) は、1/ん⁠、n = 1、2、3、...、は次のとおりです。

0、0、1、0、0、1、6、0、1、0、2、1、6、6、1、0、16、1、18、0、6、2、22、1、0、 6、3、6、28、1、15、0、2、16、6、1、3、 18、6、0、5、6、21、2、1、22、46、1、42、0、16、6、13、3、2、6、18、28、58、1、60、15、 6、0、6、2、33、16、22、6、35、 1、8、 3、1、18、6、6、13、0、9、5、41、6、16、21、28、2、44、1、6、22、15、46、18、1、96、42、 2、0...（OEISの配列A051626）。

_{比較のため}に、分数の2進繰り返しの長さℓ2 ( n )は、1/ん⁠、n = 1、2、3、...、は次のとおりです。

0、0、2、0、4、2、3、0、6、4、10、2、12、3、4、0、8、6、18、4、6、10、11、2、20、12、18、3、28、4、5、0、10、8、12、6、36、18、12、4、20、6、14、10、12、11、... (=A007733[ n ]、n が 2 の累乗でない場合は= 0 ) 。

小数点は⁠の繰り返しです1/ん⁠、n = 1、2、3、...、は次のとおりです。

0、0、3、0、0、6、142857、0、1、0、09、3、076923、714285、6、0、0588235294117647、5、052631578947368421、0、047619、 45、0434782608695652173913、6、0、384615、037、571428、0344827586206896551724137931、3、032258064516129、0、03、 2941176470588235、285714...（OEISの配列A036275）。

⁠の10進数の繰り返し長さ1/p⁠、p = 2、3、5、...（n番目の素数）の場合、次のようになります。

0、1、0、6、2、6、16、18、22、28、15、3、5、21、46、13、58、60、33、35、8、13、41、44、96、 4、34、53、108、112、42、 130、8、46、148、75、78、81、166、43、178、180、95、192、98、99、30、222、113、228、232、7、30、50、256、262、 268、5、 69、28、 141、146、153、155、312、79...（OEISの配列A002371）。

最小の素数pは、1/p⁠ は10 進数の繰り返し長さn を持ち、n = 1、2、3、... の場合、次のようになります。

3、11、37、101、41、7、239、73、333667、9091、21649、9901、53、909091、31、17、2071723、19、1111111111111111111、 3541、43、23、11111111111111111111111、99990001、21401、859、757、29、3191、211、2791、353、67、103、71、 999999000001、2028119、 909090909090909091、900900900900990990990991、1676321、83、127、173...（OEISの配列A007138）。

最小の素数pは、け/p⁠ にはn 個の異なるサイクル ( 1 ≤ k ≤ p −1 )、n = 1, 2, 3, ... があり、それらは次のようになります。

7、3、103、53、11、79、211、41、73、281、353、37、2393、449、3061、1889、137、2467、16189、641、3109、4973、11087、1321、101、7151、7669、757、38629、1231、49663、12289、859、239、27581、9613、18131、13757、33931...（OEISの配列A054471 ）。

2または5以外の素分母（つまり10と互いに素）を持つ最小の分数は常に循環小数を生成します。循環小数部の周期（循環小数部の長さ）は、1/p⁠ は、p を法とした 10 の位数に等しい。 10 がp を法とした原始根である場合、反復長はp − 1 に等しくなり、そうでない場合は、反復長はp − 1 の因数になる。 この結果は、 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p )というフェルマーの小定理 から導き出される。

5より大きい素数の逆数の10進数根は9である。 ^[9]

⁠の繰り返し長さが1/p⁠素数p がp − 1に等しい 場合、整数として表される繰り返し数は巡回数と呼ばれます。

このグループに属する分数の例は次のとおりです。

• ⁠1/7⁠ = 0. 142857、6 桁の繰り返し
• ⁠1/17⁠ = 0. 0588235294117647、16 個の繰り返し数字
• ⁠1/19⁠ = 0. 052631578947368421、18 個の繰り返し数字
• ⁠1/23⁠ = 0. 0434782608695652173913、22 個の繰り返し数字
• ⁠1/29⁠ = 0. 0344827586206896551724137931、28 個の繰り返し数字
• ⁠1/47⁠ = 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617、46個の繰り返し数字
• ⁠1/59⁠ = 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661、58 個の繰り返し数字
• ⁠1/61⁠ = 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459、60桁の繰り返し
• ⁠1/97⁠ = 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567、96個の繰り返し数字

リストには分数も含めることができます⁠1/109⁠、⁠1/113⁠、⁠1/131⁠、⁠1/149⁠、⁠1/167⁠、⁠1/179⁠、⁠1/181⁠、⁠1/193⁠、⁠1/223⁠、⁠1/229⁠など（OEISの配列A001913）。

循環数のすべての真倍数（つまり、桁数が同じ倍数）は回転です。

• ⁠1/7⁠ = 1 × 0.142857 = 0.142857
• ⁠2/7⁠ = 2 × 0.142857 = 0.285714
• ⁠3/7⁠ = 3 × 0.142857 = 0.428571
• ⁠4/7⁠ = 4 × 0.142857 = 0.571428
• ⁠5/7⁠ = 5 × 0.142857 = 0.714285
• ⁠6/7⁠ = 6 × 0.142857 = 0.857142

この周期的な振る舞いの理由は、次の長除算の計算演習から明らかである。1/7⁠ : 連続した余りは巡回数列{1, 3, 2, 6, 4, 5}です。この巡回数のその他の特性については、 記事142,857も参照してください。

循環分数は、9の補数形式で2つの数列に分割できる偶数長の循環小数を持ちます。たとえば、1/7⁠ は「142」で始まり、「857」が続きますが、⁠6/7⁠ (回転により) '857' で始まり、その9 の補数 '142' が続きます。

循環数の反復の回転は、常に、連続する各反復が前の反復よりも大きい数になるように行われます。たとえば、上記の連続では、0.142857... < 0.285714... < 0.428571... < 0.571428... < 0.714285... < 0.857142... であることがわかります。これにより、長い反復を持つ循環分数の場合、反復がわかっている限り、分数に任意の自然数 n を乗じた結果が簡単に予測できます。

真素数とは、10進数で数字1で終わり、その逆数を10進数で表すと長さp − 1の繰り返しになる素数pのことで ある。このような素数では、0、1、...、9の各数字は、他の各数字と同じ回数だけ繰り返しシーケンスに現れる（つまり、⁠p  − 1/10⁠回）。それらは次のとおりです。^{[10] : 166}

61、131、181、461、491、541、571、701、811、821、941、971、1021、1051、1091、1171、1181、1291、1301、1349、1381、1531、1571、1621、1741、1811、1829、1861、...（OEISの配列A073761 ）。

素数は、完全反復素数であり、かつ 1 mod 10 と合同である場合に限り、真素数となります。

素数pが完全反復素数かつ安全素数である場合、⁠1/p⁠ はp  − 1個の疑似乱数列を生成します。これらの素数は

7、23、47、59、167、179、263、383、503、863、887、983、1019、1367、1487、1619、1823、2063...（OEISの配列A000353）。

循環数を生成しない素数の逆数には次のようなものがあります。

• ⁠1/3⁠ = 0. 3であり、周期（繰り返し長さ）は 1 です。
• ⁠1/11⁠ = 0.09であり、周期は 2 です。
• ⁠1/13⁠ = 0.076923であり、周期は 6 です。
• ⁠1/31⁠ = 0.032258064516129であり、周期は15です。
• ⁠1/37⁠ = 0.027であり、周期は3です。
• ⁠1/41⁠ = 0.02439であり、周期は 5 です。
• ⁠1/43⁠ = 0.023255813953488372093であり、周期は21です。
• ⁠1/53⁠ = 0.0188679245283であり、周期は13です。
• ⁠1/67⁠ = 0.014925373134328358208955223880597 であり、周期は33です。
• ⁠1/71⁠ = 0.01408450704225352112676058338028169 であり、周期は35です。
• ⁠1/73⁠ = 0.01369863であり、周期は 8 です。
• ⁠1/79⁠ = 0.0126582278481であり、周期は13です。
• ⁠1/83⁠ = 0.01204819277108433734939759036144578313253であり、周期は41です。
• ⁠1/89⁠ = 0.01123595505617977528089887640449438202247191であり、周期は44です。

（OEISの配列A006559）

その理由は、3は9の約数、11は99の約数、41は99999の約数などだからです。⁠の周期を求めるには、1/p⁠ 、素数pが、桁数がp − 1を割り切る数 999...999 を割り切れるかどうかを確認できます。周期はp − 1 より大きくなることはないので 、これを計算することで取得できます。 ⁠10 ^{p −1} − 1/p⁠例えば11の場合は

${\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

そして検査により、繰り返し 09 と期間 2 を見つけます。

これらの素数の逆数は、いくつかの循環小数列と関連付けることができます。たとえば、⁠の倍数です。1/13⁠ は、繰り返しが異なる 2 つのセットに分けられます。最初のセットは次のとおりです。

• ⁠1/13⁠ = 0.076923
• ⁠10/13⁠ = 0. 769230
• ⁠9/13⁠ = 0.692307
• ⁠12/13⁠ = 0.923076
• ⁠3/13⁠ = 0. 230769
• ⁠4/13⁠ = 0. 307692

ここで、各分数の繰り返しは 076923 の循環的な再配置です。2 番目のセットは次のとおりです。

• ⁠2/13⁠ = 0. 153846
• ⁠7/13⁠ = 0.538461
• ⁠5/13⁠ = 0. 384615
• ⁠11/13⁠ = 0.846153
• ⁠6/13⁠ = 0. 461538
• ⁠8/13⁠ = 0.615384

ここで、各分数の繰り返しは 153846 の循環的な再配置です。

一般に、素数pの逆数の真倍数の集合は、繰り返し長さが kであるn個の部分集合から構成されます( nk  =  p  − 1)。

任意の整数nに対して、 10進数の繰り返しの長さL ( n )は、1/ん⁠ はφ ( n ) を割り切れる。ここでφはトーティエント関数である。長さがφ ( n )に等しいのは、10 がn を法とする原始根である場合のみである。^[11]

特に、pが素数であり、 10 がp を法とする原始根である場合に限り、L ( p ) = p − 1が成り立ちます。すると、 ⁠の小数展開は、 ん/p⁠ n = 1, 2, ..., p − 1の場合 、すべて周期p  − 1 を持ち、巡回置換のみが異なります。このような数p は完全繰り返し素数と呼ばれます。

pが2または5以外の素数の場合、分数の10進表現は⁠1/²ページ⁠繰り返し:

⁠1/49⁠ = 0. 020408163265306122448979591836734693877551。

周期（反復長）L （49）はλ（49）＝42の因数でなければならない。ここでλ（n ）はカーマイケル関数として知られている。これは、 nが正の整数であればλ （ n ）は最小の整数mであるという カーマイケルの定理に従う。

${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

nと互いに素である任意の整数aに対して。

⁠の期間1/²ページ⁠ は通常pT _pであり、T _{p は}⁠の周期です。1/p⁠。これが当てはまらない素数が3つ知られており、それらの素数の周期は⁠1/²ページ⁠ は⁠の期間と同じです1/p⁠なぜならp ^{2 は10 p −1} −1を割り切るからである。これらの3つの素数は3、487、56598313（OEISの配列A045616）である。^[12]

同様に、⁠1/pk^​⁠ は通常p ^{k –1} T _p

pとqが2または5以外の素数の場合、分数の10進表現は1/質問⁠繰り返します。例: ⁠1/119⁠ :

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = LCM ( λ (7), λ (17)) = LCM(6, 16) = 48、

ここで、LCMは最小公倍数を表します。

⁠の期間T1/質問⁠ はλ ( pq )の因数であり、この場合は 48 になります。

⁠1/119⁠ = 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521。

⁠の期間T1/質問⁠ はLCM( T _p ,  T _q ) であり、T _{p は}⁠の周期である。1/p⁠そしてT _{q は}⁠の周期である。1/q⁠ .

p、q、rなどが2や5以外の素数で、k、ℓ、mなどが正の整数である場合、

${\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}}$

周期が

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )}$

ここで、T _{p ^k}、T _{q ^ℓ}、T _{r ^m}、...はそれぞれ循環小数の周期である⁠1/pk^​⁠、⁠1/q ^ℓ⁠、⁠1/r ^m⁠、...上記で定義したとおり。

10 と互いに素ではないが、2 または 5 以外の素因数を持つ整数には、最終的に周期的な逆数がありますが、繰り返し部分の前に繰り返されない数字のシーケンスがあります。逆数は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {1}{2^{a}\cdot 5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

ここで、aとb は両方ともゼロではありません。

この分数は次のように表現することもできます。

${\displaystyle {\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

a > bの場合、または

${\displaystyle {\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

b > aの場合、または

${\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

a = bの場合。

小数点には次のものがあります:

• 小数点以下の最大桁数( a、  b )の初期トランジェント。トランジェント内の桁の一部またはすべてがゼロになる場合があります。
• 後続の繰り返しは分数の場合と同じです⁠1/p ^k q ^ℓ ⋯⁠ .

例えば​​⁠1/28⁠ = 0.03 571428 :

• a = 2、b = 0、その他の因数p ^k q ^ℓ ⋯ = 7
• 先頭に重複しない数字が2つあり、03である。
• 繰り返される数字は6つあり、571428は⁠と同じ数です。1/7⁠あります。

循環小数がある場合、それを生成する分数を計算することができます。例:

別の例:

以下の手順は、反復子にn桁の数字があり、最後の数字が 1 である以外はすべて 0 である場合に特に適用できます。たとえば、 n  = 7 の場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}}$

したがって、この循環小数は分数に対応します⁠1/10 ⁿ  − 1⁠、ここで分母はn 個の9 として書かれた数です。これを知っていれば、一般的な循環小数は方程式を解かなくても分数として表すことができます。たとえば、次のように推論できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

または

${\displaystyle {\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}}$

小数点の直後から始まる n桁の周期 (繰り返しの長さ)を持つ循環小数を分数として表す一般的な式を得ることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

より具体的には、次のようなケースが考えられます。

循環小数が 0 から 1 の間で、循環ブロックがn桁の長さで、最初に小数点の直後に現れる場合、分数 (必ずしも約分される必要はありません) は、n桁のブロックで表される整数をn個の 9で表される整数で割ったものになります。たとえば、

• 0.444444... = ⁠4/9⁠繰り返しブロックは4（1桁のブロック）なので、
• 0.565656... = ⁠56/99⁠繰り返しブロックは56（2桁のブロック）なので、
• 0.012012... = ⁠12/999⁠繰り返しブロックは012（3桁のブロック）なので、これはさらに次のように短縮されます⁠4/333⁠ .
• 0.999999... = ⁠9/9⁠ = 1、繰り返しブロックは9（これも1桁のブロック）なので

循環小数が上記の通りで、小数点と循環するn桁ブロックの間にk桁（余分な）0がある場合、分母のn桁9の後にk桁の0を追加するだけで済みます（そして、前と同じように、分数は後で簡略化できます）。たとえば、

• 0.000444... = ⁠4/9000⁠繰り返しブロックは4で、このブロックの前には3つのゼロが付くため、
• 0.005656... = ⁠56/9900⁠繰り返しブロックは56で、その前に2つのゼロが付くため、
• 0.00012012... = ⁠12/99900⁠ = ⁠1/8325⁠繰り返しブロックは 012 であり、その前に 2 つのゼロが付くためです。

上記の形式ではない循環小数は、終端小数と上記の 2 つのタイプの循環小数のいずれかの合計として表すことができます (実際には最初のタイプで十分ですが、終端小数が負になる必要がある場合があります)。たとえば、

• 1.23444... = 1.23 + 0.00444... = ⁠123/100⁠ + ⁠4/900⁠ = ⁠1107/900⁠ + ⁠4/900⁠ = ⁠1111/900⁠
  • あるいは 1.23444... = 0.79 + 0.44444... = ⁠79/100⁠ + ⁠4/9⁠ = ⁠711/900⁠ + ⁠400/900⁠ = ⁠1111/900⁠
• 0.3789789... = 0.3 + 0.0789789... = ⁠3/10⁠ + ⁠789/9990⁠ = ⁠2997/9990⁠ + ⁠789/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ = ⁠631/1665⁠
  • あるいは 0.3789789... = −0.6 + 0.9789789... = − ⁠6/10⁠ + 978/999 = − ⁠5994/9990⁠ + ⁠9780/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ = ⁠631/1665⁠

さらに速い方法は、小数点を完全に無視して次のようにすることです。

• 1.23444... = ⁠1234 − 123/900⁠ = ⁠1111/900⁠ (分母には 9 が 1 つと 0 が 2 つあります。これは、1 つの数字が繰り返され、小数点の後に繰り返されない数字が 2 つあるためです)
• 0.3789789... = ⁠3789 − 3/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ (分母には 9 が 3 つと 0 が 1 つあります。これは、3 つの数字が繰り返され、小数点の後に繰り返されない数字が 1 つあるためです)

したがって、周期が nで、小数点以下のk桁が循環部分に属さない循環小数は、分母が (10 ⁿ  − 1)10 ^kである（必ずしも約分とは限らない）分数として表すことができます。

逆に分数の循環小数の周期は⁠ｃ/d⁠ は、 10 ⁿ − 1 がd で割り切れる最小の数nになります。

例えば、分数⁠2/7⁠ はd = 7であり、10 ^k  − 1 を 7 で割り切れる最小のk はk = 6 です。これは、999999 = 7 × 142857 だからです。分数の周期⁠2/7したがって⁠ は6 です。

次の図は、上記のショートカットの一種の圧縮を示しています。これにより、小数点の左側にある 10 進数の整数部分の数字が表され、ピリオドの前桁とその長さの数字の文字列が構成され、長さが 0 でない 繰り返し数字 (ピリオド) の文字列になります。${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \#\mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \#\mathbf {P} }$

生成された分数では、数字が 回繰り返され、数字が 回繰り返されます。 ${\displaystyle 9}$${\displaystyle \#\mathbf {P} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \#\mathbf {A} }$

小数部に整数部がない場合、ゼロで表されますが、これは他の桁の左側にあるため最終結果には影響せず、生成関数の計算では省略できます。 ${\displaystyle \mathbf {I} }$

例:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllll}3.254444\ldots &=3.25{\overline {4}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =3&\mathbf {A} =25&\mathbf {P} =4\\&\#\mathbf {A} =2&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3254-325}{900}}&={\dfrac {2929}{900}}\\\\0.512512\ldots &=0.{\overline {512}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =512\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {512-0}{999}}&={\dfrac {512}{999}}\\\\1.09191\ldots &=1.0{\overline {91}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =0&\mathbf {P} =91\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =2\end{Bmatrix}}&={\dfrac {1091-10}{990}}&={\dfrac {1081}{990}}\\\\1.333\ldots &=1.{\overline {3}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =3\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {13-1}{9}}&={\dfrac {12}{9}}&={\dfrac {4}{3}}\\\\0.3789789\ldots &=0.3{\overline {789}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =3&\mathbf {P} =789\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3789-3}{9990}}&={\dfrac {3786}{9990}}&={\dfrac {631}{1665}}\end{array}}}$$

上記の例の記号は、小数部の桁が欠落していることを示しており、したがって、生成された分数にも対応する桁が欠落しています。 ${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \#\mathbf {A} =0}$

循環小数は無限級数として表現することもできます。つまり、循環小数は無限個の有理数の和とみなすことができます。最も単純な例を挙げると、

${\displaystyle 0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}$

上記の級数は、最初の項が⁠である等比級数です。1/10⁠そして共通因子⁠1/10⁠。共通因数の絶対値が 1 未満であるため、等比級数は収束すると言え、次の式を使用して分数の形式で正確な値を見つけることができます。ここで、aは級数の最初の項、r は共通因数です。

${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{10-1}}={\frac {1}{9}}}$

同様に、

${\displaystyle {\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}$

乗算における循環小数の周期的な動作は、特定の数を掛け算すると循環的に入れ替わる整数の構築にもつながります。たとえば、102564 × 4 = 410256です。102564 は⁠の繰り返しです。4/39⁠および 410256 の繰り返し⁠16/39⁠ .

繰り返し長さ（周期）の様々な性質はミッチェル^{[13]とディクソン[14]}によって与えられている。

• ⁠の期間1/け⁠整数kは常に ≤  k  − 1 です。
• pが素数の場合、 ⁠の周期は1/p⁠ p − 1に均等に割り切れます 。
• kが合成数の場合、 ⁠の周期は1/け⁠はk − 1より小さい 。
• ⁠の期間ｃ/け⁠、c が kと互いに素である場合、 ⁠の周期に等しい。1/け⁠ .
• k  = 2 ^a ·5 ^b n （ n  > 1かつnが 2 または 5 で割り切れない場合）の場合、 ⁠の過渡現象の長さは1/け⁠ はmax( a ,  b ) であり、周期はrに等しくなります。ここでr は10 mod n の乗法次数、つまり10 ^r ≡ 1 (mod n )となる最小の整数です。
• p、p′、p″ 、...が異なる素数である場合、 ⁠の周期は1/p p′ p″ ⋯⁠ は⁠の周期の最小公倍数に等しい1/p⁠、⁠1/p′⁠、⁠1/p″⁠、....
• kとk′に2または5以外の共通の素因数がない場合は、 ⁠の周期は1/kk′⁠ は⁠の周期の最小公倍数に等しい1/け⁠と⁠1/k′⁠ .
• 素数pに対して、

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}}}\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)}$

いくつかのmについては、

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+1}}}\right),}$

c  ≥ 0 の 場合、

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right).}$

• pが1で終わる真素数である場合、つまり、⁠1/p⁠ は長さp  − 1の巡回数であり、 あるhに対してp = 10 h + 1 である場合、各数字 0、1、...、9 は繰り返し内に正確にh =  ⁠に出現します。p  − 1/10⁠回。

反復のその他の特性については、^{[15]も参照。}

循環小数のさまざまな特徴は、10 進数だけでなく、他のすべての整数基数の数値の表現にも適用されます。

• すべての実数は、整数部分とそれに続く基数点（小数点を非 10 進数システムに一般化したもの）と、それに続く有限または無限の桁数として表すことができます。
• 基数が整数の場合、終了する数列は明らかに有理数を表します。
• 有理数は、完全約分分数の分母のすべての素因数が底の因数でもある場合、終了列を持ちます。これらの数は、QとRの稠密な集合を構成します。
• 位取り記数法が標準的なもの、つまり基数を持つものである場合

${\displaystyle b\in \mathbb {Z} \smallsetminus \{-1,0,1\}}$

連続した数字の組み合わせ

${\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}}$

r  := | b |、d _r  := d ₁ + r − 1かつ0 ∈ Dの場合、終了するシーケンスは、数字 0 からなる終了しない繰り返し部分を持つ同じシーケンスと明らかに同等です。基数が正の場合、アルファベットD上の右側無限文字列の辞書式順序から実数の閉区間への順序準同型が存在し、文字列0. A ₁ A ₂ ... A _n d _bと0. A ₁ A ₂ ...( A _n +1) d ₁ ( A _i ∈ DかつA _n ≠ d _b)を同じ実数にマッピングします。また、他の重複するイメージはありません。たとえば、10 進法では、0. 9  = 1. 0  = 1であり、バランスのとれた 3 進法では、0. 1  = 1. T  =  ⁠ 1/2⁠ .

• 有理数は、その約分数の分母に底の因数ではない素因数が含まれる場合、有限長lの無限繰り返し列を持つ。 qが底と互いに素である約分分母の最大因数である場合、l はq がb ^ℓ − 1を割り切る最小の指数である。これは、カーマイケル関数λ ( q )の約数である剰余類b mod qの乗法順序 ord _q ( b )であり、 λ ( q ) はqより小さい。約分数が底と素因数を共有する場合、繰り返し列の前に有限長の過渡現象が発生する。繰り返し列

${\displaystyle \left(0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }}}\right)_{b}}$

分数を表す

${\displaystyle {\frac {(A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell })_{b}}{b^{\ell }-1}}.}$

• 無理数は、どの点から見ても有限の長さが無限に繰り返されるシーケンスではない、無限の長さの表現を持ちます。

たとえば、12進数では、⁠1/2⁠ = 0.6, ⁠1/3⁠ = 0.4, ⁠1/4⁠ = 0.3 および⁠1/6⁠ = 0.2 すべて終了; ⁠1/5⁠ = 0. 2497は周期長 4 で繰り返され、同等の小数展開の 0.2 とは対照的です。⁠1/7⁠ = 0. 186A35 は、10 進数と同様に、12 進数でも周期 6 になります。

bが整数基数でkが整数の 場合、

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(b-k)^{1}}{b^{2}}}+{\frac {(b-k)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(b-k)^{3}}{b^{4}}}+\cdots +{\frac {(b-k)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots ={\frac {1}{b}}{\frac {1}{1-{\frac {b-k}{b}}}}.}$

たとえば、1/7 を 12 進数で表すと次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {1}{7}}=\left({\frac {1}{10^{\phantom {1}}}}+{\frac {5}{10^{2}}}+{\frac {21}{10^{3}}}+{\frac {A5}{10^{4}}}+{\frac {441}{10^{5}}}+{\frac {1985}{10^{6}}}+\cdots \right)_{\text{base 12}}}$$

これは0.186A35 _base12です。10 _base12は 12 _base10、10 ² _base12は 144 _base10、21 _base12は 25 _base10、A5 _base12は 125 _base10です。

有理数0 < ⁠p/q⁠ < 1 (かつ基数b ∈ N _>1 ) の場合、反復とその長さを生成する次のアルゴリズムがあります。

最初に強調表示された行は、数字zを計算します。

次の行では、分母qを法として除算した新しい余りp′を計算します。床関数の 結果として、 floor

${\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},}$

したがって

${\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q}$

そして

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.}$

これらの剰余p はすべてq未満の非負の整数であるため、有限の数しか存在できず、その結果、ループ内で必ず繰り返されますwhile。このような繰り返しは連想配列 occursによって検出されます。新しい数字z は黄色の線で形成されます。ここで、p は唯一の非定数です。繰り返しの長さLは剰余の数に等しくなります (「すべての有理数は有限小数または循環小数のいずれかである」のセクションも参照)。

循環小数（10進数列とも呼ばれる）は、暗号や誤り訂正符号化の用途に用いられている。[ ^16]これらの用途では、2進数列を生成する2進数の循環小数が一般的に用いられる。⁠1/p⁠ （2がpの原始根である場合）は次のように与えられる：^[17]

${\displaystyle a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}}$

これらの周期p  − 1のシーケンスは、シフトに対して負のピーク-1を持つ自己相関関数を持ちます。p  − 1/2これらのシーケンスのランダム性はダイハードテストによって検査されています。[ 18 ^]

• 10進数表現
• フルレプテンドプライム
• ミディの定理
• 寄生数
• 末尾のゼロ
• ユニークプライム
• 0.999...、1に等しい循環小数
• 鳩の巣原理

• Weisstein、Eric W.「繰り返し小数」。MathWorld。