自己相似性

数学において、自己相似オブジェクトは、それ自体の一部と正確または近似的に相似である（つまり、全体が1つ以上の部分と同じ形状である）。海岸線など、現実世界の多くのオブジェクトは統計的に自己相似であり、その部分は多くのスケールで同じ統計的特性を示します。^{[2]自己相似性は}フラクタルの典型的な特性です。スケール不変性は、どの拡大率でも全体に相似なオブジェクトのより小さな部分が存在する、自己相似性の正確な形です。たとえば、コッホの雪片の側面は対称であり、スケール不変です。つまり、形を変えることなく、継続的に3倍に拡大することができます。フラクタルで明らかな非自明な相似性は、その微細構造、つまり任意の小さなスケールの詳細によって区別されます。反例として、直線の任意の部分が全体に似ている可能性がある一方で、それ以上の詳細は明らかにされません。

ある観測量の異なる時間に測定された数値 が異なるが、特定の値における対応する無次元量は不変である場合、時間発展現象は自己相似性を示すと言われます。これは、量が動的スケーリングを示す場合に発生します。この考え方は、2つの三角形の相似性という考え方の単なる拡張です。^{[3] [4] [5]} 2つの三角形は、辺の数値が異なるが、角度などの対応する無次元量が一致する場合、相似であることに注意してください。 ${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle x/t^{z}}$${\displaystyle f(x,t)}$

Peitgen らはこの概念を次のように説明しています。

図形の部分が全体の小さな複製である場合、その図形は自己相似と呼ばれます。...図形が全体の正確な複製である部分に分解できる場合、その図形は厳密に自己相似です。任意の部分には、図形全体の正確な複製が含まれます。^[6]

数学的には、フラクタルは無限に拡大すると自己相似性を示す可能性があるため、これを物理的に再現することは不可能です。Peitgenらは、近似値を使用して自己相似性を研究することを提案しています。

自己相似性の性質に操作上の意味を与えるためには、必然的に極限図形の有限近似を扱うことに制限される。これは、様々なサイズのグリッドを使用して図形の有限段階で測定を行う、ボックス自己相似性と呼ばれる方法を使用して行われる。^[7]

この語彙は1964年にブノワ・マンデルブロによって導入されました^。[8]

数学において、自己相似性は、 x 方向と y 方向に異なる量で拡大縮小された断片を持つフラクタルの特徴です。つまり、これらのフラクタル オブジェクトの自己相似性を評価するには、異方性アフィン変換を使用して再拡大縮小する必要があります。

コンパクト位相空間Xが自己相似であるとは、非射影同相写像の集合を添字とする有限 集合Sが存在し、 ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)}$

の場合、XがYの唯一の空でない部分集合であり、上式が成り立つとき、Xは自己相似であると言う。 ${\displaystyle X\subset Y}$ ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})}$

モノイドは自己相似構造です。同相写像は反復することができ、反復関数システムになります。関数の合成により、モノイドの代数構造が作成されます。集合Sに要素が 2 つしかない場合、モノイドは2 進モノイドと呼ばれます。2 進モノイドは、無限二分木として視覚化できます。より一般的には、集合S にp個の要素がある場合、モノイドはp 進木として表すことができます。

二項モノイドの自己同型はモジュラー群であり、自己同型は二分木の 双曲回転として描くことができます。

自己相似性よりも一般的な概念は、自己親和性です。

マンデルブロ集合はミシュレヴィッツ点の周囲でも自己相似である。

自己相似性は、典型的なネットワークトラフィックが自己相似特性を持っているため、コンピュータネットワークの設計に重要な影響を及ぼします。たとえば、テレトラフィックエンジニアリングでは、パケット交換データトラフィックパターンは統計的に自己相似であるように見えます。^{[9]この特性は、}ポアソン分布を 使用する単純なモデルが不正確であり、自己相似性を考慮せずに設計されたネットワークが予期しない方法で機能する可能性が高いことを意味します。

同様に、株式市場の動きは自己類似性を示すと説明されており、つまり、表示される詳細レベルに応じて適切なアフィン変換によって変換すると自己相似性を示す。 ^[10] アンドリュー・ローは、計量経済学 において株式市場の対数リターンの自己相似性について説明している 。^[11]

有限分割規則は、カントール集合やシェルピンスキーの三角形などの自己相似集合を構築するための強力な手法です。

スタッフォード・ビアの実行可能システム モデルは、アフィン自己相似階層を持つ組織モデルです。このモデルでは、特定の実行可能システムは、1 つの再帰レベル上にある実行可能システムのシステム 1 の 1 つの要素であり、そのシステム 1 の要素は、1 つの再帰レベル下にある実行可能システムです。

自己相似性は自然界にも見られます。右は数学的に生成された、完全に自己相似なシダの画像で、自然のシダと非常によく似ています。ロマネスコ ブロッコリーなどの他の植物も強い自己相似性を示しています。

• 厳格なカノンは、フーガの一部と同様に、さまざまなタイプと量の自己相似性を示します。
• シェパードトーンは、周波数領域または波長領域で自己相似性があります。
• デンマークの 作曲家 ペール・ノーゴードは、彼の音楽の多くで「無限級数」と呼ばれる自己相似整数列を利用しています。
• 音楽情報検索の研究分野では、自己相似性とは、音楽がしばしば時間的に繰り返される部分から構成されているという事実を指すことが多い。^[12]言い換えれば、音楽はスケーリングではなく（またはそれに加えて）、時間的平行移動において自己相似性がある。^[13]

• 「銅板シェブロン」 - 自己相似フラクタルズームムービー
• 「自己相似性」 — 自己相似性に関する新しい記事。ワルツアルゴリズム

• マンデルブロ、ベノワB. (1985)。「自己親和性とフラクタル次元」(PDF)。Physica Scripta。32 (4): 257–260。Bibcode : 1985PhyS ...32..257M。doi : 10.1088/0031-8949/32/ 4 /001。S2CID 250815596  。
• Sapozhnikov, Victor; Foufoula-Georgiou, Efi (1996年5月). 「編組河川における自己親和性」(PDF) .水資源研究. 32 (5): 1429–1439. Bibcode :1996WRR....32.1429S. doi :10.1029/96wr00490. 2018年7月30日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。 2018年7月30日閲覧。
• Benoît B. Mandelbrot (2002)。『ガウスの自己親和性とフラクタル：グローバリティ、地球、1/F ノイズ、R/S』Springer。ISBN 978-0387989938。