長期依存

長期依存性（LRD）は、長期記憶または長期持続性とも呼ばれ、空間データまたは時系列データの分析で発生する可能性がある現象です。これは、2つのポイント間の時間間隔または空間距離の増加に伴う、2つのポイントの統計的依存性の減衰率に関連しています。依存性が指数関数的減衰（通常はべき乗減衰）よりもゆっくりと減衰する場合、現象は通常、長期依存性があると見なされます。LRDは、自己相似性プロセスまたは分野に関連することがよくあります。LRDは、インターネットトラフィックモデリング、計量経済学、水文学、言語学、地球科学など、さまざまな分野で使用されています。LRDの異なる数学的定義は、さまざまなコンテキストと目的に使用されます。^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]

短期依存と長期依存

長距離および短期従属定常過程を特徴付ける 1 つの方法は、自己共分散関数の観点から見ることです。短期従属過程の場合、異なる時間の値間の結合は、時間差が増加するにつれて急速に減少します。自己共分散は、一定の時間遅れの後にゼロに低下するか、最終的には指数関数的に減少します。LRD の場合、結合ははるかに強くなります。自己共分散関数の減少はべき乗的であるため、指数関数よりも遅くなります。

長距離依存性と短期依存性を特徴付ける2つ目の方法は、連続する値の部分和の分散で表す方法です。短期依存性の場合、分散は通常、項の数に比例して大きくなります。LRDの場合、部分和の分散はより急速に大きくなり、指数が1より大きいべき関数になることがよくあります。この動作を調べる方法として、再スケールされた範囲を使用します。長距離依存性のこの側面は、水資源用の河川ダムの設計において重要です。この場合、合計は長期間にわたるダムへの総流入量に対応します。^[7]

上記の 2 つの方法は数学的に相互に関連していますが、LRD を定義する唯一の方法ではありません。プロセスの自己共分散が存在しない場合 (重い裾)、LRD の意味を定義する他の方法を見つける必要があり、これは多くの場合、自己相似プロセスの助けを借りて行われます。

ハーストパラメータ Hは、時系列における長距離依存性の程度を測る指標です（自己相似性プロセスの文脈では別の意味を持ちます）。H は0から1までの値を取ります。値0.5は長距離依存性がないことを示します。^[8]Hが1に近いほど、持続性または長距離依存性の度合いが大きくなります。0.5未満のHは反持続性に対応し、LRDの反対として強い負の相関を示し、プロセスが激しく変動します。

ハーストパラメータの推定

緩やかに減衰する分散、LRD、およびべき乗法則に従うスペクトル密度は、定常プロセスの基礎となる共分散の特性の異なる表現です。したがって、ハーストパラメータを推定する問題には、3つの異なる角度からアプローチできます。

分散時間プロット：集計プロセスの分散分析に基づく
R/S統計: 再スケール調整範囲の時間領域分析に基づく
ピリオドグラム: 周波数領域分析に基づく

自己相似過程との関係

定常 LRD シーケンスが与えられた場合、適切なスケーリング後の項の数でインデックス付けされたプロセスとして見た場合、部分和は漸近的に定常増分を持つ自己相似プロセスであり、最も一般的なものは分数ブラウン運動です。逆に、ハースト指数H > 0.5 の定常増分を持つ自己相似プロセスが与えられた場合、その増分 (プロセスの連続的な差分) は定常 LRD シーケンスです。

これは、シーケンスが短距離依存である場合にも当てはまりますが、この場合、部分和から生じる自己相似プロセスはブラウン運動（H = 0.5）のみになります。

モデル

長距離依存性に使用される確率モデルの中で人気のあるものとしては、離散時間プロセス用に定義される自己回帰分数積分移動平均モデルがあり、連続時間モデルは分数ブラウン運動から始まる場合があります。

参照

注記

^ Beran, Jan (1994).長期記憶プロセスの統計。CRC Press。
^ Doukhan; et al. (2003).長距離依存性の理論と応用. Birkhäuser.
^ Malamud, Bruce D.; Turcotte, Donald L. (1999).自己アフィン時系列: I. 生成と分析. 第 40 巻. pp. 1–90. Bibcode :1999AdGeo..40....1M. doi :10.1016/S0065-2687(08)60293-9. ISBN 9780120188406。 {{cite book}}:|journal=無視されました (ヘルプ)
^ Samorodnitsky, Gennady (2007).長距離依存性. 確率システムの基礎と傾向.
^ Beran; et al. (2013).長期記憶プロセス：確率的特性と統計的手法. Springer.
^ Witt, Annette; Malamud, Bruce D. (2013年9月)。「地球物理学的時系列における長距離持続性の定量化：従来法とベンチマークベースの改善手法」。Surveys in Geophysics。34 ( 5 ): 541–651。Bibcode :2013SGeo...34..541W。doi : 10.1007 /s10712-012-9217-8。
^ *Hurst, HE, Black, RP, Simaika, YM (1965)長期保存：実験的研究Constable、ロンドン。
^ ベラン（1994）34ページ

さらに読む

Bariviera, AF (2011). 「流動性が情報効率に与える影響: タイ株式市場の事例」. Physica A: 統計力学とその応用. 390 (23): 4426–4432. Bibcode :2011PhyA..390.4426B. doi :10.1016/j.physa.2011.07.032. S2CID 120377241.
Bariviera, AF; Guercio, MB; Martinez, LB (2012). 「ヨーロッパ7カ国における債券市場の情報効率の比較分析」. Economics Letters . 116 (3): 426–428. doi :10.1016/j.econlet.2012.04.047. hdl : 11336/66311 . S2CID 153323583.
Brockwell, AE (2006). 「一般化された長期記憶時系列モデルのクラスの尤度ベース分析」.時系列分析ジャーナル. 28 (3): 386–407. doi :10.1111/j.1467-9892.2006.00515.x. S2CID 122206112.
Granger, CWJ; Joyeux, R. (1980). 「長期記憶時系列モデルと分数差分法の紹介」Journal of Time Series Analysis . 1 : 15–30. doi :10.1111/j.1467-9892.1980.tb00297.x.
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Cohn, TA ; Lins, HF (2005). 「自然のスタイル: 自然に流行」.地球物理学研究レター. 32 (23). doi : 10.1029/2005GL024476 .

[1] Beran, Jan (1994).長期記憶プロセスの統計。CRC Press。

[2] Doukhan; et al. (2003).長距離依存性の理論と応用. Birkhäuser.

[3] Malamud, Bruce D.; Turcotte, Donald L. (1999).自己アフィン時系列: I. 生成と分析. 第 40 巻. pp. 1–90. Bibcode :1999AdGeo..40....1M. doi :10.1016/S0065-2687(08)60293-9. ISBN 9780120188406。 {{cite book}}:|journal=無視されました (ヘルプ)

[4] Samorodnitsky, Gennady (2007).長距離依存性. 確率システムの基礎と傾向.

[5] Beran; et al. (2013).長期記憶プロセス：確率的特性と統計的手法. Springer.

[6] Witt, Annette; Malamud, Bruce D. (2013年9月)。「地球物理学的時系列における長距離持続性の定量化：従来法とベンチマークベースの改善手法」。Surveys in Geophysics。34 ( 5 ): 541–651。Bibcode :2013SGeo...34..541W。doi : 10.1007 /s10712-012-9217-8。

[7] *Hurst, HE, Black, RP, Simaika, YM (1965)長期保存：実験的研究Constable、ロンドン。

[8] ベラン（1994）34ページ