k-uniform タイルの一覧

k均一タイリングは、 k種類の頂点を持ち、端から端まで接続された凸正多角形による平面のタイリングのタイリングです。1 均一タイリングには、3 つの正多角形タイリングと 8 つの半正多角形タイリングが含まれます。1 均一タイリングは、頂点の構成によって定義できます。より高いk均一タイリングは、頂点の数字によってリストされますが、通常はこの方法で一意に識別されません。

k均一タイリングの完全なリストは、k=6 まで列挙されています。2 均一タイリングは 20 個、3 均一タイリングは 61 個、4 均一タイリングは 151 個、5 均一タイリングは 332 個、6 均一タイリングは 673 個あります。この記事では、k =5 までのすべてのソリューションをリストします。

エッジからエッジまでではない正多角形の他のタイリングでは、異なるサイズの多角形や、接触位置の連続的なシフトが可能になります。

このような凸多角形の周期的なタイリングは、頂点、辺、タイルの軌道の数によって分類できます。頂点の軌道がk 個ある場合、タイリングはk均一またはk等角と呼ばれます。タイルの軌道がt個ある場合はt等面体、辺の軌道がe個ある場合はe等角体と呼ばれます。

同じ頂点図形を持つk均一タイリングは、壁紙群の対称性によってさらに識別できます。

1-ユニフォームタイリングには、2種類以上の正多角形面を持つ3つの正則タイリングと8つの半正則タイリングが含まれます。2-ユニフォームタイリングは20、3-ユニフォームタイリングは61、4-ユニフォームタイリングは151、5-ユニフォームタイリングは332、6-ユニフォームタイリングは673あります。それぞれは、異なる頂点図形の数mによってグループ化することができ、 m-アルキメデスタイリングとも呼ばれます。^[1]

最後に、頂点の種類の数が均一性と同じ場合 (以下、 m = k )、タイリングはKrotenheerdtであると言われます。一般に、均一性は頂点の種類の数以上です ( m ≥ k )。これは、異なる種類の頂点は必然的に異なる軌道を持ちますが、その逆は当てはまらないためです。m = n = kと設定すると、n = 1 の場合は 11 個のタイリング、 n = 2の場合は 20 個のタイリング、n = 3 の場合は 39 個のタイリング、 n = 4の場合は 33 個のタイリング、n = 5 の場合は 15 個のタイリング、 n = 6の場合は 10 個のタイリング、n = 7 の場合は 7 個のタイリングがあります。

タイリングの対称群がタイリングのフラグに推移的に作用する場合、タイリングは正則であると言われます。ここで、フラグとは、タイリングの相互に接する頂点、辺、タイルの 3 つで構成される 3 組です。つまり、すべてのフラグのペアに対して、最初のフラグを 2 番目のフラグにマッピングする対称操作があります。これは、タイリングが合同な正多角形による辺から辺までのタイリングであることに相当します。頂点には 6 つの正三角形、4 つの正方形、または 3 つの正六角形があり、3 つの正則なテッセレーションが生成されます。

頂点推移性とは、すべての頂点のペアに対して、最初の頂点を2番目の頂点にマッピングする対称操作が存在することを意味します。 ^[3]

フラグ推移性の要件を頂点推移性の要件に緩和し、タイリングがエッジツーエッジであるという条件を維持すると、アルキメデス、ユニフォーム、または半正則タイリングと呼ばれる 8 つの追加のタイリングが可能になります。3 ^{4 .6 (スナブ六角形) タイリングには 2 つの}鏡像(エナンチオモルフィックまたはキラル) 形式がありますが、次の表にはそのうちの 1 つだけが示されていることに注意してください。その他のすべての正則および半正則タイリングはアキラルです。

グリュンバウムとシェパードは、これらのタイリングの記述を、各頂点の周りのタイルの配置が同じであるという局所的な特性のみを指すアルキメデス的タイリングと、頂点の推移性という全体的な特性を指す均一的タイリングとに区別しています。これらは平面内で同じタイリング セットを生成しますが、他の空間では均一ではないアルキメデス的タイリングが存在します。

ユークリッド平面には20の2-均一タイリングがあります。（ 2-等角タイリングまたは半正則タイリングとも呼ばれます）^{[4] [5] [6]}それぞれに頂点タイプがリストされています。2つのタイリングが同じ2つの頂点タイプを共有する場合、下付き文字1、2が与えられます。

ユークリッド平面には 61 個の 3 次元均一タイリングがあります。そのうち 39 個は 3 つの異なる頂点タイプを持つ 3 次元アルキメデスのタイリングで、22 個は異なる対称軌道に 2 つの同一の頂点タイプを持ちます。Chavey (1989)

ユークリッド平面には 4 均一タイリングが 151 個あります。Brian Galebach 氏の検索では、4 つの異なる頂点タイプを持つ 4 均一タイリング 33 個の Krotenheerdt 氏のリストが再現され、さらに 3 種類の頂点タイプを持つものが 85 個、2 種類の頂点タイプを持つものが 33 個見つかりました。

頂点は4種類あり、合計33個あります。

頂点は3種類あり、全部で85個あります。

頂点の種類が 2 種類のものは 33 個、種類が 2 組のものは 12 個、種類の比率が 3:1 のものは 21 個あります。

ユークリッド平面には 5 均等タイリングが 332 個あります。Brian Galebach 氏の検索により、2 ～ 5 種類の頂点を持つ 5 均等タイリングが 332 個特定されました。頂点の種類が 2 種類のものは 74 個、3 種類のものは 149 個、4 種類のものは 94 個、5 種類のものは 15 個あります。

5 つの一意の頂点図形タイプを持つ 5 均一タイリングが 15 個あります。

4 つの頂点タイプを持つ 5 均一タイリングが 94 個あります。

5 均一タイリングは 149 個あり、そのうち 60 個は 3:1:1 のコピーを持ち、89 個は 2:2:1 のコピーを持ちます。

2 種類の頂点を持つ 5 均一タイリングが 74 個あり、それぞれ 4:1 のコピーが 27 個、3:2 のコピーが 47 個あります。

3 種類と 2 種類の固有の頂点図形タイプを持つ 5 均一タイリングが 29 個あります。

k均一タイリングは 6 まで列挙されています。ユークリッド平面の 6 均一タイリングは 673 個あります。Brian Galebach 氏の検索では、6 つの異なる頂点タイプを持つ 10 個の 6 均一タイリングの Krotenheerdt 氏によるリストが再現され、さらに 5 種類の頂点タイプを持つものが 92 個、4 種類の頂点タイプを持つものが 187 個、3 種類の頂点タイプを持つものが 284 個、2 種類の頂点タイプを持つものが 100 個見つかりました。

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ユークリッドおよび一般的なタイリング リンク:

• n ユニフォーム タイリング、ブライアン ゲイルバッハ
• Dutch, Steve. 「Uniform Tilings」。2006 年 9 月 9 日のオリジナルからアーカイブ。2006年 9 月 9 日閲覧。
• Mitchell, K.「半正規タイル」 。2006年 9 月 9 日閲覧。
• Weisstein、Eric W.「テッセレーション」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「半正規テッセレーション」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「Demiregular tessellation」。MathWorld。