厳密に凸な空間

数学において、厳密凸空間は、閉じた単位球が厳密凸集合となるようなノルムベクトル空間( X , || ||)である。言い換えれば、厳密凸空間とは、単位球∂ B (つまり、Xの単位球Bの境界)上の任意の 2 つの異なる点xとyに対して、 xとy を結ぶ線分が∂ Bと交わるのはxとyのみであるような空間である。厳密凸性は、構造上、内積空間(すべての内積空間は厳密凸である) と一般ノルム空間の中間にある。また、厳密凸性は、凸部分空間YからのX (厳密凸)の要素への最良近似の一意性 (存在する場合) を保証する。

ノルム空間Xが完備であり、一様凸であるというやや強い性質（厳密な凸性を意味する）を満たす場合、ミルマン・ペティスの定理により、それは反射的でもある。

次の特性は厳密な凸性と同等です。

• ノルムベクトル空間( X 、 || ||) が厳密に凸であるためには、x  ≠  yかつ||  x  || = ||  y  || = 1 が同時に || x + y || < 2 となる 必要が あり ます 。
• ノルムベクトル空間( X , || ||) が厳密に凸であるためには、x  ≠  yかつ||  x  || = ||  y  || = 1 が、0 < α < 1 のすべてに対して ||  αx + (  1 −  α ) y  || < 1 を満たす 必要があります 。
• ノルムベクトル空間( X , || ||) が厳密に凸であるためには、 x  ≠  0かつ y  ≠  0であり、 ||  x  +  y  || = ||  x  || + ||  y  || が、ある定数c > 0に対してx = cy となる必要があります。
• ノルムベクトル空間( X , || ||)が厳密に凸であるためには、( X , || ||)の凸性係数δがδ (2) = 1を満たす必要がある。

• 一様凸空間
• 凸面の係数と特性

• ゲーベル、カジミエシュ (1970)。「球体の凸性と非拡大正方形の写像に対する不動点定理」。Compositio Mathematica 22 ( 3): 269–274。