クロススペクトル

信号処理や統計学において、クロススペクトルは周波数領域における2つの時系列間の関係を分析するために使用されるツールです。これは、2つの時系列間の相関がさまざまな周波数にどのように分布しているかを示します。例えば、2つのマイクで部屋の音声を録音している場合、クロススペクトルによって、両方の録音で顕著な音（家電製品のハム音など）の特定の周波数を明らかにすることができ、共通の音源を特定するのに役立ちます。

厳密に言えば、クロススペクトルは相互共分散関数のフーリエ変換です。つまり、2つの信号間の時間的な関係を、周波数の関数として表現したものです。

させて${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$自己共分散関数を持つ広義定常な確率過程のペアを表す$\displaystyle \gamma _{xx}}$そして$\displaystyle \gamma _{yy}}$および相互共分散関数$\displaystyle \gamma _{xy}}$すると、クロススペクトル$\displaystyle \Gamma _{xy}}$は、のフーリエ変換として定義される。$\displaystyle \gamma _{xy}}$^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)={\mathcal {F}}\{\gamma _{xy}\}(f)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\,\gamma _{xy}(\tau )\,e^{-2\,\pi \,i\,\tau \,f},}$

どこ

${\displaystyle \gamma _{xy}(\tau )=\operatorname {E} [(x_{t}-\mu _{x})(y_{t+\tau }-\mu _{y})]}$。

クロススペクトルは、（i）実部（コスペクトル）と（ii）虚部（直交スペクトル）への分解として表現される。

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)=\Lambda _{xy}(f)-i\Psi _{xy}(f),}$

（ii）極座標で

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)=A_{xy}(f)\,e^{i\phi _{xy}(f)}.}$

ここでは、振幅スペクトル${\displaystyle A_{xy}}$は

${\displaystyle A_{xy}(f)=(\Lambda _{xy}(f)^{2}+\Psi _{xy}(f)^{2})^{\frac {1}{2}},}$

位相スペクトル$\displaystyle \Phi _{xy}}$は

${\displaystyle {\begin{cases}\tan ^{-1}(\Psi _{xy}(f)/\Lambda _{xy}(f))&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)\neq 0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)\neq 0\\0&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)>0\\\pm \pi &{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)<0\\\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)>0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\-\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)<0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\\end{cases}}}$

二乗コヒーレンススペクトルは次のように表される。

${\displaystyle \kappa _{xy}(f)={\frac {A_{xy}^{2}}{\Gamma _{xx}(f)\Gamma _{yy}(f)}},}$

これは振幅スペクトルを無次元単位で表したものである。

• 相互相関
• パワースペクトル
• スケール相関