逆散乱変換

独立変数は空間変数である${\displaystyle x}$そして時間変数${\displaystyle t}$添え字または微分演算子（${\textstyle \partial _{x},\partial _{t}}$) は分化を示します。${\displaystyle u(x,t)}$これは非線形偏微分方程式の解であり、$u_t+N(u)=0$初期条件（値）付き${\textstyle u(x,0)}$[ ^{2 ] : 72​}

微分方程式の解は、積分可能性条件とファデエフ条件を満たします。^{[ 2 ]： 40}

積分可能性条件：$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ |u(x)|\ dx\ <\infty }$

ファデエフ条件:$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ (1+|x|)|u(x)|\ dx\ <\infty }$

ラックス微分演算子、${\textstyle L}$そして${\textstyle M}$は、関数を含む可能性のある係数を持つ線形常微分演算子です。${\textstyle u(x,t)}$またはその導関数。自己共役演算子${\textstyle L}$時間微分を持つ${\textstyle L_{t}}$そして固有関数を持つ固有値（スペクトル）方程式を生成する${\textstyle \psi }$そして時間定数固有値（スペクトルパラメータ）${\textstyle \lambda }$[ ^{1 ] : 4963 [ 2 ] : 98​}

${\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi ,\ }$そして${\textstyle \ L_{t}(\psi ){\overset {def}{=}}(L(\psi ))_{t}-L(\psi _{t})}$

オペレーター${\textstyle M}$固有関数が時間とともにどのように変化するかを記述し、新しい固有関数を生成する。${\textstyle {\widetilde {\psi }}}$オペレーターの${\textstyle L}$固有関数から${\textstyle \psi }$の${\textstyle L}$[ ^{1 ]： 4963​}

${\displaystyle {\widetilde {\psi }}=\psi _{t}-M(\psi )\ }$

ラックス演算子を組み合わせると、固有関数の微分演算子ではなく乗法演算子が形成される。${\textstyle \psi }$[ ^{1 ]： 4963​}

${\displaystyle (L_{t}+LM-ML)\psi =0}$

ラックス演算子は、乗法演算子が非線形微分方程式と等しくなるように選択される。^{[ 1 ]： 4963}

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0}$

Ablowitz、Kaup、Newell、およびSegurによって開発されたAKNS微分演算子は、Lax微分演算子の代替であり、同様の結果を達成します。^{[ 1 ]： 4964 [ 9 ] [ 10 ]}

直接散乱変換は初期散乱データを生成する。これには、この微分方程式の固有関数解の反射係数、透過係数、固有値データ、および正規化定数が含まれる可能性がある。^{[ 2 ]： 39-48}

${\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi }$

散乱データが時間とともにどのように変化するかを記述する方程式は、時間に関する 1 階線形常微分方程式の解として現れます。さまざまなアプローチを使用すると、この 1 階線形微分方程式は、線形微分演算子 (Lax ペア、AKNS ペア)、線形微分演算子と非線形微分方程式の組み合わせ、または追加の置換、積分、微分演算によって得られる可能性があります。空間漸近方程式 (${\textstyle x\to \pm \infty }$) これらの微分方程式を解くことを簡略化する。^{[ 1 ] : 4967–4968 [ 2 ] : 68–72 [ 6 ]}

マルチェンコ方程式は、散乱データを線形フレドホルム積分方程式に統合する。この積分方程式の解は、非線形微分方程式の解 u(x,t) につながる。^{[ 2 ]： 48-57}

ラックス演算子は^{[ 2 ]： 97-102である。}

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t)\ }$ そして${\textstyle \ M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}$

乗法演算子は次のとおりです。

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

この微分方程式の解

${\textstyle L(\psi )=-\psi _{xx}+u(x,0)\psi =\lambda \psi }$

散乱解には、連続的な固有値範囲を持つ散乱解（連続スペクトル）と、離散的な固有値を持つ束縛状態解（離散スペクトル）が含まれる場合があります。散乱データには透過係数が含まれます。${\textstyle T(k,0)}$左反射係数${\textstyle R_{L}(k,0)}$右反射係数${\textstyle R_{R}(k,0)}$離散固有値${\textstyle -\kappa _{1}^{2},\ldots ,-\kappa _{N}^{2}}$、および左右の束縛状態正規化（ノルム化）定数。^{[ 1 ]： 4960}

${\displaystyle c(0)_{Lj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{L}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

${\displaystyle c(0)_{Rj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{R}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

空間的に漸近的な左側${\textstyle \psi _{L}(k,x,t)}$そして、${\textstyle \psi _{R}(k,x,t)}$Jost関数は このステップを簡略化する。^{[ 1 ]： 4965–4966}

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(x,k,t)&=e^{ikx}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{L}(x,k,t)&={\frac {e^{ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{L}(k,t)e^{-ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to -\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&={\frac {e^{-ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{R}(k,t)e^{ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&=e^{-ikx}+o(1),\ x\to -\infty \\\end{aligned}}}$

依存定数${\textstyle \gamma _{j}(t)}$右および左のヨスト関数と右および左の正規化定数を関連付ける。^{[ 1 ]： 4965–4966}

${\displaystyle \gamma _{j}(t)={\frac {\psi _{L}(x,i\kappa _{j},t)}{\psi _{R}(x,i\kappa _{j},t)}}=(-1)^{N-j}{\frac {c_{Rj}(t)}{c_{Lj}(t)}}}$

ラックス${\textstyle M}$微分演算子は、他の固有関数の時間依存線形結合として表現できる固有関数を生成する。^{[ 1 ]： 4967}

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{L}(k,x,t)-M\psi _{L}(x,k,t)=a_{L}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{L}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{R}(k,x,t)-M\psi _{R}(x,k,t)=a_{R}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{R}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

散乱および束縛状態の空間漸近ヨスト関数を用いて決定されたこれらの微分方程式の解は、時間的に一定の透過係数を示している。${\textstyle T(k,t)}$ただし、時間依存の反射係数と正規化係数である。^{[ 1 ]： 4967–4968}

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{L}(k,t)&=R_{L}(k,0)e^{-i8k^{3}t}\\R_{R}(k,t)&=R_{R}(k,0)e^{+i8k^{3}t}\\c_{Lj}(t)&=c_{Lj}(0)e^{+4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\\c_{Rj}(t)&=c_{Rj}(0)e^{-4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\end{aligned}}}$

マルチェンコカーネルは${\textstyle F(x,t)}$[ ^{1 ]： 4968–4969​}

${\displaystyle F(x,t){\overset {def}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }R_{R}(k,t)e^{ikx}\ dk+\sum _{j=1}^{N}c(t)_{Lj}^{2}e^{-\kappa _{j}x}}$

マルチェンコ積分方程式は、線形積分方程式を解くと次のようになる。${\textstyle K(x,y,t)}$[ ^{1 ]： 4968–4969​}

${\displaystyle K(x,z,t)+F(x+z,t)+\int _{x}^{\infty }K(x,y,t)F(y+z,t)\ dy=0}$

マルチェンコ方程式の解は、${\textstyle K(x,y,t)}$解を生成する${\textstyle u(x,t)}$非線形偏微分方程式へ。^{[ 1 ]： 4969}

${\displaystyle u(x,t)=-2{\frac {\partial K(x,y,t)}{\partial x}}}$