連続一様分布

連続均一

確率密度関数 最大限規約を使用する
累積分布関数
表記	${\displaystyle {\mathcal {U}}_{[a,b]}}$
パラメータ	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty }$
サポート	${\displaystyle [a,b]}$
PDF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{ba}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\{\frac {xa}{ba}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\1&{\text{for }}x>b\end{cases}}}$
平均	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
中央値	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
モード	${\displaystyle {\text{a,b の任意の値}}$
分散	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(ba)^{2}}$
狂った	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(ba)}$
歪度	${\displaystyle 0}$
過剰尖度	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5}}}$
エントロピ	${\displaystyle \log(ba)}$
MGF の	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(ba)}}&{\text{for }}t\ neq 0\\1&{\text{for }}t=0\end{cases}}}$
CF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tb}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ta}}{\mathrm {i} t(b-a)}}&{\text{for }}t\neq 0\\1&{\text{for }}t=0\end{cases}}}$

確率論と統計学において、連続一様分布または矩形分布は対称 確率分布の族である。このような分布は、特定の境界の間に任意の結果がある実験を説明する。^[1]境界はパラメータによって定義され、最小値と最大値である。区間は閉じた（つまり）か開いた（つまり）かのいずれかである。^[2]したがって、分布はしばしば と省略され、 は一様分布を表す。^[1]境界間の差は区間の長さを定義する。分布のサポート上の同じ長さの区間はすべて、確率が等しい。これは、分布のサポートに含まれるという制約以外の制約がないランダム変数の最大エントロピー確率分布である。 ^[3]${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle U(a,b),}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

連続一様分布の 確率密度関数は

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{for }}x<a\ {\text{ or }}\ x>b.\end{cases}}}$

2 つの境界とにおけるの値は、通常重要ではありません。なぜなら、それらの値は、任意の区間におけるの値も、 の値も、任意の高次のモーメントの値も変更しないからです。 ときには、それらの値はゼロに選ばれ、ときには に選ばれます。 後者は、最大尤度法による推定のコンテキストでは適切です。フーリエ解析のコンテキストでは、またはの値を とすることができます。その理由は、その場合、この一様関数の多くの積分変換の逆変換によって、関数自体が返されるからです。関数は、「ほとんどすべての場所」、つまり測度がゼロの点の集合を除いて等しい関数ではありません。 また、それは、そのような曖昧さのない 符号関数と一致しています。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}$${\displaystyle [c,d],}$${\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)dx,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}.}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2(b-a)}},}$

任意の確率密度関数は積分すると連続一様分布の確率密度関数は、底辺の長さと高さをそれぞれ表す長方形としてグラフ化されます。底辺の長さが長くなると、高さ（分布境界内の特定の値における密度）は減少します。^[4]${\displaystyle 1,}$${\displaystyle b-a}$${\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}}$

平均と分散の観点から見ると、連続一様分布の確率密度関数は ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2},}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}},\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

連続一様分布の 累積分布関数は次のようになります。

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1&{\text{for }}x>b.\end{cases}}}$

その逆は次のようになります。

${\displaystyle F^{-1}(p)=a+p(b-a)\quad {\text{ for }}0<p<1.}$

平均と分散の観点から見ると、連続一様分布の累積分布関数は次のようになります。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2},}$

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}},\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}},\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}};\end{cases}}}$

その逆は次のようになります。

${\displaystyle F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \quad {\text{ for }}0\leq p\leq 1.}$

ランダム変数を 見つけるには${\displaystyle X\sim U(0,23),}$${\displaystyle P(2<X<18):}$

${\displaystyle P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}.}$

連続一様分布関数のグラフ表現では、確率を示す指定された境界内の曲線の下の領域は長方形になります。上記の特定の例では、底辺は⁠ ⁠ 、高さは⁠ ⁠となります^[5]${\displaystyle [f(x){\text{ vs }}x],}$${\displaystyle 16,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{23}}.}$

ランダム変数を見つけるには${\displaystyle X\sim U(0,23),}$${\displaystyle P(X>12\ |\ X>8):}$

${\displaystyle P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}.}$

上記の例は、連続一様分布の条件付き確率の例です。 ⁠ ⁠ が${\displaystyle X>8}$真であるとすると、⁠ ⁠ と${\displaystyle X>12?}$なる確率はどれくらいでしょうか。条件付き確率は標本空間を変えるので、新しい区間の長さ⁠ ⁠ を${\displaystyle b-a'}$計算する必要があります。ここで、および^[5]です。グラフィカルな表現は例 1 に従い、指定された境界内の曲線の下の領域が確率を表示します。長方形の底辺は⁠ ⁠で、高さは⁠ ⁠ ^[5]です。${\displaystyle b=23}$${\displaystyle a'=8.}$${\displaystyle 11,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}.}$

連続一様分布のモーメント生成関数は次の通りである: ^[6]

${\displaystyle M_{X}=\mathrm {E} (\mathrm {e} ^{tX})=\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{tx}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}={\frac {B^{t}-A^{t}}{t(b-a)}},}$

そこから生のモーメントを計算することができる ${\displaystyle m_{k}:}$

${\displaystyle m_{1}={\frac {a+b}{2}},}$

${\displaystyle m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},}$

${\displaystyle m_{k}={\frac {\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}}{k+1}}.}$

連続一様分布に従うランダム変数の場合、期待値は、分散は${\displaystyle m_{1}={\tfrac {a+b}{2}},}$${\displaystyle m_{2}-m_{1}^{2}={\tfrac {(b-a)^{2}}{12}}.}$

特殊なケースでは、連続一様分布の確率密度関数は次のようになります。 ${\displaystyle a=-b,}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2b}}&{\text{for }}-b\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{otherwise}};\end{cases}}}$

モーメント生成関数は次のような単純な形に簡約される。

${\displaystyle M_{X}={\frac {\sinh bt}{bt}}.}$

⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 2,}$に対して、区間⁠ ⁠上の連続一様分布の- 番目のキュムラントは、- 番目のベルヌーイ数です。[ ^7]${\displaystyle n}$${\displaystyle [-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}]}$${\displaystyle {\tfrac {B_{n}}{n}},}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$

パラメータおよびを持つ連続一様分布は、標準一様分布と呼ばれます。 ${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=1,}$${\displaystyle U(0,1),}$

標準一様分布の興味深い性質の1つは、 が標準一様分布を持つ場合、 も を持つということです。この性質は、とりわけ反対の変量 を生成するために使用できます。言い換えると、この性質は反転法として知られており、連続標準一様分布を使用して、他の任意の連続分布の乱数を生成することができます。^[4]が標準一様分布を持つ一様乱数、つまり を持つ場合、 は指定された累積分布関数を持つ任意の連続分布から乱数を生成します^[4]${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle 1-u_{1}.}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle U(0,1),}$${\displaystyle x=F^{-1}(u_{1})}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F.}$

遷移点で同じ規則に従う限り、連続一様分布の確率密度関数は、ヘヴィサイドのステップ関数で次のように表現することもできます。

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},}$

または長方形関数では次のようになります。

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\ \operatorname {rect} \left({\frac {x-{\frac {a+b}{2}}}{b-a}}\right).}$

符号関数の遷移点には曖昧さはありません。遷移点における半最大値規則を使用すると、連続一様分布は符号関数で次のように表すことができます。

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.}$

連続一様分布の 平均（第1原モーメント）は次のようになります。

${\displaystyle E(X)=\int _{a}^{b}x{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {b+a}{2}}.}$

この分布の 2 番目の生のモーメントは次のとおりです。

${\displaystyle E(X^{2})=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}.}$

一般に、この分布の - 次生モーメントは次のようになります。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E(X^{n})=\int _{a}^{b}x^{n}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.}$

この分布の 分散（第2中心モーメント）は次のようになります。

${\displaystyle V(X)=E\left({\big (}X-E(X){\big )}^{2}\right)=\int _{a}^{b}\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}$

を からのiidサンプルとし、をこのサンプルからの 番目の順序統計量とします。 ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$${\displaystyle U(0,1),}$${\displaystyle X_{(k)}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle X_{(k)}}$はベータ分布、パラメータおよびを持つ。${\displaystyle k}$${\displaystyle n-k+1.}$

期待値は次のとおりです。

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X_{(k)}\right)={k \over n+1}.}$

この事実はQ-Qプロットを作成するときに役立ちます。

差異は次のとおりです。

${\displaystyle \operatorname {V} \left(X_{(k)}\right)={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.}$

連続的に一様分布するランダム変数が固定長の任意の区間内に入る確率は、区間が分布のサポート内に含まれている限り、区間自体の位置とは無関係です（ただし、区間のサイズには依存します）。 ${\displaystyle (\ell )}$

実際、がの部分区間でが固定されている場合、次のようになります。 ${\displaystyle X\sim U(a,b)}$${\displaystyle [x,x+\ell ]}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \ell >0,}$

${\displaystyle P{\big (}X\in [x,x+\ell ]{\big )}=\int _{x}^{x+\ell }{\frac {dy}{b-a}}={\frac {\ell }{b-a}},}$

これは独立しており、この事実がこの分布の名前の由来となっています。 ${\displaystyle x.}$

一様分布は、区間よりも一般的な集合に一般化できます。

正式には、を正の有限ルベーグ測度のボレル集合とします。すなわち、上の一様分布は、確率密度関数を外側ではゼロ、外側では常に と等しいと定義することで指定できます。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lambda (S),}$${\displaystyle 0<\lambda (S)<+\infty .}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda (S)}}}$${\displaystyle S.}$

興味深い特殊なケースとして、集合 S が単体である場合が挙げられます。標準的なn頂点単体上で一様分布を次の方法で得ることができます。^{[8] : Thm.4.1}同じ指数分布に従うn個の独立したランダム変数を取り、それらを X ₁ ,...,X _nで表し、Y _i  := X _i / (sum _i X _i ) とします。すると、ベクトル Y ₁ ,...,Y _nは単体上で一様分布します。

• Xが標準一様分布に従う場合、逆変換サンプリング法によれば、Y = − λ ⁻¹ ln( X )は（速度）パラメータλを持つ指数分布に従います。
• Xが標準一様分布に従う場合、 Y = X ^nはパラメータ(1/ n ,1)を持つベータ分布に従います。したがって、
• アーウィン・ホール分布は、n個の i.id U (0,1)分布の合計です。
• ベイツ分布は、n i.id U (0,1)分布の平均です。
• 標準一様分布は、パラメータが(1,1)であるベータ分布の特殊なケースです。
• 2 つの独立した一様分布U ₁ (a,b)+ U ₂ (c,d)の和は、サポート [a+c,b+d] 上の平均に関して対称な台形分布になります。台形分布の幅は、 U ₁とU ₂の幅の絶対差に等しくなります。傾斜部分の幅は、最も狭い一様分布の幅に対応します。
  • 一様分布の幅 w が同じ場合、結果はサポート [a+c,a+c+2w] 上の、平均を中心に対称な三角分布になります。
  • 2つの独立した均等に分布する一様分布U ₁ (a,b)+ U ₂ (a,b)の合計は、サポート[2a,2b]上の対称三角分布を生成します。
• 2つのiid一様ランダム変数間の距離| U ₁ (a,b)- U ₂ (a,b)|も、対称ではありませんが、サポート[0,ba]上で三角分布を持ちます。

上の一様分布が未知数である場合、最大値の最小分散不偏推定量 (UMVUE) は次のようになります。 ${\displaystyle [0,b]}$${\displaystyle b,}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{\text{UMVU}}={\frac {k+1}{k}}m=m+{\frac {m}{k}},}$

ここで、はサンプルの最大値、はサンプル サイズで、非復元サンプリングです (ただし、連続分布の場合は、この区別はほとんど確実に違いを生じません)。これは、離散分布 の推定と同じ理由で得られ、最大間隔推定の非常に単純なケースと見なすことができます。この問題は、最大値推定を第二次世界大戦中のドイツの戦車生産の推定に適用したことから、一般にドイツの戦車問題として知られています。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$

モーメント推定法は次のとおりです。

${\displaystyle {\hat {b}}_{MM}=2{\bar {X}},}$

サンプル平均は どこですか。${\displaystyle {\bar {X}}}$

最大尤度推定量は次のとおりです。

${\displaystyle {\hat {b}}_{ML}=m,}$

ここで、はサンプルの最大値であり、サンプルの 最大順序統計量とも呼ばれます。${\displaystyle m}$${\displaystyle m=X_{(n)},}$

a が未知で上の一様分布が与えられた場合、 aの最大尤度推定値は次のようになります。 ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{ML}=\min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$、

サンプル最小値[ ^9]

分布の中点は、一様分布の平均と中央値の両方です。標本平均と標本中央値はどちらも中点の不偏推定値ですが、どちらも標本中範囲、つまり標本最大値と標本最小値の算術平均ほど効率的ではありません。これは中点のUMVU推定値 (および最大尤度推定値) です。 ${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}},}$

が母集団の最大値であるサンプルであるとする。すると、ルベーグ・ボレル密度^[10]は${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}}$${\displaystyle U_{[0,L]},}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X_{(n)}=\max(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})}$${\displaystyle f={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}:}$

${\displaystyle f(t)=n{\frac {1}{L}}\left({\frac {t}{L}}\right)^{n-1}\!=n{\frac {t^{n-1}}{L^{n}}}1\!\!1_{[0,L]}(t),}$の指標関数はどこにあるか${\displaystyle 1\!\!1_{[0,L]}}$${\displaystyle [0,L].}$

前述の信頼区間は数学的に正しくありません。

${\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}+\varepsilon ]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha }$

を知らないと解くことはできない。しかし、 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\varepsilon )]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha }$不明だが有効な${\displaystyle \varepsilon \geq (1-\alpha )^{-1/n}-1}$${\displaystyle \theta ;}$

次に、上記の条件を満たす最小のものを選択する。区間の長さはランダム変数に依存することに注意する。${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle {\hat {\theta }}.}$

一様分布関数の確率は、関数形式が単純なため、計算が簡単です。^[2]そのため、この分布は、仮説検定、ランダムサンプリング、金融など、以下に示すようにさまざまな用途に使用できます。さらに、一般に、物理的な起源の実験は一様分布に従います（例：放射性粒子の放出）。^[1]ただし、どの用途でも、固定長の間隔に入る確率は一定であるという不変の仮定があることに注意することが重要です。^[2]

経済学の分野では、通常、需要と補充は予想される正規分布に従わない場合があります。その結果、ベルヌーイ過程などの他の分布モデルが、確率と傾向をより正確に予測するために使用されます。^[11]しかし、Wanke（2008）によると、完全に新しい製品を分析しているライフサイクルの開始時に在庫管理のリードタイムを調査するという特定のケースでは、一様分布の方が有用であることが証明されています。^[11]この状況では、新製品に関する既存のデータがないか、需要履歴が利用できないため、実際には適切または既知の分布がないため、他の分布は実行できない可能性があります。^[11]この状況では、リードタイム（需要に関連）のランダム変数は新製品については不明ですが、結果は2つの値の妥当な範囲内になる可能性が高いため、一様分布が理想的です。^[11]したがって、リードタイムはランダム変数を表します。一様分布モデルから、サイクルサービスレベルやサイクルあたりの不足など、リードタイムに関連する他の要因を計算することができました。また、計算の単純さから均一分布も使用されたことも指摘されている。^[11]

一様分布は、任意の分布からサンプリングする場合に便利です。一般的な方法は、ターゲットランダム変数の累積分布関数(CDF) を使用する逆変換サンプリング法です。この方法は理論的な作業で非常に便利です。この方法を使用したシミュレーションでは、ターゲット変数の CDF を反転する必要があるため、CDF が閉じた形式でわからない場合のために、代替方法が考案されています。そのような方法の 1 つが拒否サンプリングです。

正規分布は、逆変換法が効率的でない重要な例です。ただし、逆変換を使用して 2 つの独立した一様ランダム変数を2 つの独立した正規分布ランダム変数 に変換する正確な方法であるBox–Muller 変換があります。

アナログからデジタルへの変換では、量子化誤差が発生します。この誤差は、丸めまたは切り捨てによって発生します。元の信号が 1 つの最下位ビット (LSB)よりもはるかに大きい場合、量子化誤差は信号と有意な相関関係になく、ほぼ均一に分布します。したがって、 RMS 誤差はこの分布の分散から生じます。

シミュレーション実験を実行すると便利なアプリケーションは数多くあります。多くのプログラミング言語には、標準の一様分布に従って効果的に分布する 疑似乱数を生成する実装が付属しています。

一方、均一に分布した数は、非均一な乱数変量生成の基礎としてよく使用されます。

が標準一様分布からサンプリングされた値である場合、その値は上記のように およびによってパラメータ化された一様分布に従います。${\displaystyle u}$${\displaystyle a+(b-a)u}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$

一様分布の概念の歴史的起源は確定的ではないが、「一様」という用語はサイコロゲームにおける等確率の概念から生じたと推測されている（サイコロゲームは連続一様標本空間ではなく離散的であることに注意）。等確率はジェロラモ・カルダノの『Liber de Ludo Aleae』で言及されている。これは16世紀に書かれたマニュアルで、サイコロに関する高度な確率計算について詳述されている。^[12]

• 離散一様分布
• ベータ分布
• ボックス・ミュラー変換
• 確率プロット
• Q-Qプロット
• 長方形関数
• アーウィン・ホール分布— n = 1 の退化したケースでは、アーウィン・ホール分布は 0 から 1 の間の均一分布を生成します。
• ベイツ分布— アーウィン ホール分布に似ていますが、n に合わせて再スケールされます。アーウィン ホール分布と同様に、n=1 の退化の場合、ベイツ分布は 0 から 1 の間の均一分布を生成します。

• カセラ、ジョージ、ロジャー・L・バーガー（2001）、統計的推論（第2版）、トムソンラーニング、ISBN 978-0-534-24312-8、LCCN  2001025794

• 一様分布（連続）のオンライン計算機