台形分布

台形

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle a\;(a<d)}$- 下限 ${\displaystyle b\;(a\leq b<c)}$- レベル開始 ${\displaystyle c\;(b<c\leq d)}$- レベル終了 ${\displaystyle d\;(c\leq d)}$- 上限
サポート	${\displaystyle x\in [a,d]}$
PDF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {2}{d+cab}}{\frac {xa}{ba}}&{\text{for }}a\leq x<b\\{\frac {2}{d+cab}}&{\text{for }}b\leq x<c\\{\frac {2}{d+cab}}{\frac {dx}{dc}}&{\text{for }}c\leq x\leq d\end{cases}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{d+c-a-b}}{\frac {1}{b-a}}(x-a)^{2}&{\text{for }}a\leq x<b\\{\frac {1}{d+c-a-b}}(2x-a-b)&{\text{for }}b\leq x<c\\1-{\frac {1}{d+c-a-b}}{\frac {1}{d-c}}(d-x)^{2}&{\text{for }}c\leq x\leq d\end{cases}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {1}{3(d+c-b-a)}}\left({\frac {d^{3}-c^{3}}{d-c}}-{\frac {b^{3}-a^{3}}{b-a}}\right)}$
分散	${\displaystyle {\frac {1}{6(d+c-b-a)}}\left({\frac {d^{4}-c^{4}}{d-c}}-{\frac {b^{4}-a^{4}}{b-a}}\right)-\mu ^{2}}$
エントロピ	${\displaystyle {\frac {d-c+b-a}{2(d+c-b-a)}}+\ln \left({\frac {d+c-b-a}{2}}\right)}$
MGF の	${\displaystyle {\frac {2}{d+c-b-a}}{\frac {1}{t^{2}}}\left({\frac {e^{dt}-e^{ct}}{d-c}}-{\frac {e^{bt}-e^{at}}{b-a}}\right)}$

確率論と統計学において、台形分布は、確率密度関数のグラフが台形に似ている連続確率分布です。同様に、台形分布は、大まかにメサまたはプラトーにも似ています。

各台形分布には下限 aと上限 dがあり、 a < dです。この下限値を超えると、分布上の値やイベントは発生しません (つまり、上限値を超える確率は常に 0 です)。さらに、確率分布には 2 つの鋭い屈曲点 (微分不可能な 不連続点) があり、これをbとcと呼びます。これらの点がaとd の間にあり、a ≤ b ≤ c ≤ dとなります。

右の図は、完全に線形な台形分布を示しています。ただし、すべての台形分布がこのように正確な形をしているわけではありません。台形の中央部分が完全に平らで、側面のランプが完全に線形である標準的なケースでは、cとd の間のすべての値が等しい頻度で発生するため、このようなポイントはすべて分布のモード(局所的頻度最大値) になります。一方、台形の中央部分が完全に平らでない場合、または側面のランプの 1 つまたは両方が完全に線形でない場合は、問題の台形分布は一般化台形分布であり、^{[1] [2]より複雑でコンテキストに依存するルールが適用される場合があります。幾何}学における台形の側面が対称である必要がないのと同じように、台形分布の側面ランプは一般的なケースでは対称である必要はありません。

台形分布^[3]の非中心モーメントは

${\displaystyle E[X^{k}]={\frac {2}{d+c-b-a}}{\frac {1}{(k+1)(k+2)}}\left({\frac {d^{k+2}-c^{k+2}}{d-c}}-{\frac {b^{k+2}-a^{k+2}}{b-a}}\right)}$

台形分布の特殊なケースには、一様分布( a = bかつc = d ) と三角分布( b = c ) があります。台形確率分布は文献ではあまり取り上げられていないようです。一様分布、三角分布、アーウィン・ホール分布、ベイツ分布、ポアソン分布、正規分布、二峰性分布、多峰性分布はいずれも文献でより頻繁に取り上げられています。これは、台形分布よりもこれらの他の (台形ではない) 分布の方が自然界で頻繁に発生するためと考えられます。特に正規分布は、中心極限定理から予想されるとおり、自然界で特によく見られます。

• 台形
• 確率分布
• 中心極限定理
• 均一分布（連続）
• 三角分布
• アーウィン・ホール分布
• ベイツ分布
• 正規分布
• マルチモーダル流通
• ポアソン分布