サンプルの最大値と最小値

統計学において、標本最大値と標本最小値は、最大観測値と最小観測値とも呼ばれ、標本の最大要素と最小要素の値である。^[1]これらは基本的な要約統計量であり、 5数値要約やボウリーの7桁要約、および関連する箱ひげ図などの記述統計で使用される。

最小値と最大値は、第1次統計量と最終次統計量である（サンプルサイズnの場合、それぞれX _（1）とX _（n）と表記されることが多い）。

サンプルに外れ値がある場合、外れ値には、極端に高いか低いかに応じて、必ずサンプルの最大値または最小値、あるいはその両方が含まれます。ただし、サンプルの最大値と最小値は、他の観測値から異常に離れていない場合は、外れ値である必要はありません。

サンプルの最大値と最小値は最も 堅牢性の低い統計であり、外れ値に対して最も敏感です。

これは利点にも欠点にもなり得ます。極端な値が実際 (測定エラーではない) で、堤防建設や経済的損失などの極値理論の応用のように実際に影響がある場合は、外れ値 (サンプル極値に反映される) が重要になります。一方、外れ値が実際の結果にほとんどまたはまったく影響しない場合は、サンプル極値などの非ロバスト統計を使用すると統計が不明瞭になるだけなので、他の分位値などのロバストな代替手段を使用する必要があります。10 パーセンタイルと 90パーセンタイル(最初と最後の10 パーセント) は、よりロバストな代替手段です。

サンプルの極値は、サンプルのすべての要素を使用するすべての統計の構成要素であるだけでなく、分散の尺度である範囲 と、位置の尺度である中間範囲 の重要な部分でもあります。また、最大絶対偏差も実現します。つまり、サンプルの極値は、中央値や平均などの中心の尺度である特定の点から 最も遠い点です。

サンプル セットの場合、最大関数は滑らかではないため、微分できません。統計で発生する最適化問題では、セットの最大値に近い滑らかな関数で近似する必要があることがよくあります。

滑らかな最大値、例えば、

g ( x ₁、x ₂、 …、 x _n ) = log( exp( x ₁ ) + exp( x ₂ ) + … + exp( x _n ) )

サンプル最大値の良い近似値です。

サンプルの最大値と最小値は、最も極端な観測値を示す基本的な要約統計量であり、 5 つの数値の要約と、 7 つの数値の要約のバージョンおよび関連するボックス プロットで使用されます。

サンプルの最大値と最小値は、ノンパラメトリック予測区間を提供します。つまり、母集団からのサンプル、またはより一般的には交換可能なランダム変数のシーケンスでは、各観測値が最大値または最小値になる可能性が等しくなります。

したがって、サンプルがあり、別の観測値を選択した場合、これはこれまでに確認された最大値である確率、これまでに確認された最小値である確率を持ち、したがって、その他の時間は、サンプルの最大値とサンプルの最小値の間になります。したがって、サンプルの最大値と最小値をMとm で表すと、予測区間は [ m、M ] になります。 ${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\},}$${\displaystyle X_{n+1},}$${\displaystyle 1/(n+1)}$${\displaystyle 1/(n+1)}$${\displaystyle (n-1)/(n+1)}$${\displaystyle X_{n+1}}$${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}.}$${\displaystyle (n-1)/(n+1)}$

たとえば、n  = 19 の場合、[ m、M ] は 18/20 = 90% の予測区間を示します。つまり、90% の確率で、20 番目の観測値は、これまでに観測された最小値と最大値の間にあります。同様に、n  = 39 の場合は 95% の予測区間、n  = 199 の場合は 99% の予測区間となります。

外れ値に対する敏感さのため、データがクリーンでない限り、サンプル極値は推定値として確実に使用することはできません。堅牢な代替手段としては、最初と最後の十分位数があります。

ただし、クリーンなデータや理論的な設定では、特に小さなデータ セットでは中間範囲が最も効率的な推定値となる扁平分布の場合に、非常に優れた推定値となることがあります。

ただし、正規分布や急尖分布 などの中尖分布の位置の推定には非効率的です。

1 つまたは 2 つの未知のエンドポイント (つまりNが未知のエンドポイント、またはMとNの両方が未知のエンドポイント) を持つ均一分布から非置換サンプリングを行う場合、サンプル最大値、またはそれぞれサンプル最大値とサンプル最小値は、未知のエンドポイントに対する十分かつ完全な統計です。したがって、これらから導出される不偏推定量はUMVU推定量になります。 ${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$${\displaystyle M,M+1,\dots ,N}$

上位エンドポイントのみが不明な場合、サンプル最大値は母集団最大値の偏りのある推定値になりますが、偏りのない推定値( mはサンプル最大値、kはサンプル サイズ) は UMVU 推定値になります。詳細については 、ドイツの戦車問題を参照してください。${\displaystyle {\frac {k+1}{k}}m-1}$

両方のエンドポイントが不明な場合、サンプル範囲は母集団範囲の偏った推定値になりますが、上記の最大値を修正すると UMVU 推定値が得られます。

両方のエンドポイントが不明な場合、中間範囲は、間隔の中間点（ここでは、母集団の中央値、平均、または中間範囲に相当）の不偏（したがって UMVU）推定値になります。

サンプルの極値が十分な統計量である理由は、極値でないサンプルの条件付き分布が、サンプルの最大値と最小値の間の均一な間隔の分布にすぎないためです。つまり、端点が固定されると、内部の点の値は追加の情報を追加しません。

標本極値は、特に尖度の単純な正規性検定に使用できます。標本の最大値と最小値のt 統計量を計算し (標本平均を減算し、標本標準偏差で割ります)、それらが標本サイズに対して異常に大きい場合 ( 3 シグマ ルールとその表に従って、またはより正確にはスチューデントの t 分布に従って)、標本分布の尖度は正規分布の尖度から大幅に外れます。

たとえば、日常的なプロセスでは、3σ イベントは 1 年に 1 回 (暦日では 1 年半に 1 回) 発生すると予想されますが、4σ イベントは平均して暦日で 40 年ごと、営業日で 60 年ごとに発生し (一生に 1 回)、5σ イベントは 5,000 年ごとに発生し (記録された歴史では 1 回)、6σ イベントは 150 万年ごとに発生します (基本的に発生しません)。したがって、サンプルの極値が平均から 6 シグマ離れている場合、正規性に重大な欠陥があります。

さらに、このテストは、統計を必要とせずに伝達するのが非常に簡単です。

これらの正規性検定は、たとえば 尖度リスクに直面した場合に適用できます。

サンプル極値は極値理論において主に2つの役割を果たします。

• まず、極端なイベントの下限を示します。つまり、このサイズのサンプルでは、​​イベントは少なくともこれくらいの極端なものになる可能性があります。
• 第二に、より極端な事象の確率を推定するために使用されることもあります。

しかし、サンプルの極値をガイドラインとして使用する際には注意が必要です。裾の重い分布や非定常プロセスでは、極端なイベントは、これまでに観測されたどのイベントよりも大幅に極端になる可能性があります。これは、ブラックスワン理論で詳しく説明されています。

• 最大値と最小値