場のテンソル積

数学において、 2つの体のテンソル積とは、共通の部分体上の代数としてのテンソル積の ことである。部分体が明示的に指定されていない場合、2つの体は同じ特性を持ち、共通の部分体はそれらの素部分体となる。

2つの体のテンソル積は、体になる場合もあれば、体の直積になる場合もあり、場合によっては、ゼロでない冪零元を含むこともあります。

2つの場のテンソル積は、2つの場を共通の拡張場に埋め込むさまざまな方法を単一の構造で表現します。

まず、体の合成体の概念を定義します。この構成は体論で頻繁に現れます。合成体の背後にある考え方は、他の2つの体を含む最小の体を作ることです。合成体を正式に定義するためには、まず体のタワーを指定する必要があります。kを体とし、LとKをkの2つの拡大とします。合成体KLは次のように定義されます。${\displaystyle KL=k(K\cup L)}$ここで、右辺はKとLによって生成される拡大を表します。これは、KとL の両方を含む何らかの体が存在することを前提としています。周囲の体を容易に特定できる状況から始めるか (たとえば、KとL が両方とも複素数の部分体である場合)、またはKとL (同型コピーとして) の両方を十分大きな体に配置することを可能にする結果を証明します。

多くの場合、K と L の共通部分である体 N 上で取られた K ・ L をベクトル空間テンソル積として識別できます。たとえば、√2を有理数体に付加すると、${\displaystyle \mathbb {Q} }$Kを得るには、√3 でLを得る必要があります。複素数内のK . Lとして得られる体M は確かに存在します。${\displaystyle \mathbb {C} }$（同型を除いて）

${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }L}$

ベクトル空間として${\displaystyle \mathbb {Q} }$（この種の結果は、一般的には代数的整数論の分岐理論を用いて検証することができる。）

Mの部分体KとLは、(部分体N上で) 線形的に互いに素である。

${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

Kに対してLは単射である。^{[ 1 ]}当然のことながら、これは常に当てはまるわけではなく、例えばK = Lの場合などである。次数が有限の場合、単射性はここでは全単射性と同値である。したがって、 KとL がN上の線形的に互いに素な有限次数拡大体である場合、${\displaystyle KL\cong K\otimes _{N}L}$前述の有理数の拡張と同様である。

円分体の理論における重要なケースは、n が合成数である場合のn乗根について、 nを割り切る素数のp ^k乗根によって生成される部分体は、異なるpに対して線形的に互いに素であるということである。^{[ 2 ]}

一般理論を得るには、リング構造を考慮する必要がある。${\displaystyle K\otimes _{N}L}$製品を定義できる${\displaystyle (a\otimes b)(c\otimes d)}$である${\displaystyle ac\otimes bd}$（代数のテンソル積を参照）。この式は各変数に関してN上で多重線形であり、テンソル積上に環構造を定義するため、${\displaystyle K\otimes _{N}L}$可換なN代数、すなわち体のテンソル積と呼ばれるものへと変換する。

環の構造は、KとLの両方をNの何らかの体拡大に埋め込むすべての方法を考慮することによって分析できます。ここでの構成は、共通の部分体Nを仮定していますが、KとL が何らかの体Mの部分体であるとは事前に仮定していません(したがって、合成体を構成する際の注意点を回避しています)。K と L をそのような体 M に埋め込む場合、たとえばKの埋め込みα と L の埋め込み β を使用すると、環準同型γが得られます。${\displaystyle K\otimes _{N}L}$Mは次のように定義されます。

${\displaystyle \gamma (a\otimes b)=(\alpha (a)\otimes 1)\star (1\otimes \beta (b))=\alpha (a).\beta (b).}$

γ の核はテンソル積の素イデアルになります。逆に、テンソル積の任意の素イデアルは、N代数から整域(分数の体の内部)への準同型写像を与え、 N (のコピー) の拡張としてKとLをある体へ埋め込むことができます。

このようにして、構造を分析することができる。${\displaystyle K\otimes _{N}L}$: 原理的には、ゼロでない零根基(すべての素イデアルの共通部分) が存在する可能性があり、その商を取ると、N上のさまざまなMへのKとLのすべての埋め込みの積について話すことができます。

KとLがNの有限拡大である場合、テンソル積はN代数（したがってアルティン環）として有限次元であるため、状況は特に単純である。Rが根基である場合、次のようになると言える。${\displaystyle (K\otimes _{N}L)/R}$有限個の体の直積として表される。このような各体は、ある拡張MにおけるKとLの (本質的に異なる) 体の埋め込みの同値類の代表である。

具体的な例を挙げると、フィールドを考えてみましょう。${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)}$そして${\displaystyle L=\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)}$。 明らかに${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L\neq K}$同型ではあるが厳密には等しくない体であり、それらの（集合論的な）共通部分は素体である。${\displaystyle N=\mathbb {Q} }$それらのテンソル積

${\displaystyle K\otimes L=K\otimes _{N}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

場ではなく、4次元${\displaystyle \mathbb {Q} }$-代数。さらに、この代数は体の直和と同型である。

${\displaystyle K\otimes L\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\oplus \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

によって誘導されるマップを介して${\displaystyle 1\mapsto (1,1),z\mapsto ({\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})}$道徳的に${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$KとLの同型写像を介した同型写像までの最大の共通部分体とみなされるべきである。${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L}$最大の共通部分体としてより適切なこの候補に対してテンソル積を実行すると、実際には（かなり自明な）体が得られます。

${\displaystyle K\otimes _{\tilde {N}}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})={\tilde {N}}\cong K\cong L}$。

別の例として、Kが生成される場合${\displaystyle \mathbb {Q} }$2の立方根で、${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }K}$は、（コピーの）Kと、の分割体の和である。

X ³ − 2、

6次の${\displaystyle \mathbb {Q} }$これは、テンソル積の次元を計算することで証明できる。${\displaystyle \mathbb {Q} }$9 の場合、分割体にはKのコピーが 2 つ (実際には 3 つ) 含まれており、そのうち 2 つの合成であることがわかります。これは、この場合R = {0} であることを偶然にも示しています。

非ゼロの冪零関数につながる例:

P ( X ) = X ^p − T

Kは、p個の元を持つ有限体上の不定元Tにおける有理関数の体である（分離可能な多項式を参照：ここで重要なのは、P は分離可能ではないということである）。Lが体拡大K ( T ^{1/ p} ) ( Pの分解体)である場合、 L / Kは純粋に分離不可能な体拡大の例である。${\displaystyle L\otimes _{K}L}$要素

${\displaystyle T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}}$

は冪零です。K線形性を使用すると、p乗すると0になります。

代数的整数論では、体のテンソル積は（暗黙のうちに、しばしば）基本的なツールです。Kが拡大体である場合${\displaystyle \mathbb {Q} }$有限次数nの、${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$は常に、 と同型な体の積である。${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$完全実数体とは、実数体のみが存在する数体のことです。一般に、実数体r ₁と複素数体r ₂が存在し、次元を数えるとr ₁ +  2 r ₂ = nとなります。体因子は、古典的な文献で説明されている実埋め込みと複素共役埋め込みのペアと 1 対 1 で対応しています。

この考え方は、${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},}$どこ${\displaystyle \mathbb {Q} }$_pはp進数の体です。これは有限拡大の積です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$_{p は}、 p進計量の拡張に対するKの完了と 1-1 対応している。${\displaystyle \mathbb {Q} }$。

これは全体像を示しており、実際、ガロア理論を発展させる方法 （グロタンディークのガロア理論で用いられた手法に沿ったもの）を示している。分離可能な拡大の場合、根基は常に{0}であることが示せる。したがって、ガロア理論の対象となるのは、半単純な体同士の積の場合のみである。

• スカラーの拡張― 場の拡張と、その場上のベクトル空間とのテンソル積

• 「コンポジタム」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ケンプフ、ジョージ・R. (2012) [1995]. 「9.2 体のテンソル積の分解」 .代数構造. Springer. pp. 85–87 . ISBN  978-3-322-80278-1。
• Milne, JS (2017年3月18日).代数的整数論(PDF) . p.  17. 3.07.
• スタイン、ウィリアム（2004）。「古典的およびアデリック代数的整数論の簡単な入門」（PDF）。pp. 140–2。 
• ザリスキー、オスカー；サミュエル、ピエール（1975）[1958]。可換代数 I。大学院数学テキスト。第 28巻。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-90089-6. MR 0090581 . 

• 線形分離性の定義に関する MathOverflow のスレッド