反応拡散システム

反応拡散システムは、いくつかの物理現象に対応する数学モデルです。最も一般的なのは、1 つ以上の化学物質の濃度の空間的および時間的変化です。つまり、物質が相互に変化する局所的な化学反応と、物質が空間内の表面に広がる 拡散です。

反応拡散系は当然化学に応用されている。しかし、この系は非化学的な性質の動的プロセスも記述することができる。例としては、生物学、地質学、物理学（中性子拡散理論）、生態学が挙げられる。数学的には、反応拡散系は半線形放物型偏微分方程式の形をとる。これらは一般形式で表すことができる。

${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\underline {\boldsymbol {D}}}}\,\nabla ^{2}{\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}),}$

ここで、q ( x , t )は未知のベクトル関数、Dは拡散係数の対角行列、R はすべての局所反応を表します。反応拡散方程式の解は、進行波や波のような現象の形成だけでなく、縞模様、六角形、散逸ソリトンなどのより複雑な構造などの自己組織化パターンを含む、幅広い動作を示します。このようなパターンは「チューリングパターン」と呼ばれています。 ^[1]反応拡散微分方程式が成り立つ各関数は、実際には濃度変数を表します。

最も単純な反応拡散方程式は平面幾何学における1つの空間次元であり、

${\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),}$

はコルモゴロフ・ペトロフスキー・ピスクノフ方程式とも呼ばれる。^[2]反応項がゼロの場合、方程式は純粋な拡散過程を表す。対応する方程式はフィックの第二法則である。R ( u ) = u ( 1 − u )を選択すると、もともと生物集団の拡散を記述するために使用されたフィッシャーの方程式が得られます。^[3]レイリー・ベナール対流を記述するR ( u ) = u (1 − u ² )のニューウェル・ホワイトヘッド・シーゲル方程式、^{[4] [5]}燃焼理論 で生じるR ( u ) = u (1 − u )e ^{- β (1- u )}および0 < β < ∞ (ゼルドビッチ数) のより一般的なゼルドビッチ・フランク・カメネツキー方程式、^[6]ゼルドビッチ方程式とも呼ばれるR ( u ) = u ² − u ³の特定の退化ケース。 ^[7]

1成分系のダイナミクスは、発展方程式が変分形式でも記述できるため、一定の制約を受ける。

${\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}}$

そして、関数によって与えられた 「自由エネルギー」の永久的な減少を記述する。${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\tfrac {D}{2}}\left(\partial _{x}u\right)^{2}-V(u)\right]\,{\text{d}}x}$

ポテンシャルV ( u )はR ( u ) = ⁠dV （ユー）​/あなた​⁠ .

定常均質解が複数あるシステムでは、典型的な解は均質状態を結ぶ移動波面によって与えられる。これらの解は、形状を変えずに一定速度で移動し、u ( x , t ) = û ( ξ )の形をとり、 ξ = x − ctとなる。ここで、c は移動波の速度である。移動波は一般的に安定した構造であるが、すべての非単調な定常解（例えば、波面と反波面のペアからなる局所領域）は不安定であることに注意する。c = 0の場合、このステートメントには簡単な証明がある。^[8] u ₀ ( x )が定常解で、u = u ₀ ( x ) + ũ ( x , t )が無限小摂動解である場合、線形安定性解析により次の式が得られる。

${\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\qquad U(x)=-R^{\prime }(u){\Big |}_{u=u_{0}(x)}.}$

ũ = ψ ( x )exp(− λt )という仮定のもとで、固有値問題に到達する 。

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),}$

シュレーディンガー型で、負の固有値は解の不安定性をもたらします。並進不変性により、ψ = ∂ _x  u ₀ ( x )は、固有値λ = 0を持つ中立固有関数であり、他のすべての固有関数は、対応する実固有値の大きさがゼロの数とともに単調に増加するノードの数の増加に従ってソートできます。固有関数ψ = ∂ _x u ₀ ( x )は少なくとも 1 つのゼロを持つ必要があり、非単調な定常解の場合、対応する固有値λ = 0は最小のものにすることはできず、そのため不安定性を意味します。  

移動前線の速度c を決定するには、移動座標系を使用して静止解を調べます。

${\displaystyle D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.}$

この方程式には、減衰係数 c を持つ力R の影響下で、位置ûを持つ質量Dが「時間」ξの経過中に移動するという優れた機械的類似点があり、これにより、さまざまな種類の解の構築とcの決定を非常にわかりやすく行うことができます。

1次元から多次元空間に移行する場合、1次元システムからのいくつかの記述が依然として適用できます。平面または湾曲した波面は典型的な構造であり、湾曲した波面の局所速度が局所的な曲率半径に依存するようになるため、新しい効果が発生します（これは極座標に移行すると確認できます）。この現象は、いわゆる曲率駆動不安定性につながります。^[9]

2成分系では、1成分系に比べてはるかに広範囲の現象が起こり得る。アラン・チューリングによって最初に提唱された重要な考え方は、局所系では安定している状態が拡散の存在下では不安定になる可能性があるというものである。^[10]

しかし、線形安定性解析によれば、一般的な2成分系を線形化すると、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}u\\\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}}$

平面波の摂動

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}$

定常均質解は

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}+{\boldsymbol {R}}^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}.}$

チューリングの考えは、反応関数のヤコビアンR ′の符号によって特徴付けられるシステムの4つの同値類でのみ実現できる。特に、有限波動ベクトルkが最も不安定なものであると仮定すると、ヤコビアンは次の符号を持つ必要がある。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-\\+&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}+&+\\-&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&+\\-&+\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&-\\+&+\end{pmatrix}}.}$

このクラスのシステムは、その最初の代表例にちなんで活性化因子-阻害因子システムと名付けられています。基底状態に近い状態では、一方の成分が両方の成分の生成を刺激し、もう一方の成分がそれらの成長を阻害します。最も顕著な代表例は、フィッツヒュー-ナグモ方程式です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+uv\end{aligned}}}$

f  ( u ) = λu − u ³ − κは活動電位が神経をどのように伝わるかを表します。 ^{[11] [12]}ここで、d _u、d _v、τ、σ、λは正の定数です。  

活性剤-阻害物質系がパラメータの変化を受けると、均質な基底状態が安定する条件から線形に不安定な条件に移行する場合があります。対応する分岐は、優勢波数k = 0で全体的に振動する均質状態へのホップ分岐、または優勢な有限波数で全体的にパターン化された状態へのチューリング分岐のいずれかです。後者は 2 つの空間次元で、通常、縞模様または六角形のパターンになります。

• 亜臨界チューリング分岐: 上記のフィッツヒュー-ナグモ型の 2 成分反応拡散システムにおけるノイズの多い初期条件からの六角形パターンの形成。
• 
  t = 0におけるノイズの多い初期条件 。
• 
  t = 10におけるシステムの状態 。
• 
  t  = 100でほぼ収束した状態。

フィッツヒュー・ナグモの例では、チューリング分岐とホップ分岐の線形安定領域の境界を示す中立安定曲線は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\text{n}}^{H}(k):&{}\quad {\frac {1}{\tau }}+\left(d_{u}^{2}+{\frac {1}{\tau }}d_{v}^{2}\right)k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}),\\[6pt]q_{\text{n}}^{T}(k):&{}\quad {\frac {\kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{u}^{2}k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}).\end{aligned}}}$

分岐が亜臨界の場合、パターンが基底状態と共存するヒステリシス領域で、局所的な構造（散逸ソリトン）がしばしば観察される。他の頻繁に遭遇する構造には、パルス列（周期進行波とも呼ばれる）、スパイラル波、ターゲットパターンがある。これらの3つの解のタイプは、局所的なダイナミクスが安定したリミットサイクルを持つ2成分（またはそれ以上）の反応拡散方程式の一般的な特徴でもある^[13]

• 上記のフィッツヒュー・ナグモ型の2成分反応拡散系に見られる他のパターン。
• 
  回転する螺旋。
• 
  ターゲットパターン。
• 
  定常局所パルス（散逸ソリトン）。

様々なシステムに対して、2つ以上の成分を持つ反応拡散方程式が提案されている。例えば、ベロウソフ・ジャボチンスキー反応^[14]、血液凝固[ ^15]、核分裂波^{[16] 、平面}ガス放電システム^[17]などである。

より多くのコンポーネントを持つシステムでは、1つまたは2つのコンポーネントを持つシステムでは不可能なさまざまな現象（グローバルフィードバックなしで複数の空間次元で安定して実行されるパルスなど）が可能になることが知られています。^[18]基礎となるシステムの特性に応じて起こり得る現象の概要と体系的な概要は、^{[19]に記載されています。}

近年、反応拡散系はパターン形成のプロトタイプモデルとして大きな関心を集めている。^[20]上記のパターン（フロント、スパイラル、ターゲット、六角形、ストライプ、散逸ソリトン）は、局所的な反応項などで大きな矛盾があるにもかかわらず、さまざまな種類の反応拡散系で見つけることができます。また、反応拡散プロセスは生物学における形態形成に関連するプロセスの重要な基礎であり、 ^{[21] [22]}動物の毛皮や皮膚の色素沈着にさえ関連している可能性があると主張されています。 ^{[23] [24]}反応拡散方程式の他の応用には、生態学的侵入、^[25]疫病の蔓延、^[26]腫瘍の成長、^{[27] [28] [29]}核分裂波のダイナミクス、^[30]創傷治癒^[31]および幻覚などがあります。^[32]反応拡散系が注目されるもう一つの理由は、非線形偏微分方程式であるにもかかわらず、解析的な扱いが可能であることがよくあるからである。^{[8] [9] [33] [34] [35] [20]}

化学反応拡散システムにおける制御可能な実験は、これまで3つの方法で実現されてきた。第一に、ゲルリアクター^[36]または充填毛細管^[37]を使用する。第二に、触媒表面の温度パルスが研究されている。^{[38] [39]}第三に、反応拡散システムを使用して走行神経パルスの伝播をモデル化している。^{[11] [40]}

これらの一般的な例とは別に、適切な状況下ではプラズマ^[41]や半導体^[42]などの電気輸送システムは反応拡散アプローチで記述できることが判明しており、これらのシステムに対してパターン形成に関するさまざまな実験が行われてきました。

反応拡散系は数値数学の手法を用いて解くことができる。研究文献にはいくつかの数値的処理が存在している。^{[43] [20] [44]}また、複雑な形状に対しても数値解法が提案されている。^{[45] [46]反応拡散系は、例えば可逆的な相互作用粒子反応ダイナミクスを採用したSRSimやReaDDy [47]}などの粒子ベースのシミュレーションツールを用いて、最も詳細に記述される。^[48]

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