パウリの排他原理

量子力学において、パウリの排他原理は、半整数スピンを持つ2つ以上の同一粒子（すなわちフェルミオン）は、量子力学の法則に従う系において、同時に同じ量子状態を占めることはできないと述べている。この原理は、オーストリアの物理学者ヴォルフガング・パウリによって1925年に電子について定式化され、後に1940年のスピン統計定理によってすべてのフェルミオンに拡張された。

原子内の電子の場合、排他原理は次のように述べることができます。多電子原子では、2 つの電子が、主量子数n、方位量子数ℓ 、磁気量子数mℓ、スピン量子数msの 4 つの量子数すべてにおいて同じ 2 つの値を持つことは不可能です。たとえば、2 つの電子が同じ軌道に存在する場合、それらのn、_ℓ、mℓの値は等しくなります。この場合、2 つの ms (スピン) の値は_異なって_いなければなりません。スピン射影ms_{の可能な値は+1/2}と −1/2 の2 つだけなので、一方の電子はms = +1/2 を持ち、もう一方の電子_はms = _−1/2を持つことになります。

整数スピンを持つ粒子（ボソン）は、パウリの排他原理の影響を受けません。レーザーによって生成される光子や、ボーズ・アインシュタイン凝縮体中の原子のように、任意の数の同一のボソンが同じ量子状態を占めることができます。

排他原理を正当化する厳密な記述は、2つの同一粒子の交換において、全（多粒子）波動関数はフェルミオンでは反対称であり、ボソンでは対称である、というものである。これは、 2つの同一粒子の空間座標とスピン座標を交換すると、全波動関数はフェルミオンでは符号が反転する（正から負、またはその逆）が、ボソンでは符号が反転しないことを意味する。したがって、仮に2つのフェルミオンが同じ状態（例えば、同じ原子の同じ軌道で同じスピンを持つ状態）にあったとすると、それらを交換しても何も変化せず、全波動関数は変化しない。しかし、全波動関数が符号を反転させ（これはフェルミオンに必要である）、かつ変化しない唯一の方法は、そのような関数があらゆる場所でゼロになることであり、つまりそのような状態は存在し得ない。この推論は、符号が反転しないボソンには当てはまらない。

パウリの排他原理は、すべてのフェルミオン（半整数スピンを持つ粒子）の挙動を記述する一方、ボソン（整数スピンを持つ粒子）は他の原理に従う。フェルミオンには、クォーク、電子、ニュートリノなどの素粒子が含まれる。さらに、陽子や中性子（3つのクォークから構成される亜原子粒子）などのバリオンや、一部の原子（ヘリウム3など）もフェルミオンであり、したがってパウリの排他原理によって記述される。原子は、全体的なスピンが異なる場合があり、それによってフェルミオンかボソンかが決まる。たとえば、ヘリウム3はスピン1/2を持ち、したがってフェルミオンであるが、ヘリウム4はスピン0を持ち、ボソンである。^{[ 2 ]： 123-125}パウリの排他原理は、物質の大規模な安定性から原子の化学的挙動まで、日常の物質の多くの特性の根底にある。

半整数スピンとは、フェルミオンの固有角運動量の値が${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$（縮小プランク定数）に半整数（1/2、3/2、5/2など）を掛けた値。量子力学の理論では、フェルミオンは反対称状態によって記述されます。対照的に、整数スピンを持つ粒子（ボソン）は対称波動関数を持ち、同じ量子状態を共有する場合があります。ボソンには、光子、超伝導の原因となるクーパー対、Wボソン、Zボソンが含まれます。フェルミオンは、フェルミ・ディラック統計分布に従うことからその名が付けられ、ボソンはボーズ・アインシュタイン分布からその名が付けられています。

20 世紀初頭には、偶数個の電子を持つ原子や分子は奇数個の電子を持つ原子や分子よりも化学的に安定していることが明らかになった。例えば、1916 年のギルバート N. ルイスの論文「原子と分子」では、化学的挙動に関する 6 つの仮説のうちの 3 番目の仮説として、原子は任意の電子殻に偶数個の電子を保持する傾向があり、特に 8 個の電子を保持する傾向があると述べており、これは立方体の 8 つの角に通常対称的に配置されていると想定されている。^{[ 3 ]} 1919 年に化学者のアーヴィング ラングミュアは、原子内の電子が何らかの方法で接続またはクラスター化されている場合、周期表を説明できると示唆した。電子のグループは、原子核の周りの一連の電子殻を占めていると考えられた。 ^{[ 4 ]} 1922年、ニールス・ボーアは、特定の数の電子（例えば2個、8個、18個）が安定した「閉殻」に対応すると仮定することで、原子モデルを更新した。 ^{[ 5 ]： 203}

パウリは、当初は経験的なものに過ぎなかったこれらの数値の説明を求めた。同時に、原子分光法と強磁性におけるゼーマン効果の実験結果を説明しようとしていた。彼は、1924 年のエドマンド C. ストーナーの論文に重要な手がかりを見つけた。その論文では、主量子数( n ) の特定の値に対して、すべての縮退したエネルギー準位が分離される外部磁場中のアルカリ金属スペクトルにおける単一電子のエネルギー準位の数は、同じnの値に対する希ガスの閉殻内の電子の数に等しいと指摘されていた。これにより、パウリは、電子の状態を 4 つの量子数で定義すれば、閉殻内の複雑な電子の数は、状態ごとに1 つの電子という単純な規則に還元できることに気づいた。この目的のために、彼は新しい 2 値量子数を導入し、サミュエル グーズミットとジョージ ウーレンベックによって電子スピンとして特定された。^{[ 6 ] [ 7 ]}

パウリはノーベル賞受賞講演で、排他原理における量子状態の対称性の重要性を明らかにした。^{[ 8 ]}

さまざまな対称性のクラスの中で、最も重要なもの（さらに、2 つの粒子の場合、唯一のもの）は、対称クラスです。対称クラスでは、2 つの粒子の空間座標とスピン座標を入れ替えても波動関数の値は変わりません。反対称クラスでは、そのような入れ替えに対して波動関数の符号が変わります。[反対称クラスは]排他原理の正しい一般的な波動力学的定式化です。

単一値の多粒子波動関数を用いたパウリの排他原理は、波動関数が交換に関して反対称であることを要求することと同等である。${\displaystyle |x\rangle }$そして${\displaystyle |y\rangle }$1粒子系を記述するヒルベルト空間の基底ベクトルの範囲を、テンソル積によって基底ベクトルを生成する。${\displaystyle |x,y\rangle =|x\rangle \otimes |y\rangle }$2つの粒子からなる系を記述するヒルベルト空間。任意の2粒子状態は、これらの基底ベクトルの重ね合わせ（つまり和）として表すことができる。

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle ,}$

ここで、各A ( x , y )は（複素）スカラー係数です。交換に関する反対称性とは、A ( x , y ) = − A ( y , x )を意味します。これは、x = yのときにA ( x , y ) = 0 となることを意味し、これはパウリの排他原理です。基底の局所的な変換によって反対称行列が反対称性を維持するため、これは任意の基底で成り立ちます。

逆に、すべての基底で対角量A ( x , x )がゼロであれば、波動関数成分は

${\displaystyle A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |{\Big (}|x\rangle \otimes |y\rangle {\Big )}}$

は必然的に反対称である。それを証明するために、行列要素を考える。

${\displaystyle \langle \psi |{\Big (}(|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ){\Big )}.}$

これはゼロです。なぜなら、2つの粒子が両方とも重ね合わせ状態にある確率はゼロだからです。${\displaystyle |x\rangle +|y\rangle }$しかし、これは

${\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle 。}$

最初と最後の項は対角要素であり、ゼロであるため、全体の和はゼロになります。したがって、波動関数行列の要素は次の式を満たします。

${\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0,}$

または

${\displaystyle A(x,y)=-A(y,x).}$

n > 2 個の粒子を持つシステムの場合、多粒子基底状態は1 粒子基底状態のn重テンソル積となり、波動関数の係数は${\displaystyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$n個の1粒子状態によって識別される。反対称性の条件は、任意の2つの状態を交換するたびに係数の符号が反転しなければならないことを示している。${\displaystyle A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=-A(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )}$いかなる場合でも${\displaystyle i\neq j}$排除原理は、もし${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$いかなる場合でも${\displaystyle i\neq j,}$それから${\displaystyle A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=0.}$これは、 n個の粒子のいずれも同じ状態にはなり得ないことを示している。

一般的な

• ノーベル賞受賞講演：排他原理と量子力学 パウリによる排他原理の発展に関する説明。