パラメトリック方程式

数学において、パラメトリック方程式は、点の座標などのいくつかの量を、パラメータと呼ばれる1つまたは複数の変数の関数として表現します。^[1]

パラメータが1つの場合、パラメトリック方程式は移動する点の軌跡を表現するのによく使われます。この場合、パラメータは時間であることが多いですが、必ずしもそうとは限りません。また、点は曲線を描きます。この曲線はパラメトリック曲線と呼ばれます。パラメータが2つの場合、点は 表面を描きます。この表面はパラメトリック表面と呼ばれます 。いずれの場合も、方程式は総称してパラメトリック表現、^[2]またはパラメトリックシステム、^[3]あるいはオブジェクトのパラメータ化（またはパラメトリゼーションと綴る）と呼ばれます。 ^{[1] [4] [5]}

たとえば、方程式は 単位円 のパラメトリック表現を形成します。ここで、tはパラメータです。点( x、y )が単位円上にあるのは、これらの 2 つの方程式がその点を生成するようなtの値がある場合のみです。個々のスカラー出力変数のパラメトリック方程式が、ベクトル内の単一のパラメトリック方程式に結合されることもあります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle (x,y)=(\cos t,\sin t).}$$

パラメトリック表現は一般に一意ではないため（以下の「2次元の例」のセクションを参照）、同じ量が複数の異なるパラメータ化によって表現される場合があります。^[1]

曲線と曲面に加えて、パラメトリック方程式は、高次元の多様体と代数多様体を記述できます。パラメーターの数は多様体または多様体の次元に等しく、方程式の数は多様体または多様体が考慮される空間の次元に等しくなります (曲線の場合、次元は1で、1 つのパラメーターが使用されます。曲面の場合、次元は2で、2 つのパラメーターが使用されます、など)。

パラメトリック方程式は運動学でよく使用され、物体の軌道は時間をパラメータとする方程式で表されます。この用途のため、単一のパラメータはtとラベル付けされることが多いですが、パラメータは他の物理量（幾何学的変数など）を表すことも、便宜上任意に選択することもできます。パラメータ化は一意ではなく、複数のパラメトリック方程式セットで同じ曲線を指定することもできます。^[6]

一連のパラメトリック方程式を単一の暗黙的方程式に変換するには、同時方程式から変数t を除去する必要があります。このプロセスは暗黙化と呼ばれます。これらの方程式の 1 つがtについて解ける場合、得られた式を他の方程式に代入して、 xとyのみを含む方程式を得ることができます。を解いて、これを で使用すると、明示的な方程式が得られますが、より複雑な場合は、次の形式の暗黙的な方程式が得られます。${\displaystyle x=f(t),\ y=g(t).}$${\displaystyle y=g(t)}$${\displaystyle t=g^{-1}(y)}$${\displaystyle x=f(t)}$${\displaystyle x=f(g^{-1}(y)),}$${\displaystyle h(x,y)=0.}$

パラメータ化が有理関数によって与えられる場合 $${\displaystyle x={\frac {p(t)}{r(t)}},\qquad y={\frac {q(t)}{r(t)}},}$$

ここで、p、q、およびr は集合的に互いに素な多項式であり、結果の計算によって暗黙化が可能になります。より正確には、暗黙の方程式は、xr ( t ) – p ( t )とyr ( t ) – q ( t )のtに関する結果です。

高次元（2 つ以上の座標または 1 つ以上のパラメータ）では、有理パラメトリック方程式の暗黙化はグレブナー基底計算によって行うことができます。グレブナー基底 § 高次元での暗黙化を参照してください。

半径aの円を例にとると、パラメトリック方程式 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\end{aligned}}}$$

は、ピタゴラスの三角関数の 恒等式によってxとyに関して暗黙的に表すことができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{a}}&=\cos(t)\\{\frac {y}{a}}&=\sin(t)\\\end{aligned}}}$$ そして 、 こうして $${\displaystyle \cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1,}$$$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}=1,}$$$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$$

これは原点を中心とする円の標準的な方程式です。

放物線の最も単純な方程式は、 $${\displaystyle y=x^{2}}$$

は、 自由パラメータtを用いて（自明に）パラメータ化することができ、$${\displaystyle x=t,y=t^{2}\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

より一般的には、明示的な方程式で与えられる曲線は $${\displaystyle y=f(x)}$$

は、 自由パラメータtを用いて（自明に）パラメータ化することができ、$${\displaystyle x=t,y=f(t)\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

より複雑な例は次の通りです。通常の（直交）方程式で記述される単位円を考えてみましょう。 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$$

この方程式は次のようにパラメータ化できます。 $${\displaystyle (x,y)=(\cos(t),\;\sin(t))\quad \mathrm {for} \ 0\leq t<2\pi .}$$

デカルト方程式を使用すると、点が円上にあるかどうかを簡単に確認できます。パラメトリック バージョンを使用すると、プロット上の点を簡単に取得できます。

いくつかの状況では、有理関数（つまり2つの多項式の分数）のみを含むパラメトリック方程式が存在する場合は、それが好まれる。円の場合、そのような有理パラメータ化は $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

この一対のパラメトリック方程式では、点(−1, 0) はtの実数値ではなく、 t が無限大に近づくときのxとyの極限によって表されます。

標準位置（中心が原点、長軸がx軸に沿う）にある半軸aとbを持つ楕円は、次のようにパラメトリックに表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos t\\y&=b\,\sin t\,.\end{aligned}}}$$

楕円の一般的な位置は次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}x={}&&X_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&-b\,\sin t\,\sin \varphi \\y={}&&Y_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+b\,\sin t\,\cos \varphi \end{alignedat}}}$$

パラメータt は0から2 πまで変化します。ここで、( X _c , Y _c )は楕円の中心であり、φ はx軸と楕円の長軸 の間の角度です。

両方のパラメータ化は、接線半角の公式と設定を使用することで合理的に行うことができます。${\textstyle \tan {\frac {t}{2}}=u\,.}$

リサージュ曲線は楕円に似ていますが、xとy の 正弦波は同位相ではありません。標準位置では、リサージュ曲線は次のように表されます 。 ここで、k _xとk _yは、図形の葉の数を表す定数です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos(k_{x}t)\\y&=b\,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}}$$

東西に開いた双曲線は、次のようにパラメトリックに表現できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\,,\end{aligned}}}$$

あるいは、合理的に

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

南北に開いた双曲線は、次のようにパラメトリックに表現できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b\tan t+h\\y&=a\sec t+k\,,\end{aligned}}}$$

あるいは、合理的に

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+h\\y&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

これらのすべての式において、( h , k )は双曲線の中心座標、aは半長軸の長さ、b は半短軸の長さです。これらの式の有理形式では、点( −a , 0)と(0 , −a )はそれぞれtの実数値で表されるのではなく、 t が無限大に近づくときのxとyの極限であることに注意してください。

下トロコイドは、半径rの円に付いた点が、半径Rの固定円の内側を回って描く曲線であり、その点は内側の円の中心から 距離dにあります。

• 
  r = dとなる下トロコイド
• 
  R = 5、r = 3、d = 5の下トロコイド

下トロコイドのパラメトリック方程式は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta )&=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\y(\theta )&=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\,.\end{aligned}}}$$

例:

• 
  r = 6 r = 4 d = 1
• 
  R = 7 r = 4 d = 1
• 
  R = 8 r = 3 d = 2
• 
  R = 7 r = 4 d = 2
• 
  r = 15 r = 14 d = 1

パラメトリック方程式は、高次元空間の曲線を記述するのに便利です。例:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}}$$

は、半径がaで、1回転ごとに2πbずつ上昇する3次元曲線、らせんを描いています。この方程式は、平面上では円の方程式と同じです。上記のような式は、一般的に次のように書かれます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=(x(t),y(t),z(t))\\&=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,,\end{aligned}}}$$

ここでrは3次元ベクトルです。

主半径Rと副半径rのトーラスは、次のようにパラメータ的に定義される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\y&=\sin(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\z&=r\sin(u)\,.\end{aligned}}}$$

ここで、2つのパラメータtとuは両方とも0から2πの間で変化します。

• 
  R = 2、 r = 1/2

uが0から2 πまで変化すると、表面上の点はトーラスの穴を通る短い円の周りを動きます。tが0から2 πまで変化すると、表面上の点はトーラスの穴の周りの長い円の周りを動きます。

点を通りベクトルに平行な直線のパラメトリック方程式は^[7]である。${\displaystyle \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}$${\displaystyle a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$

運動学では、物体の空間上の経路は一般にパラメトリック曲線として記述され、各空間座標は独立したパラメータ（通常は時間）に明示的に依存します。このように使用すると、物体の座標のパラメトリック方程式のセットは、位置のベクトル値関数を集合的に構成します。このようなパラメトリック曲線は、項ごとに積分および微分できます。したがって、粒子の位置がパラメトリックに次のように記述される場合、 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))\,,}$$

その速度は次のように求められる 。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&=\mathbf {r} '(t)\\&=(x'(t),y'(t),z'(t))\,,\end{aligned}}}$$

そしてその加速は $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {r} ''(t)\\&=(x''(t),y''(t),z''(t))\,.\end{aligned}}}$$

パラメトリック方程式のもう一つの重要な用途は、コンピュータ支援設計（CAD）の分野です。 ^[8]たとえば、平面曲線を記述するために一般的に使用される次の3つの表現を考えてみましょう。

それぞれの表現には、CAD アプリケーションにとっての利点と欠点があります。

明示的な表現は非常に複雑になる場合があり、存在しない場合もあります。さらに、幾何学的変換、特に回転に対しては適切に動作しません。一方、明示的な表現からはパラメトリック方程式と暗黙的な方程式を簡単に導き出すことができるため、単純な明示的な表現が存在する場合は、他の両方の表現の利点が得られます。

暗黙的表現では、曲線上の点を生成することや、実際の点が存在するかどうかを判断することが困難になる場合があります。一方、暗黙的表現は、特定の点が曲線上にあるかどうか、または閉じた曲線の内側にあるか外側にあるかを判断するのに適しています。

このような決定はパラメトリック表現では難しいかもしれないが、パラメトリック表現は曲線上の点を生成したり、曲線をプロットしたりするのに最適である。^[9]

整数幾何学における多くの問題は、パラメトリック方程式を使って解くことができます。古典的な解決法としては、辺の長さa、b、斜辺の長さcが互いに素な整数であるような直角三角形のユークリッドのパラメトリック化があります。aとb は両方とも偶数ではないので（そうでなければ a、b、cは互いに素ではありません）、aを偶数に交換すると、パラメトリック化は次のように なります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2mn\\b&=m^{2}-n^{2}\\c&=m^{2}+n^{2}\,,\end{aligned}}}$$

ここで、パラメータmとn は、両方とも奇数ではない互いに素な正の整数です。

a、b、cに任意の正の整数 を掛けると 、3 辺の長さが整数であるすべての直角三角形のパラメーター化が得られます。

n 個の未知数を持つm 個の線形方程式のシステムは、解が 1 つ以上ある場合、不確定である。これは、システムの行列とその拡張行列が同じ階数rを持ち、r < n の場合に発生する。この場合、n − r 個の未知数をパラメータとして選択し、すべての解をパラメトリック方程式として表すことができる。この場合、すべての未知数は、選択した未知数の線形結合として表される。つまり、未知数が^[10]の場合、解を表現するためにそれらを並べ替えることができる。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\beta _{1}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{1,j}x_{j}\\\vdots \\x_{r}&=\beta _{r}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{r,j}x_{j}\\x_{r+1}&=x_{r+1}\\\vdots \\x_{n}&=x_{n}.\end{aligned}}}$$

このようなパラメトリック方程式は、システムの解のパラメトリック形式^{と呼ばれます。 [10]}

解のパラメトリック形式を計算する標準的な方法は、ガウス消去法を使用して、拡張行列の縮小された行階段形式を計算することです。パラメータとして使用できる未知数は、先頭のエントリ（つまり、行または行列の最も左にあるゼロ以外のエントリ）を含まない列に対応するものであり、パラメトリック形式は簡単に推測できます。^[10]

• 曲線
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• 位置ベクトル
• ベクトル値関数
• 弧の長さによるパラメータ化
• パラメトリック微分

• 平面上にパラメトリック曲線を描くWebアプリケーション