オルソセンター

三角形の垂心は、通常Hで表され、3つの高さ（延長されている場合もある）が交差する点である。^{[1] [2]}垂心は、三角形が鋭角である場合にのみ 三角形の内側にある。直角三角形の場合、垂心は直角の頂点と一致します。 ^[2]

A、B、Cを三角形の頂点と角度、辺の長さとする。垂心は三線座標系^{[3]を持つ。}${\displaystyle a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sec A:\sec B:\sec C\\&=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,\end{aligned}}}$$

および重心座標

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&=\tan A:\tan B:\tan C.\end{aligned}}}$$

重心座標は三角形の内部の点に対してはすべて正ですが、外部の点に対しては少なくとも 1 つが負であり、頂点の点に対しては 2 つの重心座標がゼロであるため、垂心に対して与えられた重心座標は、垂心が鋭角三角形の内部にあり、直角三角形の直角頂点上にあり、鈍角三角形の外部にあることを示しています。

複素平面において、点 A、B、Cが数 z _A、z _B、z _Cを表し、三角形△ ABCの外心が平面の原点にあると仮定します。すると、複素数は

${\displaystyle z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}}$

は点H 、すなわち三角形△ ABCの高度によって表される。^{[4]このことから、}自由ベクトルによる垂心Hの以下の特徴付けが簡単に確立できる。

${\displaystyle {\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.}$

これまでのベクトル恒等式の最初のものは、ジェームズ・ジョセフ・シルベスターによって提唱されたシルベスター問題としても知られています。^[5]

D、E、F がそれぞれA、B、Cからの高さのフィートを表すものとします。

• 垂心が高度を分割する線分の長さの積は、3つの高度すべてで同じである: ^{[6] [7]}

${\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HD}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HE}}={\overline {CH}}\cdot {\overline { HF}}.}$

この定数の平方根を半径とするHを中心とする円は三角形の極円である。^[8]

• 3つの高度における、底辺からの垂心の距離と高度の長さの比の合計は1である: ^[9] (この性質と次の性質は、任意の内点とそれを通る3つのセビアンに関するより一般的な性質の応用である。)

${\displaystyle {\frac {\overline {HD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {HE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {HF} }{\overline {CF}}}=1.}$

• 3つの高度における垂心頂点からの距離と高度の長さの比の合計は2である: ^[9]

${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BH}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CH} }{\overline {CF}}}=2.}$

• 垂心の等角共役点は三角形の外心である。 ^[10]
• 垂心の等尺共役点は反補三角形の対称点である。^[11]
• 平面上の 4 つの点のうち 1 つが他の 3 つの点によって形成される三角形の垂心である場合、これを垂心系または垂心四角形と呼びます。

幾何学において、垂心系は平面上の4点の集合であり、そのうちの1点は他の3点によって形成される三角形の垂心である。同様に、点間の互いに交わらない2点を通る線は直交し、4点のうちの任意の3点を通る4つの円の半径は同じである。^[12]

4 つの点が垂心系を形成する場合、 4 つの点のそれぞれが他の 3 つの点の垂心になります。これら 4 つの三角形はすべて、同じ9 点円を持ちます。したがって、これら 4 つの三角形はすべて、同じ外接半径の外接円を持つ必要があります。

三角形の外接半径をRとすると、^{[13] [14]}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}=12R^{2}.}$

さらに、三角形の内接円の半径をr、外接円の半径をr _a、r _b、r _c、外接円の半径をRとすると、垂心から頂点までの距離に関して次の関係が成り立つ。^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}+r_{b}+r_{c}+r={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\&r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$

例えば、任意の高さADを延長して外接円Pと交差させ、 AD が外接円の弦となるようにすると、足D は線分HP を二等分する。^[7]

${\displaystyle {\overline {HD}}={\overline {DP}}.}$

三角形の一辺に外接し、他の辺の延長線に接するすべての放物線の準線は垂心を通る。 ^[16]

三角形の垂心を通る円錐外接線は直角双曲線である。^[17]

9点円の垂心H、重心 G、外心 O、中心Nはすべて、オイラー線と呼ばれる単一の線上にあります。^[18] 9点円の中心は、垂心と外心の間のオイラー線の中点にあり、重心と外心の間の距離は、重心と垂心の間の距離の半分です。^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {OH}}=2{\overline {NH}},\\&2{\overline {OG}}={\overline {GH}}.\end{aligned }}}$

垂心は重心よりも内心 Iに近く、垂心は内心よりも重心から遠いです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {HI}}&<{\overline {HG}},\\{\overline {HG}}&>{\overline {IG}}.\end{aligned} }}$

辺a、b、c、内接円半径 r、外接円半径 Rに関しては、^{[20] [21] : p. 449}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {OH}}^{2}&=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C\\&=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\\{\overline {HI}}^{2}&=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.\end{aligned}}}$

三角形△ ABCが斜角（直角を含まない）の場合、元の三角形の垂心の脚三角形は垂心三角形または高低三角形と呼ばれる。つまり、斜三角形の高低の足は垂心三角形△ DEF を形成する。また、垂心三角形△ DEFの内心（内接円の中心）は元の三角形△ ABCの垂心である。^[22]

直交三角形の頂点の 三線座標は次のように与えられる。$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}D=&0&:&\sec B&:&\sec C\\E=&\sec A&:&0&:&\sec C\\F=&\sec A&:&\sec B&:&0\end{array}}}$$

直交三角形の延長された辺は、基準三角形の反対側の延長された辺と３つの同一直線上で交わる。^{[23] [24] [22]}

いかなる鋭角三角形においても、最小の周長を持つ内接三角形は直交三角形である。^[25]これは1775年に提起されたファニャーノの問題の解である。 ^[26]直交三角形の辺は、元の三角形の頂点における外接円の接線と平行である。^[27]

鋭角三角形の直交三角形は三角形の光路を与える。^[28]

△ ABCの辺の中点にある9点円の接線は直交三角形の辺と平行であり、直交三角形と相似な三角形を形成する。^[29]

直交三角形は接線三角形と密接な関係があり、次のように構成されます。三角形△ ABC の頂点Aにおける外接円の接線をL _Aとし、同様にL _B、 L _Cを定義します。接線三角形は△ A"B"C" で 、その辺は三角形△ ABCの外接円の頂点における接線です。これは直交三角形と相似です。接線三角形の外心、および直交三角形と接線三角形の相似中心は、オイラー線上にあります。^{[21] : p. 447}${\displaystyle A''=L_{B}\cap L_{C},}$ ${\displaystyle B''=L_{C}\cap L_{A},}$ ${\displaystyle C''=L_{C}\cap L_{A}.}$

接線三角形の頂点の三線座標は次のように与えられます 。 基準三角形とその直交三角形は直交三角形です。 $${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}A''=&-a&:&b&:&c\\B''=&a&:&-b&:&c\\C''=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$

直交三角形の詳細については、こちらをご覧ください。

三角形の 3 つの高さが (垂心で) 一致するという定理は、現存するギリシャの数学テキストには直接述べられていないが、アルキメデス(紀元前 3 世紀)の著書とされる『補題集』 (命題 5)で使用されており、同書は現存しない「直角三角形に関する論文の注釈」を引用している。この定理はパップス( 『数学コレクション』、VII、62、340年頃) にも言及されている。^{[30]この定理は、}アル=ナサウィー(11 世紀) の『補題集』注釈で明示的に述べられ、証明されており、アル=クヒ(  10 世紀初頭) の著書とされている。^[31]

このアラビア語による証明は、17世紀初頭の『補題集』のラテン語版の一部として翻訳されたが、ヨーロッパでは広く知られていなかったため、この定理は17世紀から19世紀にかけてさらに数回証明された。サミュエル・マロワは著書『幾何学』 （1619年）で証明し、アイザック・ニュートンは未完の論文『曲線の幾何学』 （ 1680年頃）で証明した。^[30]その後、ウィリアム・チャップルが1749年に証明した。 ^[32]

特にエレガントな証明はフランソワ＝ジョゼフ・セルヴォワ（1804）とカール・フリードリヒ・ガウス（1810）によるもので、それぞれ独立に次のように証明されている。三角形の各辺に平行な線を反対側の点を通って引き、これら3本の線の交点から新しい三角形を形成する。すると、元の三角形は新しい三角形の中心三角形となり、元の三角形の高さは新しい三角形の垂直二等分線となり、したがって一致する（新しい三角形の外心で）。^[33]

• 三角形の中心

• ワイスタイン、エリック・W.「高度」。マスワールド。
• 三角形の垂心 インタラクティブアニメーション付き
• 垂心作図のアニメーションによるデモンストレーション。コンパスと定規。
• Fagnano の問題 (Jay Warendorff、Wolfram Demonstrations Project著) 。