注文したベル番号

弱い順序は分割の部分集合上の全順序として記述できるため、全順序と分割を数え、結果を適切に組み合わせることで弱い順序を数えることができます。第 2 種のスターリング数は、 ${\displaystyle \{{\scriptstyle {n \atop k}}\}}$のパーティションを数える${\displaystyle n}$-要素セット${\displaystyle k}$空でない部分集合。このような分割から、以下のいずれかを選択することによって弱い順序付けが得られます。${\displaystyle k!}$部分集合の全順序。したがって、順序付きベル数は、分割内の可能な部分集合の数（パラメータ）を合計することによって数えることができます。${\displaystyle k}$）そして、各値について${\displaystyle k}$パーティションの数を掛け合わせる${\displaystyle \{{\scriptstyle {n \atop k}}\}}$総注文数による${\displaystyle k!}$つまり、総和公式として（スターリング変換を参照）：^{[ 14 ] [ 15 ]}$${\displaystyle a(n)=\sum _{k=0}^{n}k!\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}$$スターリング数を含む総和に関する一般的な結果から、順序付けられたベル数は対数凸で あることが導かれ、つまり、それらは不等式を満たす。${\displaystyle a(n-1)a(n+1)\geq a(n)^{2}}$すべての人々のために${\displaystyle n>0}$[ ^{16 ]​}

この和の項の別の解釈としては、次元の順列多面体の各次元の特徴を数えているということである。${\displaystyle n}$で${\displaystyle k}$次元の特徴を数える第 1 項${\displaystyle nk}$順列多面体は凸多面体であり、座標ベクトルが1 から 1 までの数の順列である点の凸包です。${\displaystyle n+1}$これらのベクトルは次元空間で定義されます。${\displaystyle n+1}$しかし、それらと凸包はすべて${\displaystyle n}$次元アフィン部分空間。例えば、3次元パーマチュヘドロンは、座標の合計が10である点の3次元部分空間における、座標が(1,2,3,4)の順列である点の凸包である切頂八面体です。この多面体は1つの体積を持ちます(${\displaystyle k=0}$）、14個の2次元面（${\displaystyle k=1}$）、36エッジ（${\displaystyle k=2}$）、24個の頂点（${\displaystyle k=3}$これらの面の総数は 1 + 14 + 36 + 24 = 75 であり、これはベル数であり、上記の総和式に対応します。${\displaystyle n=3}$[ ^{17 ]​}

この式の各スターリング数を二項係数の和に展開することにより、順序付きベル数の式は二重和に展開できます。順序付きベル数は無限級数でも与えられます。^{[ 8 ] [ 13 ]}$${\displaystyle a(n)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{kj}{\binom {k}{j}}j^{n}={\frac {1}{2}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {m^{n}}{2^{m}}}.}$$

別の総和公式では、順序付けられたベル数をオイラー数で表す。${\displaystyle \langle {\scriptstyle {n \atop k}}\rangle }$の順列を数える${\displaystyle n}$アイテム${\displaystyle k}$連続する項目のペアは昇順です: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle a(n)=\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle =A_{n}(2),}$$ どこ${\displaystyle A_{n}}$は${\displaystyle n}$番目のオイラー多項式。この総和公式を説明する一つの方法は、1からまでの数値の弱い順序付けからのマッピングを使用することです。${\displaystyle n}$各同順位集合を数値順に並べ替えることによって得られる順列へ。このマッピングの下で​​は、各順列は${\displaystyle k}$連続して増加するペアは${\displaystyle 2^{k}}$弱い順序付けは、弱い順序付けで同点となる連続する増加ペアのサブセットによって互いに区別される。^{[ 18 ]}

他の多くの整数列と同様に、数列をべき級数の係数として再解釈し、この級数を合計することによって得られる関数を扱うことで、数列に関する有用な情報を得ることができます。順序付きベル数の急速な増加により、通常の母関数は発散します。代わりに指数母関数が使用されます。順序付きベル数の場合、それは次のようになります。^{[ 8 ] [ 13 ] [ 15 ] [ 19 ]}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{2-e^{x}}}.}$$ ここで、左辺は指数生成関数の定義であり、右辺はこの総和から得られる関数です。この関数の形式は、順序付けられたベル数が無限行列の最初の列の数であるという事実に対応しています。${\displaystyle (2I-P)^{-1}}$。 ここ${\displaystyle I}$は単位行列であり、${\displaystyle P}$はパスカルの三角形の無限行列形式です。${\displaystyle P}$パスカルの三角形の同じ行の数字から始まり、その後は無限に繰り返されるゼロの数列が続きます。^{[ 20 ]}

この生成関数の経路積分に基づいて、順序付けられたベル数は無限和で表すことができる^{[ 21 ] [ 5 ]}$${\displaystyle a(n)={\frac {n!}{2}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(\log 2+2\pi ik)^{-(n+1)},\qquad n\geq 1.}$$ ここ、${\displaystyle \log }$は自然対数を表します。これにより、 の項のみを使用して得られる順序付きベル数の近似値が得られます。${\displaystyle k=0}$この合計において残りの項を破棄すると：^{[ 21 ] [ 3 ] [ 5 ] [ 15 ] [ 22 ]}$${\displaystyle a(n)\sim {\frac {1}{2}}{n!}\,c^{n+1},}$$ どこ${\displaystyle c={\tfrac {1}{\log 2}}\approx 1.4427}$したがって、順序付けられたベル数は、階乗よりも指数関数的に大きくなります。ここで、スターリングの階乗の近似と同様に、${\displaystyle \sim }$は漸近的等価性を示している。つまり、順序付けられたベル数とその近似値の比は、極限において 1 に近づく。${\displaystyle n}$は任意に大きくなります。小文字の o 表記では、相対誤差は ${\displaystyle 1\pm o(1)}$、そして${\displaystyle o(1)}$誤差項は指数関数的に減少する${\displaystyle n}$成長する。^{[ 5 ]}

の近似値を比較する${\displaystyle a(n-1)}$そして${\displaystyle a(n)}$示しているのは $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n\,a(n-1)}{a(n)}}=\log 2.}$$ 例えば、${\displaystyle n=5}$近似値を与える${\displaystyle 375/541\approx 0.693161}$に${\displaystyle \log 2\approx 0.693145}$この一連の近似と、その中のこの例は、ラマヌジャンが方程式を数値的に解く一般的な方法（ここでは方程式）を用いて計算したものです。${\displaystyle e^{x}=2}$). ^{[ 4 ] [ 23 ]}

上記の式に加えて、順序付きベル数は漸化式^{[ 3 ] [ 8 ]によって計算できます。}

${\displaystyle a(n)=\sum _{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}a(n-i).}$

この式の直感的な意味は、${\displaystyle n}$項目は、空でない集合の選択肢に分解される可能性があります。${\displaystyle i}$順序付けの最初の同値類に含まれる項目と、残りの項目に対するより小さな弱い順序付け${\displaystyle n-i}$アイテム。${\displaystyle {\tbinom {n}{i}}}$最初のセットの選択肢、そして${\displaystyle a(n-i)}$残りの要素に対する弱い順序付けの選択肢。これら 2 つの要素を掛け合わせ、最初のセットに含める要素の数の選択肢を合計すると、弱い順序付けの数が得られます。${\displaystyle a(n)}$再発の基本ケースとして、${\displaystyle a(0)=1}$（ゼロ項目には弱い順序が1つあります）。この再帰に基づいて、これらの数値はモジュラー算術において特定の周期的なパターンに従うことが示されます。十分に大きい場合${\displaystyle n}$、

${\displaystyle a(n+4)\equiv a(n){\pmod {10}},}$^{[ 3 ]}

${\displaystyle a(n+20)\equiv a(n){\pmod {100}},}$

${\displaystyle a(n+100)\equiv a(n){\pmod {1000}},}$そして

${\displaystyle a(n+500)\equiv a(n){\pmod {10000}}.}$^{[ 24 ]}

他にも多くのモジュラー恒等式が知られており、任意の素数のべき乗を法とする恒等式も含まれる。^{[ 14 ] [ 25 ] [ 26 ]}ピーター・バラは、この数列は最終的に（有限項の後で）各正の整数を法として周期的になると予想している。${\displaystyle k}$オイラーのトーシェント関数を分割する周期を持つ${\displaystyle k}$残基の数mod${\displaystyle k}$比較的優良な${\displaystyle k}$[ ^{4 ]​}

既に述べたように、順序付きベル数は、弱い順序、順列多面体の面、ケイリー木、ケイリー順列、およびフビニの定理における同等の式を数えます。弱い順序には、他にも多くの応用があります。たとえば、競馬では、写真判定により、同着（この文脈ではデッドヒートと呼ばれます）のほとんどが解消されましたが、すべてではありません。同着（上位3頭だけでなく、すべての馬を含む）が含まれる可能性のあるレースの結果は、弱い順序を使用して記述できます。このため、順序付きベル数は、競馬の可能な結果の数を数えます。^{[ 1 ]}対照的に、項目が同着を許容しない方法で順序付けまたはランク付けされている場合（トランプのデッキのカードの順序や野球選手の打順など）、${\displaystyle n}$アイテムは階乗数です${\displaystyle n!}$[ ^{27 ]}これは対応する順序付きベル数よりもかなり小さい^{。[ 28 ]}

多くの分野の問題は、弱い順序付けを使用して定式化でき、解は順序付きベル数を使用して数えられます。Velleman & Call (1995)は、複数のキーを同時に押すことができ、組み合わせが各キーをちょうど 1 回含むキー押下シーケンスで構成される数字キーパッド付きコンビネーション ロックを検討しています。彼らが示すように、このようなシステムでの異なる組み合わせの数は、順序付きベル数によって与えられます。 ^{[ 18 ]}組み立てラインのバランスを取るための日本の技術であるセルでは、クロス トレーニングを受けた作業員が、生産ラインのさまざまな段階の作業員のグループに割り当てられます。使用する段階の数と各段階への作業員の割り当て方法の選択を考慮した、与えられた数の作業員に対する代替割り当ての数は、順序付きベル数です。^{[ 29 ]}別の例として、折り紙のコンピュータ シミュレーションでは、順序付きベル数は、折り目パターンの折り目を折り畳むことができる順序の数を示し、一連の折り目を同時に折り畳むことができます。^{[ 30 ]}

数論において、正の整数の順序付き乗法分割とは、その数を1つ以上の約数の積として表したものです。例えば、30は1つの約数（30自身）、2つの約数（例えば6・5）、または3つの約数（3・5・2など）の積として、13個の乗法分割を持ちます。整数は、異なる素数の積である場合に平方フリーです。30は平方フリーですが、20は平方フリーではありません。なぜなら、20の素因数分解2・2・5は素数2を繰り返しているからです。平方フリー数の場合、${\displaystyle n}$素因数分解により、順序付き乗法分割は、その素因数分解の弱い順序付けによって記述でき、どの素数が分割のどの項に現れるかを記述します。したがって、順序付き乗法分割の数は次のように与えられます。${\displaystyle a(n)}$一方、指数が の素数のべき乗の場合${\displaystyle n}$順序付き乗法分割は、同じ素数のべき乗の積であり、指数の合計は${\displaystyle n}$、そしてこの指数の順序付き和は、${\displaystyle n}$したがって、この場合、${\displaystyle 2^{n-1}}$順序付き乗法分割。平方因子を持たない数でも素数のべき乗でもない数は、（素因数の数の関数として）これら2つの極端なケースの間にある数の順序付き乗法分割を持つ。^{[ 31 ]}

数学における駐車関数とは、すべての${\displaystyle i}$配列の長さまで、配列には少なくとも${\displaystyle i}$最大で${\displaystyle i}$長さが のこのタイプのシーケンス${\displaystyle n}$は、次のプロセスを説明します。${\displaystyle n}$車が通りに到着すると${\displaystyle n}$駐車スペース。各車には、シーケンス内の値で示される優先駐車スペースがあります。車が道路に到着すると、優先スペースに駐車するか、そこが満車の場合は次の空きスペースに駐車します。優先のシーケンスは、各車が優先スペース上またはそれ以降に駐車スペースを見つけることができる場合に限り、駐車関数を形成します。長さの駐車関数の数は${\displaystyle n}$まさに${\displaystyle (n+1)^{n-1}}$。各車が好みの場所か次の場所に駐車する制限付き駐車関数クラスの場合、駐車関数の数は順序付きベル数で与えられます。各制限付き駐車関数は、好みの場所を取得した車がこれらの場所によって順序付けられ、残りの各車が好みの場所にいる車と同順位になる弱い順序に対応します。階乗で数えられる順列は、各車が好みの場所に駐車する駐車関数です。^{[ 32 ]}この応用では、単純な形式の順序付きベル数 の上限と下限の組み合わせ論的証明も提供されます。$${\displaystyle n!\leq a(n)\leq (n+1)^{n-1}.}$$

注文したベル番号${\displaystyle a(n)}$特定のタイプのコクセター群に関連付けられたコクセター複合体内の面の数をカウントします。${\displaystyle A_{n-1}}$ここで、コクセター群は、繰り返し鏡映操作で閉じられる有限の鏡映対称系と考えることができ、その鏡像はユークリッド空間をコクセター複体のセルに分割します。例えば、${\displaystyle a(3)=13}$対応する${\displaystyle A_{2}}$ユークリッド平面を原点で交わる3本の直線で反射させたシステム${\displaystyle 60^{\circ }}$角度。これら３本の線によって形成される複合体は１３の面を持つ。原点、原点からの６本の光線、および光線のペア間の６つの領域である。^{[ 4 ]}

ケメニー（1956）は、 n項関係、つまりいくつかの選択肢で真となる可能性のある数学的記述を分析するために順序付きベル数を使用します。${\displaystyle n}$関係の引数は 1 であり、他の引数は偽である。彼は関係の「複雑さ」を、与えられた関係から引数を順列化および繰り返して導き出すことができる他の関係の数と定義している。たとえば、${\displaystyle n=2}$2つの引数に関する関係${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$形式をとる可能性がある${\displaystyle y=f(x)}$ケメニーの分析によれば、${\displaystyle a(n)=3}$派生関係。これらは与えられた関係です。${\displaystyle y=f(x)}$逆の関係${\displaystyle x=f(y)}$引数を入れ替えて得られる単項関係${\displaystyle x=f(x)}$引数を繰り返すことによって得られる。（もう一方の引数を繰り返すと、同じ関係が得られる。）^{[ 33 ]}

エリソンとクライン（2001）は、これらの数値を言語学の最適性理論に適用している。この理論では、自然言語の文法は特定の制約をランク付けすることによって構築され、（階乗類型論と呼ばれる現象において）このようにして形成できる異なる文法の数は、制約の順列の数に制限される。エリソンとクラインがレビューした論文では、制約間の同順位を許容するこの言語モデルの拡張が提案されており、制約のランク付けは全順序ではなく弱順序となる。彼らが指摘するように、対応する階乗に比べて順序付きベル数の大きさがはるかに大きいため、この理論ははるかに豊かな文法セットを生成できる。^{[ 28 ]}

公平なコイン（表と裏が出る確率が等しい）を、初めて表が出るまで繰り返し投げると、裏が出る回数は幾何分布に従います。この分布のモーメントが順序付きベル数です。^{[ 4 ]}

順序付きベル数の通常の母関数は収束しないが、 (評価値で)べき級数を記述する${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$そして、${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$）は、対向する頂点間の抵抗距離の漸近展開を提供する。${\displaystyle n}$次元超立方体グラフ。この級数を有限個の項に切り捨て、その結果を無限の値に適用する。${\displaystyle n}$抵抗を任意の高次の値まで近似する。^{[ 8 ]}

非可換環の代数では、（可換）準対称関数と同様の構成により、各次数における次元が順序付きベル数で与えられる次数付き代数WQSymが生成されます。 ^{[ 34 ] [ 35 ]}

スパムフィルタリングでは、任意のシーケンスの重みがそのすべての部分シーケンスの重みの合計を超えるという性質を持つ単語のシーケンスに重みを割り当てる問題は、重みを使用することで解決できます。${\displaystyle W(n)}$一連の${\displaystyle n}$言葉、${\displaystyle W(n)}$漸化式から得られる$${\displaystyle W(n)=1+\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}W(n-1),}$$ ベースケース付き${\displaystyle W(1)=0}$この漸化式は、順序付けられたベル数について先に述べた漸化式とは、2つの点で異なっている。${\displaystyle W(0)}$合計から項を除外し（空でない数列のみが考慮されるため）、合計から 1 を別々に加える（結果が合計と等しくなるのではなく、超えるようにするため）。これらの差は相殺効果を持ち、結果として得られる重みは順序付けられたベル数となる。^{[ 36 ]}