摂動（天文学）

コーウェルの定式化（フィリップ・H・コーウェルにちなんで名付けられたもので、彼はACDクロメリンと共に同様の方法を用いてハレー彗星の回帰を予測した）は、特殊摂動法の中で最も単純なものかもしれない。^{[ 9 ]}${\displaystyle \ n\ }$相互作用する物体の場合、この方法は物体に作用するニュートン力を数学的に解きます。${\displaystyle \ i\ }$他の個々の相互作用を合計することによって${\displaystyle j}$体:

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}=\sum _{\underset {j\neq i}{j=1}}^{n}\ G\ m_{j}{\frac {\ (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})\ }{\ \|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\|^{3}}}}$

どこ$\displaystyle \ \mathbf {\ddot {r}} _{i}\ }$は物体の加速度ベクトルです${\displaystyle i}$、${\displaystyle G}$は重力定数です。${\displaystyle \ m_{j}\ }$物体の質量${\displaystyle j}$、${\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}\ }$そして${\displaystyle \ \mathbf {r} _{j}\ }$オブジェクトの位置ベクトル${\displaystyle \ i\ }$そして${\displaystyle \ j\ }$それぞれ、${\displaystyle \ r_{ij}\equiv \|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\|\ }$物体からの距離${\displaystyle i}$反対する${\displaystyle \ j\ }$すべてのベクトルはシステムの重心を基準としています。この方程式は、以下の成分に分解されます。${\displaystyle \ x\ ,}$${\displaystyle \ y\ ,}$そして${\displaystyle \ z\ ,}$そして、これらを数値的に積分して新しい速度ベクトルと位置ベクトルを形成します。このプロセスは必要な回数だけ繰り返されます。コーウェル法の利点は、適用とプログラミングが容易であることです。欠点は、摂動の大きさが大きくなると（物体が別の物体に接近するときなど）、この方法の誤差も大きくなることです。^{[ 10 ]}しかし、天体力学の多くの問題では、これは決して起こりません。もう1つの欠点は、太陽のような支配的な中心天体を持つシステムでは、中心天体と摂動天体の力の差が大きいため、演算で多くの有効桁数を扱う必要があることですが、現代のコンピュータに組み込まれた高精度数値により、これはかつてほど大きな制約ではありません。^{[ 11 ]}

エンケ法は、接触軌道を基準として開始し、基準からの変動を時間の関数として数値的に積分して解く。^{[ 12 ]}この方法の利点は、摂動の大きさが一般的に小さいため、積分をより大きなステップで進めることができ（結果として誤差が小さくなる）、極端な摂動の影響をはるかに受けにくいことである。欠点は複雑さであり、接触軌道を時々更新してそこから継続しない限り、無限に使用することはできない。このプロセスは整流化として知られている。^{[ 10 ]}エンケ法は、整流化が連続的ではなく離散的な間隔で行われる点を除いて、要素変動の一般的な摂動法に似ている。^{[ 13 ]}

賃貸${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$接触軌道の半径ベクトルとする。${\displaystyle \mathbf {r} }$摂動された軌道の半径ベクトル、そして${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$接触軌道からの変動、

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {\rho }}}}$は、運動方程式です。${\displaystyle \mathbf {r} }$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }},}$

どこ${\displaystyle \mu =G(M+m)}$は重力パラメータであり、${\displaystyle M}$そして${\displaystyle m}$中心天体と摂動天体の質量、${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{per}}}$は摂動加速度であり、${\displaystyle r}$そして${\displaystyle \rho }$大きさは${\displaystyle \mathbf {r} }$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$。

式（３）と（４）を式（２）に代入すると、

理論的には、これを2回積分すると、${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$接触軌道は二体問題で簡単に計算できるので、${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$そして${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$計上され、${\displaystyle \mathbf {r} }$解決できます。実際には、括弧内の数量は、${\displaystyle {{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}}$は、ほぼ等しい 2 つのベクトルの差であり、余分な有効桁数を避けるためには、さらに操作が必要です。^{[ 14 ] [ 15 ]}エンケの方法は、現代のコンピュータが登場する前、軌道計算の多くが機械式計算機で行われていた時代には、より広く使用されていました。